重難點(diǎn)06 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題 （十六大題型）（解析版）

重難點(diǎn)06圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題【題型歸納目錄】題型一：面積、弦長(zhǎng)定值題型二：數(shù)量積定值題型三：斜率和定值題型四：斜率積定值題型五：斜率比定值題型六：線段定值題型七：斜率和過(guò)定點(diǎn)題型八：斜率積過(guò)定點(diǎn)題型九：角度相等過(guò)定點(diǎn)題型十：垂直過(guò)定點(diǎn)題型十一：弦中點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)題型十二：數(shù)量積過(guò)定點(diǎn)題型十三：線段比過(guò)定點(diǎn)題型十四：向量相等過(guò)定點(diǎn)題型十五：坐標(biāo)定值題型十六：斜率定值【方法技巧與總結(jié)】1、定值問(wèn)題解析幾何中定值問(wèn)題的證明可運(yùn)用函數(shù)的思想方法來(lái)解決．證明過(guò)程可總結(jié)為“變量—函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：（1）變量選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚?）函數(shù)把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)．（3）定值化簡(jiǎn)得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值．2、求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理過(guò)程中消去變量，從而得到定值．常用消參方法：①等式帶用消參：找到兩個(gè)參數(shù)之間的等式關(guān)系，用一個(gè)參數(shù)表示另外一個(gè)參數(shù)，即可帶用其他式子，消去參數(shù)．②分式相除消參：兩個(gè)含參數(shù)的式子相除，消掉分子和分母所含參數(shù)，從而得到定值．③因式相減消參：兩個(gè)含參數(shù)的因式相減，把兩個(gè)因式所含參數(shù)消掉．④參數(shù)無(wú)關(guān)消參：當(dāng)與參數(shù)相關(guān)的因式為時(shí)，此時(shí)與參數(shù)的取值沒(méi)什么關(guān)系，比如：，只要因式，就和參數(shù)沒(méi)什么關(guān)系了，或者說(shuō)參數(shù)不起作用．3、求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明．一般解題步驟：①斜截式設(shè)直線方程：，此時(shí)引入了兩個(gè)參數(shù)，需要消掉一個(gè)．②找關(guān)系：找到和的關(guān)系：，等式帶入消參，消掉．③參數(shù)無(wú)關(guān)找定點(diǎn)：找到和沒(méi)有關(guān)系的點(diǎn)．【典型例題】題型一：面積、弦長(zhǎng)定值例1．（2023·福建廈門(mén)·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)在曲線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程；(2)已知點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)，在曲線上，若四邊形為平行四邊形，則其面積是否為定值?若是，求出定值；若不是，說(shuō)明理由【解析】（1）設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，因?yàn)椋?，代入可得，即，即的方程為；?）設(shè)，，，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，所以，所以，又、，所以，因?yàn)?，所以，直線：，點(diǎn)到直線的距離，所以平行四邊形的面積.例2．（2023·上海·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為.(1)若為直角三角形，求的離心率；(2)若，，點(diǎn)，是橢圓上不同兩點(diǎn)，試判斷“”是“，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”的什么條件？并說(shuō)明理由；(3)若，，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，試問(wèn)的周長(zhǎng)是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）如圖，，，，，由題意，即，故，解得離心率（2）必要不充分條件.必要性：根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，成立；充分性：橢圓方程為，設(shè)，，在上不單調(diào)，所以可舉反例：分別取，，即，使得，但，不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).（3）由題意，，，橢圓方程為，設(shè)，則直線的斜率為，方程為：，聯(lián)立橢圓方程得，，故，代入得，所以，同理直線的方程為：，聯(lián)立橢圓方程得，，故，代入得，所以，所以，直線方程為，令，可得，即直線恒過(guò)橢圓的右焦點(diǎn).所以的周長(zhǎng)為定值.例3．（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測(cè)）在平面上．設(shè)橢圓，梯形的四個(gè)頂點(diǎn)均在上，且．設(shè)直線的方程為．(1)若為的長(zhǎng)軸，梯形的高為，且在上的射影為的焦點(diǎn)，求的值；(2)設(shè)，，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）梯形的高為，，代入橢圓方程得：，在上的射影為的焦點(diǎn)，，又，.（2）當(dāng)時(shí)，橢圓；設(shè)，由得：，，；，可設(shè)直線，由得：，則，解得：，，；；；，，整理可得：，即；點(diǎn)到直線的距離為直線與間距離的倍，，，即的面積為定值.題型二：數(shù)量積定值例4．（2023·上海靜安·高二?？计谥校┮阎⒎謩e為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，記原點(diǎn)為O．(1)當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，求弦長(zhǎng)；(2)當(dāng)時(shí)，求直線l的方程；(3)是否存在位于x軸上的定點(diǎn)使得始終為一個(gè)定值．若存在，請(qǐng)求出m；不存在，則請(qǐng)說(shuō)明理由？【解析】（1）由題意知，，將代入橢圓方程得，不妨設(shè)，，所以.