新教材2024版高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)1.5全稱量詞與存在量詞課后提能訓(xùn)練新人教A版必修第一冊(cè)

第一章1.5A級(jí)——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．命題“?x∈R，x3－x2＋1＞0”的否定是()A．?x∈R，x3－x2＋1＜0 B．?x∈R，x3－x2＋1≤0C．?x∈R，x3－x2＋1≤0 D．?x∈R，x3－x2＋1＞0【答案】B【解析】命題“?x∈R，x3－x2＋1＞0”的否定是“?x∈R，x3－x2＋1≤0”．故選B．2．（多選）給出下列命題，其中是存在量詞命題的為()A．存在實(shí)數(shù)x＞1，使x2＞1B．全等的三角形必相似C．有些相似三角形全等D．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)a，使ax2－ax＋1＝0的根為負(fù)數(shù)【答案】ACD【解析】易知A，C，D為存在量詞命題，B為全稱量詞命題．3．（2023年十堰期末）關(guān)于命題p：“?x∈N，6x2－7x＋2≤0”，下列判斷正確的是()A．該命題是全稱量詞命題，且為假命題B．該命題是存在量詞命題，且為真命題C．?p：?x∈N，6x2－7x＋2＞0D．?p：?x?N，6x2－7x＋2＞0【答案】C【解析】命題p為存在量詞命題，由6x2－7x＋2≤0，得eq\f(1,2)≤x≤eq\f(2,3)，所以p為假命題．命題p的否定?p：?x∈N，6x2－7x＋2＞0．故選C．4．以下四個(gè)命題既是存在量詞命題又是真命題的是()A．銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2≤0C．兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和必是無(wú)理數(shù)D．存在一個(gè)負(fù)數(shù)x，使eq\f(1,x)＞2【答案】B【解析】A是全稱量詞命題；B為存在量詞命題，當(dāng)x＝0時(shí)，x2＝0成立，所以B正確；因?yàn)閑q\r(3)＋（－eq\r(3)）＝0，所以C為假命題；對(duì)于任何一個(gè)負(fù)數(shù)x，都有eq\f(1,x)＜0，所以D錯(cuò)誤．故選B．5．（2023年溫州模擬）下列命題中：①有些自然數(shù)是偶數(shù)；②正方形是菱形；③能被6整除的數(shù)也能被3整除；④對(duì)于任意x∈R，總有eq\f(1,x2＋1)≤1．存在量詞命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【解析】有些自然數(shù)是偶數(shù)，含有存在量詞“有些”，是存在量詞命題；正方形是菱形，可以寫成“所有的正方形都是菱形”，是全稱量詞命題；能被6整除的數(shù)也能被3整除，可以寫成“所有能被6整除的數(shù)也能被3整除”，是全稱量詞命題；對(duì)于任意x∈R，總有eq\f(1,x2＋1)≤1，含有全稱量詞“任意的”，是全稱量詞命題，所以存在量詞命題有1個(gè)．故選B．6．（多選）關(guān)于命題p：“?x∈R，x2＋1≠0”的敘述，正確的有()A．?p：?x∈R，x2＋1＝0 B．?p：?x∈R，x2＋1＝0C．p是真命題，?p是假命題 D．p是假命題，?p是真命題【答案】AC【解析】因?yàn)槊}p：“?x∈R，x2＋1≠0”的否定是“?x∈R，x2＋1＝0”，且p為真命題，則?p是假命題．故選AC．7．下列命題為真命題的是()A．存在x∈Q，使方程eq\r(2)x－2＝0有解B．存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2＋2x＋4＝0C．有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)D．所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)【答案】C【解析】eq\r(2)x－2＝0?x＝eq\r(2)?Q，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閤2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?＝1×2，故C正確；2是質(zhì)數(shù)，但2不是奇數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選C．8．命題“存在實(shí)數(shù)x，y，使得x＋y＞0”的否定是________________．【答案】對(duì)任意x，y∈R，x＋y≤09．若命題“?x0∈R，使xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋1＜0”是假命題，則a的取值范圍是__________．【答案】{a|－1≤a≤3}【解析】由題意知?x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，∴Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3．10．下列存在量詞命題是真命題的序號(hào)是________．①有些不相似的三角形面積相等；②存在實(shí)數(shù)x，使x2＋2＜0;③存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大；④有一個(gè)實(shí)數(shù)的倒數(shù)是它本身．【答案】①③④【解析】①為真命題，只要找出等底等高的兩個(gè)三角形，面積就相等，但不一定相似；②中對(duì)任意x∈R，x2＋2＞0，所以不存在實(shí)數(shù)x，使x2＋2＜0，為假命題；③中當(dāng)實(shí)數(shù)a大于0時(shí)，結(jié)論成立，為真命題；④中如1的倒數(shù)是它本身，為真命題．故真命題的序號(hào)是①③④．B級(jí)——能力提升練11．已知命題p：?x＞0，x＋a－1＝0，若p為假命題，則a的取值范圍是()A．{a|a＜－1} B．{a|a≥1}C．{a|a＞1} D．{a|a≤－1}【答案】B【解析】因?yàn)閜為假命題，所以?p為真命題，即?x＞0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，解得a≥1，所以a的取值范圍是a≥1．故選B．12．給出四個(gè)命題：①末尾數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在實(shí)數(shù)x，x＞0；④對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，2x＋1是奇數(shù)，下列說(shuō)法正確的是()A．四個(gè)命題都是真命題 B．①②是全稱量詞命題C．②③是存在量詞命題 D．四個(gè)命題中有兩個(gè)假命題【答案】C【解析】①末尾數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)能被2整除，是全稱量詞命題，是真命題；②有的菱形是正方形，是存在量詞命題，是真命題；③存在實(shí)數(shù)x，x＞0，是存在量詞命題，是真命題；④對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，2x＋1是奇數(shù)，是全稱量詞命題，是假命題．故A，B，D錯(cuò)誤，C正確．故選C．13．（多選）下列四個(gè)命題：①一切實(shí)數(shù)均有相反數(shù)；②?a∈N，使得方程ax＋1＝0無(wú)實(shí)數(shù)根；③梯形的對(duì)角線相等；④有些三角形不是等腰三角形．其中，真命題有()A．① B．②C．③ D．④【答案】ABD【解析】①為真命題；對(duì)于②，當(dāng)a＝0時(shí)，方程ax＋1＝0無(wú)實(shí)數(shù)根；對(duì)于③，等腰梯形的對(duì)角線相等，④為真命題．14．若命題“?x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－\f(1,4)))))，x＋m＜0”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥\f(1,4)))))【解析】命題“?x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－\f(1,4)))))，x＋m＜0”是假命題，即命題的否定為真命題，其否定為“?x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－\f(1,4)))))，x＋m≥0”，解得m≥eq\f(1,4)．15．已知命題p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0．(1)命題p的否定為__；(2)若命題p是