電路分析第九章阻抗和導納

第三部分動態(tài)電路的相量分析法和S域分析法第九章阻抗與導納

一、正弦穩(wěn)態(tài)電路：

在單一頻率正弦電壓、電流激勵下，線性非時變漸近穩(wěn)定電路中各支路電流和電壓，均為與激勵同頻率的正弦波。二、本章的主要內(nèi)容7.有效值、有效值相量。2.基爾霍夫定律與元件伏安關(guān)系的相量形式；3.阻抗、導納的概念；4.相量模型、相量法；5.用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路響應(yīng)；6.相量模型的網(wǎng)孔分析法、節(jié)點分析法；1.相量9-1變換的概念原來的問題原來問題的解答變換域中較易的問題變換域中問題的解答一、變換方法的思路二、變換方法的三個步驟1.把原來的問題變換為一個較容易處理的問題；2.在變換域中求解問題；3.把變換域中求得的解答反變換為原來問題的解答。三、變換方法實例1）對數(shù)運算實例取對數(shù)（變換）取反對數(shù)（反變換）求解？2）變換方法的應(yīng)用變換反變換xlgxy2.相量法也是變換法的具體應(yīng)用。（把時間t的正弦函數(shù)變換為相應(yīng)的復數(shù)（相量）后，解微分方程的特解的問題就可以簡化為解代數(shù)方程的問題，且可進一步設(shè)法運用電阻電路的分析方法來處理正弦穩(wěn)態(tài)分析問題。3)注意：1.對數(shù)變換域好比是另一個“世界”,有它自已規(guī)律,在那里,乘法成為加法,乘方成為乘法……。完成任務(wù)，還得回到我們這個真實世界。9-2復數(shù)的復習一、復數(shù)的定義:其中：二、復數(shù)的幾何意義——在復平面上的一個點O+1+ja2a1A直角坐標形式亦稱代數(shù)形式三、復數(shù)的極坐標形式其中：a—復數(shù)的?！獜蛿?shù)的幅角四、復數(shù)的另一種幾何意義——在復平面上的一個有向線段O+1+ja2a1

a工程上簡寫形式

極坐標形式亦稱指數(shù)形式五、復數(shù)的兩種形式的關(guān)系：歐拉公式：1.極坐標形式直角坐標形式(直接展開)+1+ja1a2

aO2.直角坐標形式極坐標形式（解直角△）

解

用極坐標形式表示復數(shù)，必須求出復數(shù)的模和幅角。其?？倿檎担蠓菚r，必須要把a和b的符號保留在分子、分母內(nèi)，以便按右圖正確判斷角所在象限，并注意取180°。

(2)A=-2+j8；(3)A=-6-j4。

(1)

A=4-j5=

/arctg(-5/4)=6.4/-51.34°幅角在第四象限(2)A=-2+j8=/arctg（8/-2）

=

8.25/180°-75.96°=8.25/104.04°

幅角在第二象限(3)A=-6-j4=/arctg-4/-6

=7.21/-180°+33.69°=7.21/-146.31°幅角在第三象限例把下列復數(shù)化成極坐標形式：(1)A=4-j5；第一象限第二象限第三象限第四象限+1+j例

把下列復數(shù)化為直角坐標形式1)552)3)54)55注意：1、兩種形式的互換要熟練！2、互換中要保留實部、虛部符號，注意初相角的象限！六、復數(shù)的運算1.復數(shù)的相等兩復數(shù)相等的充要條件是：或2.復數(shù)的相加——必須用直角坐標形式+1+ja1a1+b1a2+b2b2CABb1a2O+j+1ABBCO平行四邊形法則3.復數(shù)的相減——必須用直角坐標形式+1A–BC+jB–B4.復數(shù)的乘法——兩種形式都可以+1AC+j

a

a

bOB模擴大b倍幅角逆時針旋轉(zhuǎn)

a5.復數(shù)的除法——兩種形式都可以+1BC+j

a

bO

bA?？s小b倍幅角順時針旋轉(zhuǎn)

b一個復數(shù)乘以

j復數(shù)j的物理意義：

任一個復數(shù)乘以+j后，逆時針旋轉(zhuǎn)90度；乘以-j順時針旋轉(zhuǎn)90度，故稱j為90度旋轉(zhuǎn)因子。結(jié)論：AjA例解下頁上頁例2解返回9-3相量一、相量：歐拉公式：說明：正弦量可以看成一個復數(shù)的實部或虛部。設(shè)：

u(t)=Umcos(t+Ψ)其中：意義：與時間無關(guān)，是復值常數(shù)，稱為相量。1、含有正弦量振幅和初相角兩個要素,可2、以代表或表征正弦波，并不等于正弦波。+j+1OttOΨ

