（高中數(shù)學(xué)）高考復(fù)習(xí)詳細(xì)講義

（高中數(shù)學(xué)）高考復(fù)習(xí)詳細(xì)講義（匯編）

第一板塊：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)

一、常見(jiàn)的基本初等函數(shù)

1、/（x）=kx+b（一次函數(shù)）；2、/（x）=ax2+bx+c（a0）（二次函數(shù)）

3、/（%）=ax3+hx2+ex+d（a0）（三次函數(shù)）；4、f（x）=—（k0）（反比

x

例函數(shù)）；

k

5、/。）=|履+切伏工0）（丫形函數(shù)）；6、/（九）=x+2（攵＞0）（對(duì)鉤函數(shù)）；

x

k

7、/（x）=x+-（A;＜0）；8、/（無(wú)）=優(yōu)（。＞0且a"）（指數(shù)函數(shù)）

x

9^/（無(wú)）=log“x（a＞0且a￥l）（對(duì)數(shù)函數(shù)）；10、f（x）=xa（黑函數(shù)）；

H＞f（x）=sinx（正弦函數(shù)）；12^/（x）=cosx（余弦函數(shù)）；

13、f（x）=tanx（正切函數(shù)）。

二、函數(shù)的性質(zhì)

（一）函數(shù)的單調(diào)性判定方法：

1、定義法：

①卬々e/且匹＜々；①②n③（證明單調(diào)性，主要用于抽象函

數(shù)）

②/。）＜/（々）或/&）＞/（々）；②③口①（解抽象不等式、超越不等式）

③/（x）在//或/（x）在/\。①③n②（利用函數(shù)單調(diào)性求值域）

k="）-/（w）=|正，”x）在/單調(diào)遞增.

玉-％2［負(fù)，/（X）在/單調(diào)遞減’

,_，7.../（x+?—/（x）_J正，/（X）在/單調(diào)遞增

―,（幻――。晟負(fù)，/（X）在/單調(diào)遞減

2、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性遵循同增異減原則。

3、子母同性法（函數(shù)在母區(qū)間的單調(diào)性與子區(qū)間的單調(diào)性相同）。

4、運(yùn)算法則法（增+增=增，減+減=減）。

5、移縮依舊法(平移變換與伸縮變換不影響函數(shù)的單調(diào)性)。

6、奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間單調(diào)性相反，原函

數(shù)與反函數(shù)的單調(diào)性一致)。

7、導(dǎo)數(shù)法：設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間/內(nèi)可導(dǎo)，則有：/(x)NOo/(x)在//；

尸(x)W0o/(%)在/、。(注意：/〈X)不恒等于零)。

(二)函數(shù)的奇偶性

1、判定方法：

(1)定義法(前提是函數(shù)y=/(x)的定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)

1°、f(-x)=/(x)of(-x)-/(x)=0of(x)是偶函數(shù)；

2°、f(-x)=-f(x)of(-x)+f(x)=0=/(x)是奇函數(shù)。

(2)圖象法

1°、函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱of(x)是偶函數(shù)；

2°、函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。/(幻是奇函數(shù)。

2、性質(zhì)：

(1)若y=/(x)是奇函數(shù)，且f(0)有定義,則/(—x)=-/(x),/(0)=0o

(2)若y=/(x)是偶函數(shù)，則/(—X)=/(%)=/(|刈)。

(3)若y=/(x)是奇函數(shù)，則y=/(x)在其對(duì)稱區(qū)間單調(diào)性相同；

若丁=/*)是偶函數(shù)，則丁=/(x)在其對(duì)稱區(qū)間單調(diào)性相反。

(4)奇、奇=偶，偶工偶=偶，奇、偶=奇，奇土奇=奇，偶士偶=偶。

(5)/(—ox+Z?)=/(ox+b)o/(ax+力是偶函數(shù)；

/(-ax+Z?)=-/(ax+份=/("+份是奇函數(shù)(用換元法，設(shè)/(x)=/(ax+A))。

(6)若y=/(x)是奇函數(shù)，則y=/(x)的值域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(奇函數(shù)/(x)的

最大值與最小值同時(shí)存在且/(X)max+/*)min=。，或同時(shí)不存在)。

(三)、函數(shù)的周期性

1、定義存在非零常數(shù)T,對(duì)任意的x恒有f(x+T)=f(x),則稱函數(shù)耳=/(x)為

周期函數(shù)，T為其周期。(注意：①最小正周期，②定義域可能為(-8,+8),

(-8,a),(a,+oo)之一)

2、性質(zhì)：

(1)若函數(shù)y=/(x)的最小正周期為T(mén),則/(x+⑺=/(x)(TwO且丘z)。

(2)若對(duì)任意的x都有/(x)=-/(x+a),則/(x)為周期函數(shù)且7=2同。

(3)若對(duì)任意的x都有/(尤)=〃;幻，則/(》)為周期函數(shù)且7=2時(shí)。

(4)若函數(shù)/(x)的圖象有兩條對(duì)稱軸：x=a,x=b,則/(幻為周期函數(shù)且

T=2\a-b\.