（2）由（1）知，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，，則，，所以，不符合題意，舍去，所以直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：，，設(shè)，，則，，所以，解得：，所以，所以直線l的方程為：.（3）假設(shè)是一個(gè)定值.①當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由（2）知，，，因?yàn)椋?，所以，要使得是一個(gè)定值，則，解得：，此時(shí).②當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由（1）知，，，則，，所以，當(dāng)時(shí)，.綜上，存在，位于x軸上的定點(diǎn)使得是一個(gè)定值為.例5．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，斜率不為0的直線過(guò)點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，橢圓的離心率．(1)求橢圓的方程；(2)在軸上是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，①將代入橢圓方程得：，解得，所以，②又，③綜合①②③解得：，，，所以橢圓M的方程為．（2）存在．設(shè)，，，直線，聯(lián)立方程：，得，所以，，，，，當(dāng)，即時(shí)，為定值，所以存在點(diǎn)，使得為定值．例6．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知是拋物線上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)E），直線分別交直線于點(diǎn)M，N．(1)求拋物線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知O為原點(diǎn)，求證：為定值．【解析】（1）因?yàn)槭菕佄锞€上一點(diǎn)，所以，即，所以拋物線方程為：，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為：.（2）證明：如圖：設(shè)，，，,設(shè)直線l方程為，直線l方程與拋物線方程聯(lián)立得消去，整理得：，恒成立.則，，又直線的方程為：，即.令，得，則，同理可得，則，.所以.所以，即，為定值.變式1．（2023·高二單元測(cè)試）已知過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)D，使得的值為定值？若存在，求出定點(diǎn)D的坐標(biāo)及該定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】由題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立方程組，整理得，可得，假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，因?yàn)椋傻脼槎ㄖ?，則，解得，且此時(shí)，所以在上存在定點(diǎn)，使得的值為定值.變式2．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)右側(cè)的點(diǎn)作，垂足為，且．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交軌跡于，設(shè)，證明：為定值．【解析】（1）由題意，直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)右側(cè)的點(diǎn)作，可得，設(shè)，則，因?yàn)?，可得，即，整理?（2）當(dāng)直線的斜率存在，可設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，因?yàn)橹本€與曲線交于兩點(diǎn)，則，且，因?yàn)椋傻?，所以；?dāng)直線的斜率不存在，此時(shí)直線，聯(lián)立方程組，解得，不妨設(shè)，此時(shí)，可得，綜上可得，為定值.變式3．（2023·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的焦距為2，且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)、分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).①若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程；②設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，求證：為定值.【解析】（1）依題意，，由點(diǎn)在上得，解得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①由（1）知，，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由消去y得，設(shè)，于是，設(shè)線段的中點(diǎn)，則，，當(dāng)時(shí)，兩式相除得，代入上式化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足上述方程，所以的軌跡方程為(除去點(diǎn))；②由直線的方程，得點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，因此，當(dāng)點(diǎn)異于、點(diǎn)時(shí)，設(shè)，由,,三點(diǎn)共線，得，由,,三點(diǎn)共線，得，而，兩式相除得，解得，從而，為定值，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),，滿足，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),，滿足，所以為定值.題型三：斜率和定值例7．（2023·安徽·高二校聯(lián)考期末）已知直線過(guò)定點(diǎn)，雙曲線過(guò)點(diǎn)，且的一條漸近線方程為.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)和的方程；(2)若直線與交于，兩點(diǎn)，試探究：直線，的斜率之和是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）由直線知，，得定點(diǎn).則，解得，故的方程為.（2）由（1）知，，設(shè)，.聯(lián)立，整理得，則，且，∴且，∴，，∴所以直線，的斜率之和是為定值，定值為3.例8．