第03講　不等關(guān)系與不等式、基本不等式講義 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

努力成就夢想方法創(chuàng)造奇跡第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式第03講不等關(guān)系與不等式、基本不等式【知識必備】1．實(shí)數(shù)大小順序與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系2．不等式的基本性質(zhì)（1）對稱性：；（2）傳遞性：；（3）可加性：（4）同加性：；（5）可乘性：，（6）同乘性：；（7）乘方性：；（8）開方性：．特別提醒：（1）同向不等式可以相加，不能相減；（2）一個(gè)不等式的兩邊同乘以同一正數(shù)，不等號方向不變；同乘以同一負(fù)數(shù)，不等號方向改變．3、基本不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號其中叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”通常表達(dá)為：（積定和最?。?；（和定積最大）考點(diǎn)10比較代數(shù)式的大小【思路提示】（1）比較法（作差法和作商法）一種是作差法，解題步驟是：作差—變形—與0比較，變形的方法主要有通分、因式分解、配方等，變形的目的是為了更有利于判斷符號．另一種是作商法，解題步驟是作商—變形—與1比較．作商法通常適用于兩代數(shù)式同號的情形．（2）中間量法：利用中間量法比較不等式大小時(shí)要根據(jù)已知數(shù)、式靈活選擇中間變量，指數(shù)式比較大小，一般選取1和指數(shù)式的底數(shù)作為中間值；對數(shù)式比較大小，一般選取0和1作為中間值，其實(shí)質(zhì)就是根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷其與的大?。?）單調(diào)性法：①利用函數(shù)性質(zhì)比較數(shù)式的大小，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是問題求解的關(guān)鍵，解題時(shí)，指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用是解題的主要形式；②通過對稱性、周期性，可以將比較大小的數(shù)式轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間，有利于其大小比較；③導(dǎo)數(shù)工具的應(yīng)用，拓寬了這類問題的命題形式和解題難度，值得我們關(guān)注和重視．【例10】1、若，試比較與的大?。?、設(shè)，且，試比較與的大?。?、設(shè)，則()A．B．C．D．4、若，則_______(填“＞”或“＜”)．考點(diǎn)11不等式的性質(zhì)及應(yīng)用【思路提示】(1)在判斷一個(gè)關(guān)于不等式命題的真假時(shí)，先把要判斷的命題和不等式的性質(zhì)聯(lián)系起來考慮，找到與命題相近的性質(zhì)，并根據(jù)性質(zhì)判斷命題的真假，有時(shí)還要用到其他知識。(2)在應(yīng)用不等式的性質(zhì)時(shí)，不可以強(qiáng)化或弱化不等式成立的條件，如“同向不等式”才可以相加，“同向正數(shù)不等式”才可以相乘．(3)在不等關(guān)系的判斷中，賦值法是非常有效的方法．角度1不等式的性質(zhì)【例11】1、(多選題)已知，則下列不等式中一定成立的是()A．B．C．D．2、若，則下列不等式一定成立的是()A．BC．D．3、閱讀材料：（1）若，且，則有（2）若，則有．請依據(jù)以上材料解答問題：已知是三角形的三邊，求證：．角度2利用不等式的性質(zhì)求范圍問題【思路提示】1．利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的方法：由，求的取值范圍，可利用待定系數(shù)法解決，即設(shè)(或其他形式)，通過恒等變形求得的值，再利用不等式的同向可加性和可乘性求得的取值范圍．2．此類問題的一般解法(1)建立待求整體與已知范圍的整體的關(guān)系；(2)通過“一次性”使用不等式的運(yùn)算求得整體范圍．4、（1）已知，則的取值范圍是_____，的取值范圍是_____.（2）已知的取值范圍是_____.考點(diǎn)12利用基本不等式求最值角度1配湊法【思路提示】(1)用均值定理求最值要注意三個(gè)條件：一正、二定、三相等．“一正”不滿足時(shí)，需提負(fù)號或加以討論，“二定”不滿足時(shí)，需變形，“三相等”不滿足時(shí)，可利用函數(shù)單調(diào)性．(2)求乘積的最值．同樣要檢驗(yàn)“一正、二定、三相等”，也可以考慮利用消元思想，利用二次函數(shù)的解法．【例11】1、已知，則的最大值為_____.2、已知，則的最小值為_____.3、若，則的最大值為_____.4、已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為.角度2常數(shù)代換法求最值【思路提示】(1)常數(shù)代換法就是利用常數(shù)的變形以及代數(shù)式與“1”的積、商都是自身的性質(zhì)，通過代數(shù)式的變形構(gòu)造和式或積式為定值，然后利用基本不等式求最值．(2)利用常數(shù)代換法求解最值應(yīng)注意：①條件的靈活變形，常數(shù)化成1是代數(shù)式等價(jià)變形的基礎(chǔ)；②利用基本不等式求最值時(shí)“一正、二定、三相等”的檢驗(yàn)，否則容易出現(xiàn)錯(cuò)解4、已知正數(shù)滿足，則最小值為_______；5、已知正數(shù)滿足，則的最小值為_______.角度3消元法【思路提示】當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通常是考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”，最后利用基本不等式求最值．6、已知正數(shù)滿足，則的最小值為________.7、已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是________角度4對稱輪換思想【思路提示】對于具有對稱輪換思想的變量，他們相等的時(shí)候，就是取得最值的條件。8已知正數(shù)，則的最大值是________考點(diǎn)13利用基本不等式綜合應(yīng)用【思路提示】求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或范圍．角度1基本不等式與其他知識交匯的最值問