(5)若函數(shù)/(x)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心：(a,0),3,0),則/(x)為周期函數(shù)且

T=2\a-b\o

(6)若函數(shù)/(x)的圖象有一條對(duì)稱軸：x=a,一個(gè)對(duì)稱中心S,0)則/(x)為周

期函數(shù)且T=4|a—〃|。

(四)函數(shù)圖象的對(duì)稱性

1、自對(duì)稱性(就函數(shù)圖象自身而言，相加取一半)

(1)若函數(shù)y=/(x)滿足f(x+a)=f(b-x),則/(x)的圖象關(guān)于直線彳=審

對(duì)稱。

(2)若函數(shù)y=/(x)滿足/(x+a)=-/S-x),則/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)

0)對(duì)稱。

2、互對(duì)稱性(就兩個(gè)函數(shù)圖象而言，相等解方程)

(1)函數(shù)y=/(x+a)的圖象與了=f(b-x)的圖象關(guān)于直線》=2萬(wàn)0對(duì)稱。

(2)函數(shù)y=/(x+a)的圖象與y=-/(b-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2表,0)對(duì)稱。

(五)易混淆的問(wèn)題

(1)/(》)=/。+。)與/“)=/(—+。)前者周期性(T=a),后者對(duì)稱性(對(duì)

稱軸X=—')o

2

(2)f(x)=-f(x+a)^f(x)=-f(-x+a),前者周期性(T=2a),后者對(duì)稱

性(對(duì)稱中心(@,0))。

2

(3)/(x)f/(x+a)與/(x)ff\-x+d),前者平移變換，后者互對(duì)稱變換(對(duì)

稱軸X，)

2

(4)/(x)->-f(x+a)^f(x)->-/(-%+a),前者平移對(duì)折變換，后者互對(duì)稱變

換(對(duì)稱中心仔0))。

(七)函數(shù)的零點(diǎn)

1、定義：/是方程/(x)=0的根是函數(shù)/(x)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

O，%是函數(shù)的零點(diǎn)。

2、零點(diǎn)定理:若函數(shù)y=/(x)在開(kāi)區(qū)間(見(jiàn)加上連續(xù)，且/3)/。)<0,則函數(shù)

y=f(x)在開(kāi)區(qū)間3萬(wàn))內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)X。，即至少女。e(口力)，使得

3零點(diǎn)定理的推論:若函數(shù)y=/(x)在開(kāi)區(qū)間(凡份上連續(xù)且單調(diào)，且f(a)f(h)<0,

則函數(shù)y=/(x)在開(kāi)區(qū)間(a力)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)x(),即唯一三與e(a,b),使

得/“。)=0。

4、求函數(shù)y=/(x)零點(diǎn)的方法：

1°、解方程f(x)=0；2°、圖像法(求函數(shù)y=/(x)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo))；

3°、運(yùn)用零點(diǎn)定理或者零點(diǎn)定理的推論求函數(shù)的零點(diǎn)；4°、運(yùn)用二分法求函數(shù)

/(無(wú))的零點(diǎn)。

三、函數(shù)圖象的變換：

(一)、平移變換(僅改變x或y中的常數(shù)項(xiàng))

1、y=f(x)">"時(shí)’」移”個(gè)單位>y=/(x-a)

y=/(x)"時(shí),左則個(gè)單位>y=f(x_a)

2、y=/(x)時(shí)t拗個(gè)單位>y-b=/(x)

y=f(x)”<時(shí)下則個(gè)單位>y-h=f{x)

（二）、伸縮變換（僅改變x或y中的系數(shù)，但不變號(hào)，啰>0,A>0）

橫坐標(biāo)為原來(lái)的上倍爾灰上二小店業(yè)g'H

］、y=/（x）------------——>,=/（如）；2、y=/（x）—1—：'：歪4±V一>y=4/~（X）

（三）對(duì)稱變換

1、y=f(x)沿附對(duì).折>y=/(—?；2、y=/(x)一軸對(duì)折>y=—/(x)

3、y=/（X）關(guān)「廄函稱〉y=-/（一》）；

4、y_,（X）保留工釉上方部分，將X軸下方部分油軸對(duì)折,），_，（刈

5、v=f（x）保留）軸右方部分，將y軸右方部分沿y軸對(duì)折,y_/（兇）為偶函數(shù)。

6、y=/(x)關(guān)于直繩0對(duì)稱>y=y-l(x)

四、基本初等函數(shù)

（一）、二次函數(shù)

1、二次函數(shù)的解析式：

（1）一般式:/（x）=+"+c（q/0）（其中c為拋物線的縱截距）。

（2）頂點(diǎn)式：/（X）=4Z（X+—）2+4ac-^2-（其中頂點(diǎn)（-2,處二￡）,對(duì)

2a4。2a4。

稱軸x=_2）

2a

（3）零點(diǎn)式：/（尤）=。（%-7）（%-工2）（其中無(wú)i、/為拋物線與不軸兩交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)，也稱為函數(shù)/（X）的倆個(gè)零點(diǎn)，對(duì)稱軸：直線》=也要）。

