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文檔簡(jiǎn)介
第五章數(shù)列
*5.5數(shù)學(xué)歸納法
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
題組一對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解
1.(2022浙江紹興期末)用數(shù)學(xué)歸納法證明1+捐+...+亳,(論2,〃£N+)時(shí),第一步
需要驗(yàn)證的不等式是()
A.1+2B.1+捐<2
C.1+需<3D.1+相+寧3
2.(2021安徽合肥肥東第二中學(xué)月考)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式
l+2+3+...+(2,7+l)=(〃+l)(2"+l)(〃>l/£N+)時(shí),從八=%到n=k+l時(shí),等式左邊需增添
的項(xiàng)是()
A.2H2
B.2/+D+1
C.(2Z+2)+(2Z+3)
D.[(Z+1)+1][2"+1)+1]
3.(2022江西景德鎮(zhèn)一中期末)用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+汨+...+£?<"(">1,〃£N+)”的
過(guò)程中,從片網(wǎng)上>1,%£N+)到n=k+\時(shí),不等式左邊增加的項(xiàng)數(shù)為()
A4B.2&
C.2U1D.2"
4.(2020福建永春第一中學(xué)期末)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)〃是正奇數(shù)時(shí)1+y"能
被X+y整除”時(shí),在第二步的證明中,正確的證法是()
A.假設(shè)〃=%(%£N+)時(shí)命題成立,證明n=k+\時(shí)命題也成立
B.假設(shè)〃=%(左是正奇數(shù))時(shí)命題成立,證明n=k+\時(shí)命題也成立
C.假設(shè)是正奇數(shù))時(shí)命題成立,證明n=k+2時(shí)命題也成立
D.假設(shè)〃=2A+1(%£N)時(shí)命題成立,證明n=k+l時(shí)命題也成立
5.對(duì)于不等式芻+1(〃£N+),某學(xué)生的證明過(guò)程如下:
⑴當(dāng)n=l時(shí)*12+1S1+1,不等式成立.
(2)假設(shè)〃=%(丘1)時(shí),不等式成立,即府言必+1,則當(dāng)n=k+l
時(shí),7(fc+I)2+(/c+l)=V/c2+3k+2<V(fc2+3/c+2)+(fc+2)=7(/c+2)2=(k+])+1,所以當(dāng)
n=k+l時(shí),不等式成立.
上述證法()
A.過(guò)程全都正確
B.n=l的驗(yàn)證不正確
C.歸納假設(shè)不正確
D.從n=%到n=k+l的推理不正確
題組二數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用
6.用數(shù)學(xué)歸納法證明:l2+22+32+...+(n-1)2+n2+(n-1)2+...+32+22+1~=^n(2ir+1)(〃£N+).
2,,+2
7.求證:對(duì)任意的neN+,3-8n-9能被64整除.
題組三歸納一猜想一證明問(wèn)題
8.觀察下列等式:
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
按照以上式子的規(guī)律:
(1)寫(xiě)出第五個(gè)等式,并猜想第〃5金N+)個(gè)等式;
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第〃(〃£N+)個(gè)等式成立.
9.(2021江西萍鄉(xiāng)期中)設(shè)數(shù)列{。〃}的前〃項(xiàng)和為S”,且S?=2-an(neN+).
(1)H算。1,。2,。3,。4,并猜^8
⑵用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.
10.已知數(shù)歹!]{詼}和{兒},其中?!?1+3+5+…+(2/7+1)/〃=1+2+…+2〃”,當(dāng)〃£N+時(shí),試
比較必與久的大小,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
11.(2022河南鄭州期末)已知數(shù)列{?!ǎ凉M(mǎn)足:。1=|,即+1an+2an+i=2alt(n£N+).
⑴計(jì)算。2,。3,寺的值;
(2)猜想數(shù)列{斯}的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
能力提升練
題組一數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用
1.(2020浙江紹興期末)已知數(shù)列{為}滿(mǎn)足0<0<1,所吟和£陽(yáng),若對(duì)于任意
〃£N+,都有0<。〃<斯+]<3,則/的取值范圍是()
A.(-l,3]B.[0,3]
C.(3,8)D.(8,+oo)
2.(2021浙江溫.州中學(xué)一模)已知正項(xiàng)數(shù)列{斯}滿(mǎn)足0吟。2=|,斯=磷+1+斯+1-1(論2).