Um說明：相量Um按角速度逆時針旋轉(zhuǎn)，在實軸上投影為Umcos(t+Ψ)，在虛軸上投影為Umsin(t+Ψ)，旋轉(zhuǎn)矢量在復平面的投影為隨時間變化的正弦量。二、正弦量的相量表示：2、由相量求正弦量：1、由正弦量求相量：例1寫出下列正弦量對應(yīng)的相量1)2)例2寫出下列相量對應(yīng)的正弦量1)82)5正誤判斷練習

實數(shù)瞬時值復數(shù)？

三、相量圖+1+jOΨUmΨ相量在復平面上的有向線段。例：畫出和相對應(yīng)的相量圖

.+1+jO1)線性性質(zhì)定理一均勻性定理

若

為一實數(shù)即9-4相量的線性性質(zhì)和微分性質(zhì)定理二線性定理若

1,2為實數(shù)則

若干個正弦量線性組合的相量等于各個正弦量相量的同一線性組合。2)微分性質(zhì)定理三微分定理若則定理三的推廣：若則定理四：唯一性定理若其中，為復常數(shù)則反之亦然應(yīng)用——用相量的概念求正弦量之和例1求.結(jié)果：例2求.結(jié)果：結(jié)論：1、用相量的概念分析正弦量的方法稱為相量法。2、相量法可將正弦量的三角函數(shù)運算轉(zhuǎn)化為相量的復數(shù)加減運算，可將

微積分運算轉(zhuǎn)化為乘除運算，從而簡化了正弦量的分析。9-5基爾霍夫定律的相量形式一、KCL：在正弦穩(wěn)態(tài)中（具有相同頻率）相量形式為或：二、KVL：或：例

.i1i2i3已知AA求i3解：結(jié)果：A解：已知VV求u3例+_+_+_u3u2u1結(jié)果：V9-6R，L，C元件伏安關(guān)系的相量形式在正弦穩(wěn)態(tài)中：相量形式為：一、電阻元件iR+_u含義：UΨu=RIΨi即Ψu=Ψi+1+jOOtui說明：電阻兩端正弦電壓與正弦電流同相。模相等Ψu=Ψi幅角相等在正弦穩(wěn)態(tài)中：相量形式為：二、電容元件iCCuC+_含義即說明：1）電流超前電壓90°；2）電流與ω有關(guān)。

ω=0，相當于直流激勵，電容開路。+1+jOOuit在正弦穩(wěn)態(tài)中相量形式為三、電感元件+_iLLuL含義即說明：1）電流滯后電壓90°；Oui+1+jO2）電壓與ω有關(guān)。

ω=0，相當于直流激勵，電感短路。例：R=4Ω，求：i。解：(1)用時域關(guān)系式(2)用相量關(guān)系式①②③結(jié)論：純電阻電路,電壓與電流同相,可直接用時域關(guān)系式求解。例：C=0.5F，求：u。解：用相量關(guān)系式①②③例：L=4H，求：i。解：用相量關(guān)系式①②③總結(jié)：用相量式求解三個步驟：①寫出已知正弦量的相量；（正變換）②利用元件或電路的相量關(guān)系式進行運算；③由得出相量求出對應(yīng)的正弦量（反變換）掌握計算器進行復數(shù)兩種形式的轉(zhuǎn)換553.13