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高二校聯(lián)考期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為為上一動(dòng)點(diǎn)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，的最小值為.(1)求的方程；(2)直線交于兩點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，求證為定值.【解析】（1）由題得，當(dāng)點(diǎn)，四點(diǎn)共線且點(diǎn)在中間時(shí)，取得最小值，最小值為，又，解得，所以的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，顯然不適合題意；當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，則，所以，又，所以，所以，解得或（舍去），即，所以，所以，又，所以為定值.例9．（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，橢圓上的點(diǎn)滿足直線與直線的斜率之積為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，討論：直線的斜率與直線的斜率之和是否為定值？如果是，求出此定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以，設(shè)滿足，則，又，則，所以橢圓的方程.（2）直線，代入橢圓，可得，由于直線交橢圓于兩點(diǎn)，所以，整理得.設(shè)，由于點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，于是有，，又，于是有故直線的斜率與直線的斜率之和為0.變式4．（2023·廣東·高二校聯(lián)考期末）設(shè)點(diǎn)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線與C交于A，B兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）(1)求拋物線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條斜率分別為，的直線，，它們分別與拋物線C交于點(diǎn)P，Q和R，S.已知，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得為定值?若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）拋物線C：的焦點(diǎn)，直線的方程為，由消去y并整理得：，設(shè)，則，，因此，而，解得，所以拋物線C的方程為.（2）存在，使得為定值.依題意，直線，直線，由消去y并整理得，設(shè)，則，，，設(shè)，同理，且有，由，得，即，而，則，所以存在，使得為定值0.變式5．（2023·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值.【解析】（1）由題意可知：，又，解得，所以橢圓方程為（2）證明：由題意可知直線有斜率，由于與點(diǎn)的連線的斜率為，且的橫縱坐標(biāo)恰好與相反，因此直線有斜率滿足且，直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓方程：，設(shè)，則，，將代入可得故直線AP與AQ的斜率之和為1，即為定值，得證.題型四：斜率積定值例10．（2023·貴州遵義·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線：的左、右頂點(diǎn)分別為，，且頂點(diǎn)到漸近線的距離為，點(diǎn)是雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)（不與重合），且滿足，的斜率之積為.(1)求雙曲線的方程.(2)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于軸上方的，兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線，的斜率之積是否為定值．若為定值，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）雙曲線的漸近線方程為，即，因?yàn)轫旤c(diǎn)到漸近線的距離為，所以，設(shè)，，，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，所以，所以，又所以，，，所以雙曲線的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，則，所以，，因?yàn)橹本€與雙曲線交于軸上方的，兩點(diǎn)，所以，即，解得，所以，，即，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即直線，的斜率之積為定值．例11．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┮阎p曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，動(dòng)直線l：與圓相切，且與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為（，），（，）．(1)求k的取值范圍；(2)記直線P1A1的斜率為k1，直線P2A2的斜率為k2，那么是定值嗎？證明你的結(jié)論．【解析】（1）與圓相切，，，由，得，，，故的取值范圍為.（2）由已知可得的坐標(biāo)分別為，，，又因?yàn)椋?，為定?例12．（2023·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．(1)求橢圓的方程；(2)已知圓，為圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線，交圓于點(diǎn)，若與斜率都存在，求證：為定值．【解析】（1）依題意可得，，，，所以，所以，所以橢圓的方程為：．（2）若的斜率不存在，則，或，，此時(shí)；若的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，，，由聯(lián)立消去可得，，方程的判別式，，，，所以，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，由聯(lián)立消去可得，，，化簡(jiǎn)得，所以，綜上可得為定值．變式6．（2023·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓：，，，是橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn)，原點(diǎn)為的重心.(1)求橢圓的離心率；(2)如果直線和直線的斜率都存在，求證為定值；(3)試判斷的面積是否為定值，若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）因?yàn)椋?，又，所以，解得，所以橢圓E的的離心率.