證明:
⑴斯<1;
(2)。]。2。3。4.?.。"<27(&+i)2,
3.(2020黑龍江哈爾”濱第三中學(xué)月考)已知數(shù)列{斯}和{0”}滿(mǎn)足0=2力尸1,且對(duì)任意
正整數(shù)〃恒滿(mǎn)足2azi+1=4融+2叢+1,2%1=2。"+4兒-1.求證:
⑴{斯+兒}為等比數(shù)列,“也}為等差數(shù)列;
(2『+漢"??一『Ml,〃£N).
4.(2020浙江杭州高級(jí)中學(xué)月考)已知等差數(shù)列&}的公差d不為零,且
?3=3,?i,。2,。4成等比數(shù)列,數(shù)列{勿}滿(mǎn)足"+2岳+…+nbn=2an(n£N+).
(1)求數(shù)列{斯},{①}的通項(xiàng)公式;
⑵求證:腎腎…+岳加計(jì)「河(〃eN+).
題組二歸納一猜想一證明問(wèn)題
5.(2020江西南昌二中期末)數(shù)列{斯}的前n項(xiàng)和為S”,且滿(mǎn)足??=5?+^-2(HeN+).
⑴求SiSSS的值;
(2)猜想數(shù)列{SJ的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.
6.(2021安徽明光中學(xué)月考)已知數(shù)列{斯}滿(mǎn)足ai=2,an+\=a^-na?+1(nN+).
⑴求做,。3,。4,由此猜想出{?!ǎ囊粋€(gè)通項(xiàng)公式,并給出證明;
⑵用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n>\時(shí)微+*+…+£磊
7.(2020河南周口鄲城第二高級(jí)/者R考)全而列{知}中M=1,做三,且
為+i士普5N2).
⑴求的,%猜想斯的表達(dá)式,并加以證明;
(2)設(shè)仁=與五,求證:對(duì)任意〃金N+,都有歷+岳+…+勿<
Van+Van+1
答案與分層梯度式解析
第五章數(shù)列
*5.5數(shù)學(xué)歸納法
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1.B因?yàn)檎?,所以由數(shù)學(xué)歸納法可知第一步需要證明n=2時(shí)該不等式成立,即1+9|<2,故選B.
2.C當(dāng)a=%(Ql,kGN+)時(shí),左邊=1+2+3+…+(2%+1),當(dāng)n=k+\時(shí),左邊=1+2+3+…+(2左+1)+(2%+2)+(2好3),
所以從〃=%到n=k+\時(shí),等式左邊需增添的項(xiàng)是(2k+2)+(2Z+3).
故選C.
3.B由題意知,當(dāng)"=女(女>1WN+)時(shí),左邊當(dāng)n—k+i時(shí),左邊
=1+殲+--+£?+玄—+…+最?所以從〃=%到〃4+1時(shí),不等式左邊增加的項(xiàng)數(shù)為(2*」)-(2口)=2上
4.C?.?〃為正普數(shù),...當(dāng)〃=如:是正奇數(shù))時(shí)水后面的第一個(gè)正奇數(shù)應(yīng)為Z+2,而非k+\.
故選C.
5.D〃=1的驗(yàn)證及歸納假設(shè)都正確,但從,『左到n=k+\的推理中沒(méi)有使用歸納假設(shè),而是通過(guò)不等式的
放縮法直接證明,不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求.故選D.
6.證明(1)當(dāng)〃=1時(shí),左邊=1,右邊=等=1,此時(shí)等式成立.
⑵假設(shè)當(dāng)〃=雙歸)時(shí),等式成立,即
12+22+32+...+{k-1)2+F+(A:-1)2+...+32+22+12=3M2/+1).
則當(dāng)n=k+\時(shí),
左邊=12+22+3?+…+%2+(左+1)24-/:24-...4-32+22+12
=*(242+1)+(%+1)2+%2
三伙+1)[2伙+1>+1]=右邊,
即當(dāng)〃=什1時(shí),等式也成立.
根據(jù)(1)(2)可知,對(duì)任意的“GN+,等式恒成立.