2、二次函數(shù)y=a/+〃x+c（a/o）的性質(zhì)

（1）、開(kāi)口方向：a>0時(shí)開(kāi)口向上；aVO時(shí)開(kāi)口向下;

⑵、其中頂點(diǎn)「￡式),對(duì)稱輒直線

(3)、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：點(diǎn)(0,c)是拋物線與y軸的交點(diǎn)；若△>(),則拋

h

物線與X軸交于兩點(diǎn)(石,0),(12,0)；若八二。，則拋物線與X軸交于一點(diǎn)(一一,0)；

2a

若△<(),則拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)。

bb〃

。〉0時(shí)，〃尤)在(-8,-?。葸f減G丁,+8)遞增，/Wmin=/(-

(4)單調(diào)性1空2;)±

"00寸，/(X)在(-8,-?。葸f增,(-丁,+8)遞減，/U)=/(-

2a2amax

2a

3、二次函數(shù)/(x)=a(x-k)2+h(a>0)在xeIm,”]的值域問(wèn)題:

(1)若Z>〃(區(qū)間在對(duì)稱軸左側(cè))，則

/(X)在［孫〃］遞減，/(工焉=/(?),/(%)max=f(m);

2)若

k<〃2(區(qū)間在對(duì)稱軸右側(cè))，貝"(X)在［肛〃］遞增/(/n),/(x)max=/(〃);

(3)若根(區(qū)間包含對(duì)稱軸)，則/(X)mi,,=/W，f(X)max="(〃)"(項(xiàng)max

4、一元二次方程根的分布o(jì)二次函數(shù)/(尤)=依2+"+c(a>0)的零點(diǎn)分布:

⑴、若方程/(x)=0有一根X］,且X］e(加,“)，則/(加)/(〃)<()

h

m<----<n

2a

f(fn)>0

⑵、若方程/(x)=0有兩根X],e(m,ri),則<

X2KXPX2

2a

[/(?)>0

b

---->m

2a

(3)、若方程f(x)=0有兩根X1,/且0x2€,則</(m)>0

2a

h

(4)、若方程f(x)=0有兩根X1,%2且^，/e(~°°，〃)，則5/(----)<0

2a

/(〃)>0

/(m)>0

(5)、若方程/(x)=0有兩根X],%2且加<$<〃<*2<%，則，/(?)<0

以k)>0

m

(6)、若方程/(X)=0有兩根X],乙且囚<<x2,貝U

/(〃?)<0。

k

(二)、對(duì)鉤函數(shù)/(x)=x+￡((>0)

x

1、定義域：(-oo,0)U(0,+oo)；

2、值域：(-co,-2〃]U[2A/T,+CO)；

/(X)極大值=/(—〃)=—2決，

/(X)極小值=f(尿)=2&

3、單調(diào)性：/(x)在遞增，在［-冢,0)遞減,

在(0,冢)遞減，在［加,40遞增；

k

4、奇偶性：f(x)^x+-(Z>0)是奇函數(shù)；

x

V

5、對(duì)稱性：f(x)^x+-(k>0)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;

X

(三)、幕函數(shù)f(x)=x。的性質(zhì)

1、當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)/。)=吐的圖像恒過(guò)點(diǎn)(1,1)；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(x)=x。

的圖像橫過(guò)點(diǎn)(0,0),(1,1)。

2、單調(diào)性：

(1)當(dāng)a>0時(shí)，在(0,+8)單調(diào)遞增；(2)當(dāng)a<0時(shí)，/(x)在(0,+oo)單調(diào)

遞減。

3、奇偶性：

(1)當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，/(x)為偶函數(shù)(圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，分布在第一、二象限)；

(2)當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)(圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，分布在第一、三象限)；

(3)當(dāng)。=巴(巴為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù))時(shí)：

mm

若m為偶數(shù),則人幻為非奇非偶函數(shù)(圖像分布在第一象限)；

若用為奇數(shù)且”為偶數(shù)，則/(幻為偶函數(shù)(圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，分布在第一、二

象限);

若“為奇數(shù)且〃為奇數(shù)，則/(x)為奇函數(shù)(圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，分布在第一、

三象限)。

4、凸凹性：

當(dāng)()<?<1時(shí)，函數(shù)/(x)的圖像在第一象限上凸；當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)/(x)的圖像

在第一象限下凹。

5、漸近線:

當(dāng)。<0時(shí)，函數(shù)/(無(wú))的圖像有兩條漸近線分別是x軸與y軸，limf(x)=+oc(y

,r->0

軸為其鉛直漸近線)，lim/(x)=0(x軸為其水平漸近線)；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)

的圖像無(wú)漸近線。

五、導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用：

(一)、導(dǎo)數(shù)的定義：

1

1、函數(shù)y=/(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)：y'-f'(x0)=lim—=lim+""~”")