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，，，則，，因?yàn)樵c(diǎn)為的重心，所以，，所以.（3）因?yàn)樵c(diǎn)為的重心，所以當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，必有或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，將或者代入橢圓方程，均求得，又點(diǎn)到直線的距離均為3，因此.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由（2）知，，，，因?yàn)樵跈E圓上，代入橢圓方程可得，化簡(jiǎn)得，又，到直線AB的距離為：，所以為定值.綜上所述，的面積是為定值.變式7．（2023·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）已知分別為雙曲線和雙曲線上不與頂點(diǎn)重合的點(diǎn)，且的中點(diǎn)在雙曲線的漸近線上.(1)設(shè)的斜率分別為，求證：為定值；(2)判斷的面積是否為定值，如果是，求出該定值；如果不是，說(shuō)明理由.【解析】（1）設(shè)，則由的中點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則，即為定值.（2）（1）（2）聯(lián)立（1）（2）得：同理，設(shè)到直線的距離為，則由（1）知：變式8．（2023·貴州六盤(pán)水·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，是上任意點(diǎn)，設(shè)直線PA的斜率為，直線PB的斜率為，證明：是定值．【解析】（1）依題意得：，解得．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）因?yàn)橹本€過(guò)原點(diǎn)，設(shè)，，．所以，，所以又因?yàn)?，，所以所以是定值．題型五：斜率比定值例13．（2023·廣東深圳·高二深圳中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓的右焦點(diǎn)是，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．(1)求橢圓C的方程；(2)已知是橢圓C的下頂點(diǎn)，如果直線y=kx+1（k≠0）交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，且M，N都在以P為圓心的圓上，求k的值；(3)過(guò)點(diǎn)作一條非水平直線交橢圓C于R、S兩點(diǎn)，若A，B為橢圓的左右頂點(diǎn)，記直線AR、BS的斜率分別為k1、k2，則是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）設(shè)，，直線AB的斜率顯然存在，則，因?yàn)榫€段AB中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，所以，，直線AB的斜率，A，B兩點(diǎn)在橢圓橢圓C上，所以，，兩式相減得，即，所以，整理得，①又且，②由①②可解得，，所以橢圓C的方程為.（2）由得，則，，，設(shè)M，N中點(diǎn)為，則，，因?yàn)镸，N都在以P為圓心的圓上，所以，則點(diǎn)P在線段MN的垂直平分線上，依題意，所以線段MN的垂直平分線方程為，M，N中點(diǎn)為在此直線上，所以有，即，解得.所以k的值為.（3）依題意有，，，設(shè)直線的方程為，由得，則，，，所以為定值.例14．（2023·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為，，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率不為的直線，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；(3)在（2）的條件下，直線與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.【解析】（1）依題可得，解得，所以，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)且斜率不為，所以可設(shè)的方程為，代入橢圓方程得，其判別式，所以，.兩式相除得，即．因?yàn)榉謩e為橢圓的左、右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，．從而．（3）由（1）知，設(shè)，則，所以直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)在定直線上.題型六：線段定值例15．（2023·安徽蕪湖·高二統(tǒng)考期末）已知以為焦點(diǎn)的橢圓過(guò)，記橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若直線是曲線的切線，且與直線和分別交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，求證：為定值.【解析】（1）由題意得，即，所以的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，方程為（2）當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線為，則，聯(lián)立可得：，則，即，設(shè)，直線和是曲線的漸近線，聯(lián)立可得：，則，，，所以.當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，易知.例16．（2023·廣西南寧·高二南寧三中?？计谀┮阎獧E圓：的一個(gè)端點(diǎn)為，且離心率為，過(guò)橢圓左頂點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)且與直線平行的直線交橢圓于點(diǎn)，．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：為定值．【解析】（1）因?yàn)闄E圓：過(guò)點(diǎn)，所以，又橢圓的離心率為，則所以，故橢圓方程為（2）設(shè)直線的方程為，所以，設(shè)，由，得，則，所以，設(shè)直線的方程為，由，得，設(shè)，則，則，所以，故，因此為定值.例17．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·文昌中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于點(diǎn)（M在第一象限），，垂足為，直線交軸于點(diǎn)，(1)求的值.(2)若斜率不為0的直線與拋物線相切，切點(diǎn)為，平行于的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，點(diǎn)到直線與到直線的距離之比是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，垂足為交軸于點(diǎn)，由題得，所以，因?yàn)?