7證明⑴當(dāng)〃=1時(shí),32"+2一8〃-9=3£8-9=64,能被64整除,命題成立.
(2)假設(shè)當(dāng)〃畫(huà)后1)時(shí)了叱一法9能被64整除.
則當(dāng)n=k+\時(shí)3及4一8伏+1)-9
=9(32-2-8k-9)+64k+64
=9(32-2-8h9)+64(k+l),
因?yàn)?92_8b9能被64整除,
所以9儼+2一8h9)+64伙+1)能被64整除,
即當(dāng)n=k+]時(shí),命題也成立.
2n+2
由⑴(2)可知,對(duì)任意的nGN+,3-8n-9能被64整除.
8.解析(1)第五個(gè)等式為5+6+7+8+9+10+11+12+13=92;
猜想第"個(gè)等式為n+(n+1)+(n+2)+...+(3n-2)=(2n-1)2,nGN+.
(2)證明:①當(dāng)〃=1時(shí),等式左邊=1,等式右邊=(2-1)2=1,所以等式成立.
②假設(shè)后1)時(shí),等式成立,
即人+伏+1)+(%+2)+…+(3h2)=(2hl)2,
那么,當(dāng)n=k+\時(shí),(后+1)+[(%+1)+1]+[8+1)+2]+...+[3(左+1)-
2]=(k+l)+(k+2)+(Z+3)+...+(3%+l)=k+(k+l)+(〃+2)+...+(3k-2)+(3hl)+3E+(3k+l)-^=(2hl)2+8%=4k2-
4k+1+8k=(2k+1)2=[2()1+1)-1]2,
即n~k+1時(shí),等式也成立.
根據(jù)①和②,可知對(duì)任意的“GN+,等式都成立.
9.解析⑴當(dāng)“=1時(shí),Si=ai=2-ai,.,.ai=l;
當(dāng)n=2時(shí),52=41+。2=2-°2,,勿今
當(dāng)〃=3時(shí),亂=0+42+43=2-43,二43=工;
4
]
當(dāng)n=4時(shí),54=。1+。2+。3+。4=2-〃4,???。4=一.
8
,猜想知=C)"T.
(2)證明:①當(dāng)n=\時(shí),0=0=1,猜想成立;
②假設(shè)當(dāng)〃=%年1)時(shí),猜想成立,即麗G)J.
則當(dāng)n-k+1時(shí),+尸S*+iSt=(2-的i+D-(2-a?),
.?.2。什|=。尸6),
k(k+1)-1
???依產(chǎn)/i\卬咆/i\,
即n=k+l時(shí),猜想也成立.
由①②可知,對(duì)任意〃eN+,猜想均成立.
10.解析由已知得斯=1+(2:+1).(〃+1)=(〃+[)2力產(chǎn)曰=2"-1.
當(dāng)〃=1時(shí)必=4力尸1,則處陽(yáng),
當(dāng)n=2時(shí),痣=9,岳=3,貝I」。2>歷,
當(dāng)n=3時(shí),°3=16乃3=7,則例>加,
當(dāng)〃=4時(shí),。4=25/4=15,貝!J。4>。4,
當(dāng)n=5時(shí),。5=36/5=31,貝1」。5>力5,
當(dāng)n=6時(shí),々6=49/6=63,則a6Vb6,
當(dāng)n=l時(shí),。7=64/7=127,則a7Vb1,
由此得到,當(dāng)〃f5,〃£N+時(shí),4〃>為,
猜想:當(dāng)〃N6,〃£N+時(shí),〃〃</?〃.
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:
①當(dāng)n=6時(shí),上面己證46Vb6.
②假設(shè)當(dāng)〃的后6#£N+)時(shí),聯(lián)"成立,即當(dāng)k>6時(shí)仆+1)2<2口.
當(dāng)n=k+]時(shí),要證為+|<6+1,
只需證(-2)2〈2人'+」,
只需證(-2)2<2?2"
根據(jù)歸納假設(shè)22口>2[(Z+1)2+1]-1.
因?yàn)?[(為1)2+1卜1?伏+2)2=杉-1,46,
所以產(chǎn)-1>0,即2[(2+1)2+1]-1>(4+2)2,即伏+2)2<2?2仁1.