—Ax-AJC

2、函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)：y'=八x)=Um包=lim絲+-/⑴。

以一。Ar加T。Ax

3、|/(刈的大小刻劃了函數(shù)/(x)變化快慢的程度，/(刈越大則函數(shù)/(x)的圖

象越陡，|廣(刈越小則函數(shù)/(x)的圖象越緩。

(二)、導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則：(C是常數(shù))

1、導(dǎo)數(shù)公式：(/)'=〃爐7；(cy=o；

(a')'=a'lnQ(a>0且awl)；(es\=ex

(logx)f=--—(。>0且。工1)；(lnx)z=—；

flxlnax

(sin九)'=cosx；(cosx)r=-sinx；

(tanx)r=sen2x；(cotx)r=-esc2x

2、運(yùn)算法則：

[/(x)±g(x)r=f'(x)±g'(x)；[Cf(X)Y=Cf'(x)；(uv)'=u'v+uv'；(-)z=VUVM

uu

3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：設(shè)f=g(x),y=/(f),則(f(g(x))Y=f'(t)g'(x)

(三)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：

1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在點(diǎn)(/，/(工0))處得切線的斜率為k=/lx。),切點(diǎn)

為(%,/(4))。

2、導(dǎo)數(shù)的物理意義：若物體的位移為5=5。)，則物體在￡=。時(shí)刻的瞬時(shí)速度

為v=S'"。)。

3、函數(shù)的單調(diào)性：

①若函數(shù)尸/(%)在區(qū)間I可導(dǎo)，則］d：='=H鬻器鬻；

f(x)<0<^>y=/(x)在/內(nèi)單調(diào)遞減

②求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟

'求導(dǎo)徼'(X)

■解導(dǎo)函數(shù)方科'(幻=0

畫(huà)出導(dǎo)函數(shù)圖象并由整象求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

4、函數(shù)的極值：

①/是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)n%是導(dǎo)函數(shù)/'(x)的零點(diǎn)<=>/是方程/'(X)=0的根。

②求函數(shù)極值的步驟

求導(dǎo)得f'(x)

<解導(dǎo)函數(shù)方程r(x)=o得根X。

檢驗(yàn)r。左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符1u?’:呼大值:

[左負(fù)右正,則f極小值(x)=/(Xo)

5、函數(shù)的最值

①求函數(shù)丁=/(x)在閉區(qū)間除目?jī)?nèi)的最值的步驟：

(1)求函數(shù)y=/(x)在開(kāi)區(qū)間(風(fēng)份內(nèi)的極值；

(2)求區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值：f(a),f(b)；

(3)/max(X)="極值(X)，/(a)JS)]m,x；Znin3=14值3,/。)，/(份焉

②求函數(shù)y=/(x)在開(kāi)區(qū)間(a,力內(nèi)的最值(函數(shù)y=/'(x)在開(kāi)區(qū)間(a,匕)內(nèi)必為

單峰函數(shù)，主要用于應(yīng)用題的最值問(wèn)題)：

/max。)=/極大值(X)；/min(X)=/極小值(”)

③不等式的恒成立問(wèn)題：

(1)、f(X)>機(jī)在XG/恒成立O力?、?gt;皿或/下確界O)>m)；

(2)、f(x)<根在xe/恒成立o/max(x)<根(或九確界(x)Wm)；

6、一元高次方程的實(shí)數(shù)根(重根算一個(gè))個(gè)數(shù)判斷方法(僅以一元三次方程為

例)：

設(shè)函數(shù)f(x)=axy+hx2+ex+d(a>0),則方程/(x)=0的實(shí)根個(gè)數(shù)

。函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。即有以下幾種情況：

⑴((極大值方程f(x)=0有3個(gè)實(shí)數(shù)根;

I/極小值3<°

(2)/(x)極大值=0。爐(u)極小值=0=方程/(x)=0有2個(gè)實(shí)數(shù)根；

(3)/極大值(x)/極小值(x)>0或函數(shù)y=/(x)無(wú)極值n方程/(x)=0有1個(gè)實(shí)數(shù)根

7、三次函數(shù)/(x)=a?+川+5+Q的圖象是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心為/(X)

的拐點(diǎn)(--,/(-—))，其中直線*=一2為其導(dǎo)函數(shù)尸(x)=3ox2+2/u+c的

3a3a3。

圖象的對(duì)稱軸。

8、用導(dǎo)數(shù)證明不等式。

第二板塊：三角函數(shù)

一、三角函數(shù)有關(guān)概念：

1、角的定義：負(fù)角(。<0),正角(a>0),零角，象限角

71

2kji<a<2ki+萬(wàn)(一)

71一

2匕rH—<a<2kji+刀■(二)x軸上：a=k7i

2(%￡z),軸上角＜y軸上：a=攵乃+宇&Gz）0

2k/r+7T<a<2k兀+—(三)

37r

2k兀+——<a<2k/i+2〃■(四)

2

2、角度制與弧度制的互化：r=2%/,i⑶d=（地）。

180n

3、兩個(gè)計(jì)算公式（a為扇形所對(duì)圓心角的弧度，r為扇形的半徑）:

弧長(zhǎng)：/=|a|r；S扇形=g/r=g|aF（把扇形看作曲邊三角形）。

4、三角函數(shù)的定義：

1°、終邊定義：設(shè)角a終邊上任一點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）為P（x,y），且

r=op=-yjx2+y2)

rn.l.yxyxrr

則sina=jcosa=—；tana=—；cota=—；seccif=—；csca=-o

rrxyxy

2°、單位圓定義：設(shè)角。終邊與單位圓交于點(diǎn)尸（匹y）,則

.yx

sin￡z=y；coscr=x；tana--\cota=-o

%y

’第一象限全為正

第二象限正弦為正

3°、三角函數(shù)值符號(hào)

第三象限切為正

第四象限余弦為正

二、三角恒等變換公式

1、同角三角函數(shù)關(guān)系公式（作用：由某角的三角函數(shù)值求該角的其它三角函數(shù)

值）。

(1)平方關(guān)系：sin2cr+cos2?=1；；

(2)倒數(shù)關(guān)系：tanacota=l；；

/八五口二sinecosa

(3)商關(guān)系：tana=----；cot?=-----；

cosczsina

(4)sina-cosa；sina+cosa；2sinacosa三者之間的關(guān)系

asina+bcosa_otana+b

csina+dcosactana+d

（5）齊次分式與齊次方程均可施行弦化切々sin?a+8sinacosa+ecos2a=0

=>。tan2a+〃tana+e=0

2、誘導(dǎo)公式（作用：化任意角三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)）

（1）轉(zhuǎn)化步驟：負(fù)角n正角n小角（0<。<2］）n銳角（0<a<|o。

（2）轉(zhuǎn)化法則：奇變偶不變，符號(hào)看象限（視a為銳角，符號(hào)為原函數(shù)值的符

號(hào)）即

±sina（左為偶數(shù)）兀/±cosa（女為偶數(shù)）

sin(Z?——\-a)=<

士cosa（左為奇數(shù)）2［±sin（々為奇數(shù)）

7i仕tana（左為偶數(shù)）1、［土cot。（女為偶數(shù)）

2［±cota（左為奇數(shù)）2［土tan=（女為奇數(shù)）

3、和（差）角公式（作用：化簡(jiǎn)求值）

（1）sin（a±77）=sinacos/?±cosasin以正余、余正符號(hào)同）；

（2）850±￡）=85。。05萬(wàn)干5抽051!1伏余余、正正符號(hào)反）；

⑶33±0=黑器得（子同母異）。

4、二倍角公式（作用：升幕與降幕，堅(jiān)持升幕角減半、降幕角加倍原則）：

（1）sin2^=2sinacosa；

cos2a=cos2a—sin2a-2cos2a-l=1-2sin2a

八2tana

tan2a-----------0

1-tan**a

（2）sin2cos2=—sin2?；

2

?

sin2a=1—（1—cos2a）；

cos*2-a=1］（l+cos2a）。

5、輔助角公式（作用：化同角的正（余）弦和（差）式為某個(gè)角的正弦或余弦）

TT卜

若。>0,Z?>0,/?￡（0,—）且tan/?=一,貝U：

2a

(1)asina±bcosa=Ja2+b2sin(a±/?)；

(2)acosa±bsina=4a1+B1cos(am/?)。

三、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)：（Awz）

y=sinxy二cosxy=tanx

定

{木￡R}{布GR}{小W卜冗+%,kGz\

義

域

值{y|-l<y<l}{y|”R}

域

單

[2%乃一工,2%乃+2]遞增；[2k7T—4,2Avr]遞增；

調(diào)22Qk兀一三、k兀+三）遞」

性[2%/+29]22

工,版+遞減[2左肛2左"+)]遞減

22

奇

偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

^性

周

期T=2〃T=2兀T-71

性

對(duì)jr

對(duì)稱中心：點(diǎn)（左乃,0）對(duì)稱中心:點(diǎn)（&乃+《,0）

稱對(duì)稱中心：點(diǎn)（早,0）

性對(duì)稱軸：直線1=我）+工對(duì)稱軸：直線x=

2

函

數(shù)

圖

象

2、/（x）=Asin（5+0）3>0）的圖象與性質(zhì):

(1)圖象可用五點(diǎn)換元法作出(設(shè)分別取0卷，萬(wàn)百,24)，也可以用

變換法(平移變換、伸縮變換)作圖。

(2)主要性質(zhì)：

①、用換元法求其值域：

設(shè)”劭;+9,由x的范圍求出t的范圍，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求y=Asin/的值域。

②、用換元法求其對(duì)稱中心與對(duì)稱軸：

7冗

1K,7U_(pH

設(shè)/=勿￥+%由以+夕=AT居對(duì)稱中心(/—^,0),由0￥+夕=攵乃+工得對(duì)稱軸x=........-

CD2co

③、求最小正周期：T=—o(相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸的水平距離均

CD

為兩T相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸的水平距離為T(mén):。

④、判斷奇偶性：/(0)=0o/(x)是奇函數(shù)；/(0)=土Ao/(x)是偶函數(shù)。

⑤、求單調(diào)區(qū)間：

設(shè)/=(ax+0,則y=Asinf,根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減求/1(x)=Asin(/yx+°)的單調(diào)區(qū)間。