，所以△是等邊三角形，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，故，所以，，所以，所以，即.（2）由（1）可知拋物線的方程是，設(shè)直線的方程為，，因?yàn)?，所以，即，?又，所以，故.聯(lián)立，消去，得，其中，則，所以，所以.設(shè)點(diǎn)到直線和直線的距離分別為，則由得，所以點(diǎn)到直線與到直線的距離之比是定值，定值為3.變式9．（2023·陜西榆林·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為為上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)異于的左右頂點(diǎn)），面積的最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)直線分別與交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，試判斷是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）由橢圓滿足且面積的最大值為，可得，解得，所以，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知橢圓的方程為，可得，設(shè)，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，所以，解得，直線的方程為，聯(lián)立方程組，同理可得，所以因?yàn)?，所以，所以，為定?變式10．（2023·河南信陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)A為下頂點(diǎn)，且AM的斜率為．(1)求橢圓E的方程；(2)如圖，過(guò)點(diǎn)作一條與y軸不重合的直線，該直線交橢圓E于C、D兩點(diǎn)，直線AD，AC分別交x軸于H，G兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．證明：為定值，并求出該定值．【解析】（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，，且AM的斜率為，所以，解得，，所以橢圓E的方程為（2）證明：由題意知，直線BC的斜率存在，設(shè)直線BC：，設(shè)，，由，得，，得，則，，因?yàn)?，直線AD的方程為，令，解得，則，同理可得，所以為定值，所以為定值，該定值為變式11．（2023·江西上饒·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓（，）的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，為的上頂點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)、．求證：為定值．【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，則，橢圓的離心率為，則，解得，則，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，與橢圓方程聯(lián)立解得，則，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，由消去y并整理得：，顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，即直線與必交于兩點(diǎn)，有，又直線與圓相切，即，即得，顯然，即有，因此，所以為定值.題型七：斜率和過(guò)定點(diǎn)例18．（2023·廣東廣州·高二廣州市育才中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓的焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且斜率為的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，試問(wèn)軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得直線和關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.【解析】（1）橢圓的焦距為，故，過(guò)點(diǎn)，，且，聯(lián)立解得：所以橢圓的方程為：.（2）橢圓右焦點(diǎn)為，故過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且斜率為的動(dòng)直線為：，和橢圓聯(lián)立得：，，設(shè)，則，設(shè)存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，直線和關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故，即化簡(jiǎn)得：，即則.故存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得直線和關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).例19．（2023·河北邯鄲·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的上頂點(diǎn)為P，過(guò)P的兩條直線，分別與C交于異于點(diǎn)P的A，B兩點(diǎn)，若直線，的斜率之和為，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）由題意知解得，，，所以橢圓C的方程為；（2）顯然，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，,由得，所以，所以，所以，所以直線的方程為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)例20．（2023·河南·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為.(1)求的方程.(2)已知點(diǎn)是上不關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且滿足（表示斜率），判斷直線是否過(guò)定點(diǎn).若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）因?yàn)榈闹行脑谧鴺?biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)橢圓的方程為，半焦距為.由題可得，所以，所以的方程為.（2）如圖所示，由題可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，得，，則，所以，化簡(jiǎn)得，所以，即，將代入得，因?yàn)?