故當(dāng)n=k+\時(shí),猜想也成立.
由①②可知,對(duì)任意生6,〃£N+潴想都成立.
1L解析⑴因?yàn)椤J瑋,斯+1斯+2%+1=2斯,
所以〃2。1+2。2=2。i=42=g,
2
43。2+2。3=2。2=。3=1,
1
?!?。。?!?/p>
43+24=23=>4=4
(2)猜想:斯==.
n+4
證明:①當(dāng)n=l時(shí),S=|G匕猜想成立;
②假設(shè)當(dāng)片《史l#eN+)時(shí)猜想成立,即ak=^~.
K+4
因?yàn)樗?1?!?2?!?]=2斯,所以。〃+尸2?
an+2
_2
:2%二2引二2二_______2_______
所以以+i=
/+22+2fc+5(k+l)+4
k+4
所以當(dāng)修女+1時(shí),猜想也成立.
根據(jù)①②,可知對(duì)任意“GN+,猜想都成立.
能力提升練
1.B當(dāng)心時(shí)必“尸”嗜,明顯有??>0.
an+2
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)任意〃CN+,都有a,,<3.
當(dāng)?=1時(shí)成立.
假設(shè)當(dāng)”=k慮l#eN+)時(shí),不等式成立,即ak<3.
貝!I當(dāng)n=k+l時(shí),麗="詈=4-一^<4-a=3,
ctj^+2a^+23+2
所以當(dāng)〃"+1時(shí),不等式也成立.
綜上,對(duì)任意“6N+,都有a?<3.
”八_4an+3?_4a+3-a?-2a?(-a+3)(a+l)?
囚79a\-a-------n-------------n----n-->0,
n+na〃+2a〃+2。九+2
所以1,
所以當(dāng)仁3時(shí),0vz“v%+]V3恒成立,排除C,D.
當(dāng)時(shí),如+尸絲詈,若〃=1,則當(dāng)Ov。?時(shí),〃2<0,不合題意,故排除A.
2an+2。1+28
故選B.
2.證明(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明如<1.
①當(dāng)〃=1,2時(shí),〃|=[同2=|,顯然滿(mǎn)足如<1;
②假設(shè)當(dāng)行MQ2火£N+)時(shí),斯<1成立,即以<1,則年或即(M-1)3+I+2)〈0,
又四+I>0,所以以+1<1,
BPn=k+l時(shí),斯<1也成立.
綜上,對(duì)任意的"WN+,即<1.
(2)因?yàn)閙=。叁+1+。〃+|-1(〃之2),
所以?!?1=成+i+a〃+i(佗2),
貝IJan+i=-^-(n>2).
an+l+1
當(dāng)皿時(shí)叫,/吟
所以聯(lián)共;
當(dāng)"=2時(shí)MQ=|,益小7心
所以⑶念〈就用7;
a_+l_aa(a2+1)_1。_2020
當(dāng)?>3時(shí)M42a3a4…xn112
_27(a+l)-27x2(a+l)27(a+l)2
a3+la4+lan+l-an+lnnn
綜上…〃〃<:7^7—77^-
27al+1)/
3.證明(1)2%+i=4i〃+2①+1,①
2bn+\=2aH+4bn-l.②
①+②,得2(。〃+1+兒+1)=6(?!?兒),
即〃肝1+d+i=3(a〃+瓦),
①-②,得2(斯+1-Z?〃+1)=2(斯加[)+2,
即(即+1也+1)?(。〃也)=1.
又〃1+4=3川,0-5=1#),
.??{斯+"}是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列,{斯也}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.
⑵由⑴可得知+為=3〃.
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明第<*+91,〃GN).
33453n
當(dāng)n-2時(shí)3+;*+...苣,+2=1=管二,不等式成立;
34534393
假設(shè)“乂(正2)時(shí),不等式成立,即$/+...號(hào)>等,
則〃=%+1時(shí)=+工白...+4++...-F^->2fc-1|1+^—+...+備
3453k3Jk+l43k+:23k+133k+l3k+23k+1
>2k-l?3上+1-3\_2上一1?2_2(k+l)-l
33k+1~33~3'
當(dāng)〃=k+l時(shí),不等式也成立.