四、解三角形

1、正弦定理：在A48C中，若角A,民C所對(duì)的邊分別為a,b,c；則

abca+b+ca/甘士八日

(1)、-----=-----=-----=2Ro------------------=-----=2/?(其中R是

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinCsinA

AABC外接圓的半徑，合比性質(zhì)的運(yùn)用)。

(2)、邊角關(guān)系互化公式：

a

a=27?sinAsin4=——

2R

邊化角，/?=27?sinB；bo

角化邊sinB=——

c=2/?sinC2R

sinC=—

2R

(3)三角形面積公式：SUM=』absinC=L〃csinA='acsin3。

we222

2、余弦定理：在AA3C中，若角A,及。所對(duì)的邊分別為a/,c；則

b2+c2-a2

cosA=

a2=b2+c1-2bccosA2hc

a1+C1-b1

b2=a2+c2-2accosBn變式不cosB=

2ac

222

c=a+b-2abcosCa2+b2-c2

COSC=

2ab

3、三角形內(nèi)角和定理：A+B+C=180°

4、解三角形類型：(角多用正弦定理，邊多用余弦定理)

(1)已知兩角及一邊(正弦定理)；(2)已知兩邊及一邊所對(duì)角(正弦定理或

余弦定理)

(3)已知兩邊及夾角(余弦定理)；(4)已知三邊(余弦定理)。

5、小結(jié)論：在A48c中，若角A,5,C所對(duì)的邊分別為a,dc；則

(1)sinA<sinB；A=BosinA=sinB；A>B<=>smA>sinB0

(2)acosB+bcosA=c；acosC+ccosA=b；hcosC+ccosB=ao

五、三角函數(shù)主要數(shù)學(xué)思想方法：

1、換元法；2、數(shù)形結(jié)合思想；3、消除差異思想；4、函數(shù)思想；5化歸思想。

六、三角函數(shù)的高考題模型：

1、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值：關(guān)鍵是尋找條件角與結(jié)論角的關(guān)系。

2、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)：關(guān)鍵是將復(fù)雜的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為某個(gè)角的正弦或

余弦。

3、三角函數(shù)與向量交匯：關(guān)鍵是抓好向量的共線、垂直、坐標(biāo)運(yùn)算。

4、解三角形：關(guān)鍵是靈活運(yùn)用正余弦定理、邊角互化公式、消除差異思想。

5、解三角形的有關(guān)范圍問(wèn)題，主要是考查以角為自變量的函數(shù)思想。

第三板塊：數(shù)列

一、數(shù)列的有關(guān)概念：

1、數(shù)列的定義

2、數(shù)列的通項(xiàng)公式：4=/(〃)(〃eN*)(自變量”為數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，函數(shù)值%為

數(shù)列的項(xiàng)其圖象為坐標(biāo)平面內(nèi)一群離散的點(diǎn))。

3、數(shù)列的分類

a\>a,<=>｛a“｝遞增

'有窮數(shù)列n+

(1)按項(xiàng)數(shù)的多少<(2)按項(xiàng)的大小，a<ao｛%｝遞減

無(wú)數(shù)列窮n+tn

a”=p=｝為常數(shù)列

4、數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S“與a”的關(guān)系:

S|(〃=1)

(1)S=〃[+a,+%+…+<2?_)+(2)

nS.一S,i(/22_a〃eN*)

S,T=?1+%+%+…+4T

二、等差數(shù)列

1、定義：若數(shù)列伍”｝滿足。,,-。,1=以〃22且〃6"*,4為常數(shù))，則數(shù)列｛%｝是

等差數(shù)列，其中常數(shù)d為其公差。

2、判定方法：

(1)%——=d(〃之2且〃eN*,d為常數(shù))n數(shù)列一“｝是等差數(shù)列。

(2)2an-an_x+an+x(n>2且"eN*)=>數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列。

3、通項(xiàng)公式：

(1)an=ai+(n—V)d(nGN*)；(2)an=am+(n-m)d(m,neN*)；

(3)an=/(〃)=A"+8(a”是關(guān)于〃的一次函數(shù))。

4、前〃項(xiàng)和公式：

八一0"(%+%)八一一on(n-i)dd2/d、

公式一：S“=-------；公式一：5“=〃。］+-------=—n+(4-5)〃；

公式一：S2“_i=(2〃-1)%

解讀：公式一主要用于選擇題、填空題；公式二主要用于前〃項(xiàng)和的最值問(wèn)題；

公式三主要用于前項(xiàng)和通項(xiàng)相關(guān)聯(lián)問(wèn)題

5、主要性質(zhì)：(m,n,p,qe.N*)