，所以，所以直線的方程為，恒過(guò)定點(diǎn).題型八：斜率積過(guò)定點(diǎn)例21．（2023·山西大同·高二統(tǒng)考期中）橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，左?右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上.已知面積的最大值為，且與的面積之比為.(1)求的方程；(2)不垂直于坐標(biāo)軸的直線交于兩點(diǎn)，與不重合，直線與的斜率之積為.證明：過(guò)定點(diǎn).【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，此時(shí)，又，故，解得，曲線的方程為.（2）方法一：設(shè)直線的方程為，代入得，設(shè)，得，則，，即，解得或.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn)，而與不重合，不合題意.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)，滿足要求.方法二：由題意，直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為①.由方程得.②.由①②得，.若是上的點(diǎn)，則斜率為，，的斜率，即，解得.的方程為，即，故過(guò)定點(diǎn).例22．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓：的左頂點(diǎn)為，焦距為.動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)是，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線分別交橢圓于和兩點(diǎn)，記直線、的斜率分別為和.(1)求證：；(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，作，垂足為.是否存在定點(diǎn)，使得為定值？【解析】（1）由題意知，橢圓的左頂點(diǎn)為，焦距為，可得，解得，所以故橢圓的方程為，設(shè)過(guò)點(diǎn)與圓的切線的直線為，動(dòng)圓的半徑為，則化簡(jiǎn)得，所以和是方程的兩根，由韋達(dá)定理知，.（2）設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程組，整理得，則，得，，所以因?yàn)?，所以將換成，可得，則直線的斜率所以直線的方程為由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，直線必過(guò)軸上一定點(diǎn)所以，化簡(jiǎn)得這是一個(gè)與無(wú)關(guān)的方程，所以，即直線過(guò)定點(diǎn).因?yàn)椋渣c(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓上的一段弧，故存在點(diǎn)，使得為定值.例23．（2023·浙江臺(tái)州·高二臺(tái)州一中?？计谥校┮阎?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到直線的距離小1.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)取上一點(diǎn)，任作弦，滿足,則直線AB是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)，否則說(shuō)明理由.【解析】（1）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到直線的距離小，可得動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，由拋物線的定義易知軌跡的方程為.（2）將代入中，可得：，，故得：，即得：；如圖，設(shè)，，由于，整理可得：.，則根據(jù)點(diǎn)斜式方程可得：，整理得：；由直線的方程，可知直線恒過(guò)定點(diǎn).變式12．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的長(zhǎng)軸為雙曲線的實(shí)軸，且橢圓過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線與的斜率均存在，分別記為，若，試問(wèn)直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸為雙曲線的實(shí)軸，所以，因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以，，得，所以橢圓方程為；（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由，得，

，所以，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，化?jiǎn)得，即，所以或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，則直線過(guò)定點(diǎn)（舍去），當(dāng)時(shí)，直線的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)，②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線為（），由，得，所以，所以，解得（舍去），或，所以直線也過(guò)定點(diǎn)，綜上，直線恒過(guò)定點(diǎn).題型九：角度相等過(guò)定點(diǎn)例24．（2023·江蘇宿遷·高二泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知橢圓:過(guò)點(diǎn)，離心率為，斜率不為零的直線過(guò)右焦點(diǎn)交橢圓于兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得，如果存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，如果不存在，說(shuō)明理由.【解析】（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，所以，解得，

所以橢圓C的方程為（2）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得，設(shè)直線L的方程為，，，因?yàn)?，所以，即，所以?/p>

即，所以

（*）

，由，得，

所以

代入（*），得，所以，故在軸上存在定點(diǎn)，使得.

另①當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，因?yàn)?，所以，即，所以，即，即?），由得，則，代入（*）得，所以，故在軸上存在定點(diǎn)，使得.