?二對(duì)任意〃>1eN,都有N…+—777,
334567an+bn
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明|+^+1+...£<2"-2(心1,〃eN).
當(dāng)n=2時(shí),$$|+...q<>%2=2x2-2,不等式成立.
假設(shè)〃=k慮2)時(shí),不等式成立,即¥%|+.../<2h2,
1ok+l_qfc2x3^
貝IJn=k+\時(shí)…號(hào)+公,吃14-"-+^n<2^-2+11。音<2h2+V2h2+U=2(%+D-
3k+l3k+2
2,
.??當(dāng)3k+1時(shí),不等式也成立.
1
二對(duì)任意n>\,n&N,都有打本+;+,...+<2〃?2.
34567(an+bn
/.A,[2n—111111,1~{*一、丫、
綜上,-^―…?+〃工八<2九-2(鹿>l,neN).
334567an+bn
4.解析(1)由〃3=3,可得0+2d=3,
由0M2,。4成等比數(shù)列,可得。以4二謂,
即0(勾+3①=(。1+02,
又存0,所以ai=d=l,
則知=〃]+(〃-l)d=〃.
由數(shù)列{兒}滿(mǎn)足41+2岳+??.+泌〃=2甌可得b\=2a\=2,
當(dāng)n>2時(shí),由6+2%+...+〃/?〃=2斯=2〃@
可得bi+2岳+.??+(〃/泡-產(chǎn)2(〃?1),②
①-②可得也=2,則/??=-,
n
又b\=2也適合■,所以b=-.
nfln
(2)證明:不等式...十???+n+l(〃£N+).
下面應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明.
;=今右邊=2一夜,左邊〉右邊,不等式成立;
①當(dāng)〃=1時(shí),不等式的左邊=
②假設(shè)”=k(Ql)時(shí),不等式成立,即…+后>"1-mK
貝?。莓?dāng)n=k+]時(shí),暮2E+擺,
k+2
要證累42-5,
只要證&+l-VFH+^->k+2-VF+2,
Y/C+2
即證-匡,
即證“k+2-7k+1)(1—^--^>0,
由女WN+,可得上式成立,即n=M時(shí),不等式也成立.
綜上可得,對(duì)一切〃WN+,...+1-Si+1恒成立,
...十
5.解析⑴當(dāng)n=l時(shí)M=SI=S+;2,.??SI="
bl2
當(dāng)n=2時(shí),O2=S2-S尸$2+白-2,,S2=;
523
同理可得53=:,54=5
45
⑵猜想6.=含("6用).
下面用數(shù)學(xué)%納法證明這個(gè)猜想:
①當(dāng)〃=1時(shí),Si=m=m”猜想成立.
②假設(shè)”=依。)時(shí),猜想成立,即&=看,
當(dāng)n-k+\時(shí),a&+i=S*+i-S*=S*+i+S~>2,
Sk+1
?1_GG.-1-1-k+1
---~=2-Sk,??5Cz:i=—-=—fc-=—,
Sk+1+2-S〃2---k+2
k+1
即當(dāng)〃=k+l時(shí),猜想也成立.
由①②知對(duì)任意的正整數(shù)?都成立?
n+1
6.解析⑴由。1=2,得02=*0+1=3;
由。2=3,得。3=今-2。2+1=4;
由。3=4,得。4=磅3。3+1=5.
由此猜想{〃〃}的一個(gè)通項(xiàng)公式為4〃=”+1.
用數(shù)學(xué)歸納法證明⑨尸”+1.
當(dāng)72=1時(shí),〃[=2=1+1,猜想成立.
假設(shè)當(dāng)〃二4(叵1)時(shí),猜想成立,即年改+1,
那么當(dāng)n=k+l時(shí),以+i=Q+5I+1=(Z+1)2/(Z+1)+1=Z+2=(A+1)+1,
即當(dāng)n=k+\時(shí),猜想也成立.所以斯二〃+1(〃仁N+).
⑵證明:①當(dāng)”=2時(shí),工+工44=殳裊=i,不等式成立.
%。22362+2
②假設(shè)當(dāng)〃=氏(后2)時(shí),不等式成立,即工+工+...上言,
a,2o:kk+2
則當(dāng)n=k+l時(shí),
11,.11k21k21fc2+l
—I----F...HI--
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