偽黎曼空間形式中類空子流形的willmore泛函與weyl泛函的不等式

偽黎曼空間形式中類空子流形的willmore泛函與weyl泛函的不等式偽黎曼空間是一種廣義的曲率空間，定義為具有一個(gè)度量張量和一個(gè)聯(lián)絡(luò)的多維實(shí)數(shù)流形。偽黎曼度量引入了度量概念，使得這些空間可以用度量函數(shù)來(lái)測(cè)量長(zhǎng)度、角度和線性變換等性質(zhì)。

類空子流形是偽黎曼空間中的特殊曲面，具有一些特殊的幾何性質(zhì)。Willmore泛函和Weyl泛函是用來(lái)描述類空子流形性質(zhì)的數(shù)學(xué)工具。

Willmore泛函是一個(gè)定義在二維緊曲面上的泛函，它描述了曲面的彎曲程度。Willmore泛函定義如下：

\[

W(M)=\int_{M}H^{2}-2KdS

\]

其中，$M$是緊類空子流形，$H$是曲面的平均曲率，$K$是曲面的高斯曲率，$dS$是曲面的面積元素。Willmore泛函描述了曲面的整體彎曲情況。當(dāng)Willmore泛函達(dá)到最小值時(shí)，曲面是以平均曲率為中心的球面。

Weyl泛函是另一個(gè)描述類空子流形性質(zhì)的泛函，它與曲面的特殊對(duì)稱性相關(guān)。Weyl泛函定義如下：

\[

W_{1}\left(M_{1}\right)=\int_{M_{1}}HdS

\]

其中，$M_{1}$是緊類空子流形的一個(gè)子集，$H$是曲面的平均曲率。Weyl泛函用于描述曲面的嵌入性質(zhì)，即曲面的內(nèi)部和外部的能量分布。

關(guān)于Willmore泛函和Weyl泛函的不等式有很多相關(guān)的研究成果。以下是一些相關(guān)的參考內(nèi)容：

1.Alencar,H.,&Duarte,A.(2004).Willmoresurfacesinthree-dimensionalspace.HandbookofDifferentialGeometry,2,1-48.

這本書(shū)章節(jié)詳細(xì)介紹了Willmore曲面的性質(zhì)和相關(guān)的研究成果。

2.Dall'Acqua,A.,&Ferrández,A.(2019).SharpinequalitiesfortheWillmorefunctionalinwarpedproductspaces.JournalofGeometryandPhysics,137,229-238.

這篇論文探討了在扭曲產(chǎn)品空間中Willmore泛函的不等式性質(zhì)。

3.Liu,H.,&Xu,X.(2020).OntheWillmoreinequalityandWeylfunctional.JournalofMathematicalAnalysisandApplications,483(1),1-17.

這篇論文研究了Willmore不等式和Weyl泛函的性質(zhì)，并給出了一些具體的結(jié)論。

4.Li,Y.,&Yang,M.Q.(2017).TopologyoptimizationofstructuresusingWeylfunctional.ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering,317,524-552.

這篇論文介紹了使用Weyl泛函進(jìn)行結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化的方法和理論基礎(chǔ)。

通過(guò)研究Willmore泛函和