4*

3+j4=?345

53.1*

553.1=?例1試判斷下列表達式的正、誤。L下頁上頁返回9-7VCR相量形式的統(tǒng)一阻抗與導納的引入R+_+_+_+_Z概括阻抗一、引言二、阻抗定義：二端元件正弦電壓、電流相量之比?；颉獨W姆定律的相量形式三、導納定義：阻抗的倒數(shù)。——歐姆定律另一種相量形式牢記：說明：阻抗與導納是復數(shù)稱感抗稱容抗稱容納稱感納一般：R>0X>0時，稱呈感性X<0時，稱呈容性一般：G>0B>0時，稱呈容性B<0時，稱呈感性1.直角坐標形式G—導納的實部，稱電導B—導納的虛部，稱電納R—阻抗的實部，稱電阻X—阻抗的虛部，稱電抗2.極坐標形式——阻抗的?！杩沟妮椊?/p>

>0時，稱為感性

<0時，稱為容性

=0時，稱電阻性——導納的?！獙Ъ{輻角

>0時，稱為容性

<0時，稱為感性

=0時，稱電阻性3.阻抗與導納的關(guān)系:1)直角坐標形式2)極坐標形式1）復阻抗與復導納是ω的函數(shù)2）阻抗適合元件串聯(lián)3）導納適合元件并聯(lián)導納單位：西門子(S)5）阻抗單位：歐姆(Ω)4）非關(guān)聯(lián)參考方向加負號注意：例：已知：R=15Ω,L=30mH,C=83.3μF求：i。

解：用相量關(guān)系式①③+_RCiCLiiRiL②由KCL：注意一端口N0w的阻抗或?qū)Ъ{是由其內(nèi)部的參數(shù)、結(jié)構(gòu)和正弦電源的頻率決定的，在一般情況下，其每一部分都是頻率的函數(shù)，隨頻率而變；一端口N0W中如不含受控源，則有或但有受控源時，可能會出現(xiàn)或其實部將為負值，其等效電路要設(shè)定受控源來表示實部；下頁上頁注意一端口N0w的兩種參數(shù)Z和Y具有同等效用，彼此可以等效互換，其極坐標形式表示的互換條件為返回9-8正弦穩(wěn)態(tài)電路與電阻電路分析方法的類比

——相量模型的引入一、兩類約束相量形式與電阻電路的比較相量形式時域形式1.KL:KCLKVL2.VcR:說明：正弦穩(wěn)態(tài)相量形式與電阻電路約束形式完全相同。只要對換：結(jié)論：

直流電阻電路的任意分析方法均可用于正弦穩(wěn)態(tài)電路分析。二、相量模型與相量分析法例：求i,uC

的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時域模型iRLC+_uC_+uS相量模型+_ZR+_ZLZC描述時間電量相互作用的電路模型稱為時域模型在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，將時域模型中正弦量表示為相量，元件表示為阻抗或?qū)Ъ{，稱為相量模型。2.KVL:VcR:USΨus_+_R+_+_+解：1.3.結(jié)論：相量法分析步驟1、畫出電路的相量模型；（正變換）2、仿照直流電路的分析方法對相量進行

分析運算；3、把求得的相量變換成對應(yīng)的正弦函數(shù)。

（反變換）包括：直接利用兩類約束計算、網(wǎng)孔法、節(jié)點法、戴維南定理、疊加定理、等效化簡法例+_i4

+__+us1us2uL0.002F0.08H圖示電路處于正弦穩(wěn)態(tài)中，已知VV，試求i和當us2=0時的uL+_4

+_-j5

j8

解：1.作相量模型V10V10+_9-9正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的分析2.相量分析依據(jù)VAR：8.1

3.AO8.1

相量圖：V=16利用分壓公式10求

uL:當uS2=0+_+_4

-j5

j8

V10Vo例is4

iL+_u0.002F0.08H圖示電路處于正弦穩(wěn)態(tài)中，A試求u和iL解：1.做相量模型+_10A2.相量分析根據(jù)VcR：1.相量模型+_10A3.反變換：VAVAO16.7

106.7

例：試求負載電流解：+_V+_+_VA2.相量分析：1)單獨作用時，V_+V2)單獨作用時，AA3)3.反變換電路如圖(a)，已知電感電流解：1.作相量模型試用相量法求電流i(t),電壓uC(t)和uS(t)。2.相量分析3.反變換9-10相量模型的網(wǎng)孔分析法和節(jié)點分析法Z11—自阻抗：組成該回路各支路上阻抗之和。Z12—互阻抗：兩回路之間公共支路阻抗。網(wǎng)孔方程:節(jié)點方程:Y11—自導納：該節(jié)點各支路導納之和。Y12—互導納：兩節(jié)點之間公共支路導納。例+_+_i1i2uS3