(1)、4=緘衛(wèi)(d為過(guò)兩點(diǎn)(〃,4),(乙4,)的直線的斜率)。

n-m

(2)、m+〃=〃+qnam+an=ap+4(即項(xiàng)數(shù)之和相等=>項(xiàng)之和相等)。

特殊化：2〃=m+〃=>ap二卷^^卸與是金與句的等差中項(xiàng))o

(3)S“,邑”-5”,邑,「52“-4-”_獷-成等差數(shù)列，其中公差％24

(4)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和S,,的最值的確定方法：

①若q>0且4<0,則S,,有最大值；②若q<0且4>0,則S“有最小值。

由二次函數(shù)S“=/(〃)=《*+(卬_f〃的性質(zhì)求其對(duì)稱軸,離對(duì)稱軸最近的自

然數(shù)〃即為S“取得最值時(shí)的自變量值。

三、等比數(shù)列

1、定義：若數(shù)列｛七｝滿足上匚=<7(〃22且”€7^*國(guó)工0),則數(shù)列｛%｝是等比

an-\

數(shù)列，其中非零常數(shù)4為其公比。

2、判定方法：

(1)-^-=q(n>2且“eN*,q*0)=>數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列;

%

(2)a；=4_四用(〃22且〃eN*)n數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列。

3、通項(xiàng)公式：

nm

(1)an=a｝q~'(〃eN*)；(2)an=amq'^(m,nwN*)；(3)an=pq"(nwN*)

4、前〃項(xiàng)和公式：

%(j")=a「a"q①*

sn=<1_q]_q

na](q=1)

5、單調(diào)性

（1）若%>0且q>l,則｛aj遞增；（2）若q>0且0<q<l,則｛a,J遞減;

（3）若q<0且q>l,則｛aj遞減；（4）若q<0且0cq<1,則｛aj遞增;

（5）若4=1,則｛aj是常數(shù)列；（6）若q<0,則｛a,J是擺動(dòng)數(shù)列。

6、主要性質(zhì)：（加,〃,p/eN*）

（1）、m+n-p+t=>aman=apat（即項(xiàng)數(shù)之和相等=>項(xiàng)之積相等）。

特殊化：2P〃=a,"a”（即%,是a,“與a”的等比中項(xiàng)）。

（2）所有奇數(shù)項(xiàng)同號(hào)，所有偶數(shù)項(xiàng)同號(hào)。

⑶S?,S2n—S.S,-S2.…成等比數(shù)列，其中公上次

四、遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法：

1、型（采用迭加法），

aaa

得n=。|+（。2一%）+（。3—°2---卜（n-l-。"-2）+（?！薄猲-\）°

（注：若/（〃）=4則｛a0｝為等差數(shù)列）

2、2=/（〃）型（采用迭乘法），得％=qx"x2x-x-x'。

an-\a\。2an-2an-\

（注:若/（〃）=q（q豐0）,則｛a。｝為等比數(shù)列）

3、/(a“,S.)=O型：通過(guò)4=0c廣、」股、采用退一相減法消去

[S?-S“_](n>2且〃eN*)

S“求明或者由a,=S?-5?.t消去a“求S”o

4、a?=pa,-+/(〃)型(p豐1)(采用待定系數(shù)法求其通項(xiàng)公式)

1°、若/(n)=q,則設(shè)a“-4=p(a,T-㈤，求出在得公比為p的等比數(shù)列｛a?-處。

2°、若/(〃)=左〃+"則設(shè)a“-(/l〃+〃)=p｛a“T+求出幾,〃，得公

比為p

的等比數(shù)列｛氏-(2〃+〃)｝。

3°、若/(〃)=/：

(1)若pwq,設(shè)4-W=p(a,i-勿J),求出4得公比為p的等比數(shù)列

｛a“-也"｝。(2)若p=q,

則由a“=p*+g"n今=占+1n數(shù)列｛?。秊楣钍?的等差數(shù)列

總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以

上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式4.

五、數(shù)列的求和

1、兩個(gè)重要數(shù)列的求和(靈活運(yùn)用公式求解)；

2、｛許+?！ǎ筒捎梅纸M求和法求和；

3、｛%?2｝為等差數(shù)列，，為等比數(shù)列)型，采用錯(cuò)位相減法求和；

4、｛義｝(可也eN*且4<勿)型，采用裂項(xiàng)相消法，-^-=—^-(—-^-)0

ahanbnbn-ananbn

常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式有：

111否11z11、

〃(〃+1)nn+\(2n-l)(2n+l)22n-l2n+l

③—j=--f=——-(>/^—V^)；

yja+ylba-b

六、數(shù)列主要數(shù)學(xué)思想：

1、函數(shù)思想：an=f（n）,neN*

6（1W）a「a,,q,八

2、分類討論思想：等比數(shù)歹U的前〃項(xiàng)和5“="匚q"="匚二9）

n%（q=1）

3、換元思想：如一1---------=1,可設(shè)a=」一，則有22=1,故

2-a“+i2-a”2-an

數(shù)列｛」_｝是等差數(shù)列，其中公差〃=1,首項(xiàng)為」_。

2—cin2-q

4、特殊與一般思想：將等差數(shù)列、等比數(shù)列特殊化為常數(shù)列，在選擇、填空題

中效果比較明顯。

第四板塊：平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)

一、平面向量的有關(guān)概念：

1、把既具有大小又具有方向的量稱為向量，其中大小稱為向量的模（或向量的

長(zhǎng)度）。

-?