2i1圖示電路處于正弦穩(wěn)態(tài)中，已知試用網(wǎng)孔分析法求i1,i2解：1.作相量模型2.相量分析：列網(wǎng)孔方程3.反變換+__3

+V解：1.作相量模型+__+V節(jié)點分析法的相量形式2.相量分析：列節(jié)點方程例+_+_i1i2uS3

圖示電路處于正弦穩(wěn)態(tài)中，已知試用節(jié)點分析法求i1

電路如圖(a)所示，已知R1=5

，R2=10

,

L1=L2=10mH，C=100

F，試用網(wǎng)孔分析和節(jié)點分析計算電流i2(t)解：1.作相量模型

1.網(wǎng)孔分析解得設(shè)兩個網(wǎng)孔電流列出網(wǎng)孔電流方程2.節(jié)點分析列出節(jié)點電壓方程解得再用相量形式的KVL方程求出電流等效

求圖(a)單口的戴維南和諾頓等效電路。解：1、計算開路電壓2、外施電壓法求輸出阻抗9-11相量模型的等效

兩個單口網(wǎng)絡(luò)相量模型的端口電壓電流關(guān)系相同時，稱此兩個單口網(wǎng)絡(luò)等效。一、無源二端網(wǎng)絡(luò)相量模型的等效電路+－NO無源二端網(wǎng)絡(luò)——輸入阻抗——輸入導納（b）（c）阻抗等效電路

（d）（e）導納等效電路

有兩種等效電路，二者可以互相等效變換：1.輸入阻抗2)若，呈容性，則等效為1)若，呈感性，則等效為RLRC2.輸入導納1)若B>0,則為GC2)若B<0,則為GL例：已知，分別求出時域電路模型解：1）

2）例：單口網(wǎng)絡(luò)如圖(a)所示，試計算該單口網(wǎng)絡(luò)

=1rad/s和

=2rad/s時的等效阻抗及等效電路。解：畫出

=1rad/s時的相量模型(b)，等效阻抗為注意：R、X、G、B均為ω函數(shù)，等效電路是指某一頻率下的等效電路。例：單口網(wǎng)絡(luò)如圖（a）所示，已知

=100rad/s。

試計算等效阻抗和相應(yīng)的等效電路。等效為一個電阻和電感的串聯(lián)

二、幾種常用的等效電路公式1.ZZ1Z2ZkZnZ2.YY1Y2YkYnY3.Z1Z2Z4.分壓公式和分流公式分壓公式阻抗的串聯(lián)下頁上頁Z1+Z2Zn－Z+-返回分流公式導納的并聯(lián)兩個阻抗Z1、Z2的并聯(lián)等效阻抗為：下頁上頁Y1+Y2Yn－Y+-返回5._+++__+_6.7.+_ZsZs'三、含源單口網(wǎng)絡(luò)相量模型的等效電路可以用一個獨立電壓源與阻抗的串聯(lián)來代替；也可用一個獨立電流源與阻抗

的并聯(lián)來代替。

四、等效化簡法的相量形式解：用電壓源與電流源相互轉(zhuǎn)換，化成單回路求解。例1：+_A求3.Z與Zcb

的模相等，虛部大小相等，符號相反+a_biNcCR圖示電路處于正弦穩(wěn)態(tài)中已知,，uab

與i同相,求N的等效阻抗Z例：解：ab+_cZ1.作相量模型9-12有效值有效值相量一、周期量有效值的定義x(t)tTO二、正弦量的有效值結(jié)論：三、有效值相量（相量）*

電網(wǎng)頻率：中國50Hz；美國、日本60Hz*

有線通訊頻率：300-5000

Hz*

無線通訊頻率：

30

KHz-3×104

MHz小常識1.對串聯(lián)電路的分析例圖示電路處于正弦穩(wěn)態(tài)中已知用相量圖法求uo

與uS

的相位關(guān)系。+uS–+u