2、把長(zhǎng)度為零、方向任意的向量稱為零向量。記作：0=（0,0）o

3、把長(zhǎng)度為1個(gè)單位的向量稱為單位向量，其中向量是與向量z同向的單位

向量。（向量單位化）。

4、若a+B=6,則稱］是a的相反向量，記作3=-。。

5、a=00）=a〃B

（1）若4〉0,則a=/lg（a與碘線且同向）

（2）若4<o,則R=wq（1與碘線且反向）

二、平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積：（1=（和凹）］=（々。2））

（一）平面向量的線性運(yùn)算

1、平面向量的加減法：

（1）幾何運(yùn)算

加法的三角形法則：首尾順次相接，首向量的起點(diǎn)到末向量的終點(diǎn)。

減法的三角形法則：起點(diǎn)重合，減向量的起點(diǎn)到被減向量的終點(diǎn)。

加法的平行四邊形法則：以共起點(diǎn)的兩個(gè)向量為一組鄰邊作平行四邊形，則與兩

個(gè)向量共起點(diǎn)的對(duì)角線向量為兩個(gè)向量的和。

引申：a+3=aoa_L否（矩形）；（a+3）-L（a-否）=卜|=慟（菱形）

（2）代數(shù)運(yùn)算（坐標(biāo)運(yùn)算）：1±辦=（百±々,兇土必）。

2、平面向量的數(shù)乘：花=（心,辦）

（二）平面向量的數(shù)量積：

~~—

1、兒何運(yùn)算：〃?力=4〃COS。（處JQ與〃的夾角）

（1）夾角:

夾角。必須是當(dāng)。與芯的起點(diǎn)重合時(shí)所成的角，月力￡[0,4]。

b=ab<=>8=0（a與詞向）

-?—>—>—TT

（）<”?/?<ab=0<6<一

2

f々?f”=o<z>e=—7T

2

-闞TT71

<cfb<Q—<0<7i

2

->fIT—>—>

〃?〃二一b<=>e=〃（a與力反向）

->->

一b

在匕上的投影cos。I

（2）投影

TT

〃在。上的投影“cos。b

2、代數(shù)運(yùn)算（坐標(biāo)運(yùn)算）

（1）>平面向量的數(shù)量積：a*b=xtx2+yty2

（2）、平面向量的夾角：COS6=*=T

HR77^77^7

（3）>平面向量的模（長(zhǎng)度）：，=a=>|a|=^a=Qx：+y；

（三）平面向量基本定理及推論：

1、平面向量基本定理：如果￡，J是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于

—―>—>—>

這一平面內(nèi)的任意向量。，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)乙，4使：a=2）e,+22e2

2、推論1：點(diǎn)三點(diǎn)共線。方=/1厲+（1-/1）》

3、推論2：若點(diǎn)P分有向線段AB所成的比為；I（空=4）,則

PB

麗=」一次+4而該式稱為定比分點(diǎn)向量公式。當(dāng)％=1時(shí)，點(diǎn)P為線段AB

1+A1+2

—?1—*1——?

的中點(diǎn)，0P=—Q4+—08。

22

4、推論3：若點(diǎn)P分有向線段A——B-所成的比為2（絲AP=#，且點(diǎn)尸（打,%）,點(diǎn)

PB

4%以）

乙+木8

XP

點(diǎn)5（4，①），則<1+4該式稱為定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式。當(dāng)4=1時(shí)，點(diǎn)P為

%+生

%

1+A

二+%

XP~O

線段AB的中點(diǎn)，則2,該式稱為線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式。

v—力+%

yp-z

5、推論4：若而=xE+y而,且/〃A8,則x+y的值確定如下:

1）若點(diǎn)尸在兩平行直線外且<dp-/，則x+y>l；

2）若點(diǎn)尸在直線A8上，則x+y=l；

3）若點(diǎn)尸在兩平行直線之間，則0<x+y<l；

4）若點(diǎn)P在直線/上，則x+y=O；

5）若點(diǎn)P在兩平行直線外且>分_,，則x+y<0。

三、向量的運(yùn)用

（-）、「與否的夾角d（Q<0<n）和兩異面直線a與b的夾角外0<"鄉(xiāng)的

對(duì)比：

G.ga?b

cos。=■[^而7（0〈。<萬(wàn)）；cos^=（0<^<—）

HWkM2

（二）、而在力上的投影和點(diǎn)A到平面a的距離的對(duì)比:

AB?n

cos^=-p.—R

（三）、向量的平行，垂直和直線（平面）的平行，垂直的對(duì)比:

—>―?—>—>

(1)AB=ACD^>