②當(dāng)斜率不存在時(shí)，顯然綜上所述：在軸上存在定點(diǎn)，使得.例25．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)校考期中）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，且.(1)求橢圓的離心率；(2)橢圓的上頂點(diǎn)為，不過(guò)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若，試問(wèn)直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，四邊形為平行四邊形.又，所以而，所以，在四邊形中，，所以，在中，根據(jù)余弦定理得即化簡(jiǎn)得.所以橢圓的離心率；（2）因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)為，所以，所以，又由（1）知，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.在中，，，所以，從而，又為線段的中點(diǎn)，即，所以，因此，從而，根據(jù)題意可知直線的斜率一定存在，設(shè)它的方程為，，，聯(lián)立消去得①，，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，所以所以，整理得，解得或.又直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以舍去，于是直線的方程為，恒過(guò)定點(diǎn)，該點(diǎn)在橢圓內(nèi)，滿足關(guān)于的方程①有兩個(gè)不相等的解，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.例26．（2023·四川涼山·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率為，且雙曲線過(guò)點(diǎn)．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過(guò)定點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得，若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的離心率為，設(shè)雙曲線的方程為，代入點(diǎn)，解得故雙曲線的方程為（2）由直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)斜率為0時(shí)，符合條件，故設(shè)直線為：設(shè)，代直線入雙曲線得設(shè)軸上的點(diǎn)，，同理由，則即要對(duì)任意的都成立，則在軸上存在點(diǎn)，使得變式13．（2023·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為2．(1)求的方程．(2)若為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積大于，且．證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【解析】（1）依題意可得，解得，故的方程為.（2）證明：由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)的坐標(biāo)分別為，則，且．設(shè)直線的傾斜角分別為，因?yàn)椋覂牲c(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積大于0，所以，所以，則，則，即，所以，所以，化簡(jiǎn)可得，則直線的方程為，故直線過(guò)定點(diǎn)．變式14．（2023·河北·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求的方程．(2)若，為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積大于0，，，且．證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【解析】（1）依題意可得則，故的方程為．（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，的坐標(biāo)分別為，則，且，．設(shè)直線，的傾斜角分別為，因?yàn)?，且，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積大于0，所以，所以則，則即，所以所以，化簡(jiǎn)可得則直線的方程為，故直線過(guò)定點(diǎn)題型十：垂直過(guò)定點(diǎn)例27．（2023·云南大理·高二云南省下關(guān)第一中學(xué)校考期中）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，點(diǎn)在橢圓上，與兩焦點(diǎn)圍成的三角形面積的最大值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），且.試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)？如果過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）由已知得：，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意知，直線的斜率不為0，不妨設(shè)，由消去得，所以，即得，，，，又，所以，所以，解得，直線的方程為，則直線恒過(guò)點(diǎn).例28．（2023·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）已知?jiǎng)訄AM與y軸相切，且與圓N：外切，記動(dòng)圓M的圓心軌跡為E.(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)且互相垂直的兩條直線與E分別交于點(diǎn)A，B，證明：直線AB過(guò)定點(diǎn).【解析】（1）設(shè)動(dòng)圓的圓心M坐標(biāo)為，因?yàn)閯?dòng)圓M與y軸相切，所以圓M的半徑為，且，由圓N：，知，半徑為3，因?yàn)閯?dòng)圓M與圓N外切，所以，當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，綜上，軌跡E的方程為：；（2）由題意可得直線的斜率存在且都不等于零，設(shè)直線OA的方程為：，則直線OB的方程為：，聯(lián)立，解得，，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為，同理可得，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，直線AB的斜率為：，此時(shí)直線AB的方程為：，整理得，故直線AB過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)直線AB的方程為：，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)直線AB的方程為：，綜上，直線AB過(guò)定點(diǎn).例29．（2023·遼寧鞍山·高二鞍山一中校考期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求拋物線C方程及其準(zhǔn)線方程；(2)過(guò)作斜率不為0的直線交拋物線于兩點(diǎn)，直線分別交于兩點(diǎn)，求證：以為直徑的圓經(jīng)過(guò)軸上的兩個(gè)定點(diǎn).【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，解得，所以的方程為，準(zhǔn)線方程為.（2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)點(diǎn)，則.直線的方程為，令，得，所以，同理得，設(shè)以線段為直徑的圓與軸的交點(diǎn)為，則，因?yàn)?，則，即，所以，解得或.故以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)軸上的兩個(gè)定點(diǎn)和.變式15．（2023·遼寧·高二校聯(lián)考期中）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)M，N在C上，且，證明：直線MN過(guò)定點(diǎn)．【解析】（1）設(shè)橢圓C的方程為，由題意得解得∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：設(shè)點(diǎn)，∵，∴整理可得①，當(dāng)直線MN的斜率k存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立得，由得，則．∴，，代入①式化簡(jiǎn)可得，即，∴或，則直線方程為或，∴直線過(guò)定點(diǎn)或，又和A點(diǎn)重合，故舍去．當(dāng)直線MN的斜率k不存在時(shí)，則，，此時(shí)，即，又，解得或2（舍去），此時(shí)直線MN的方程為，過(guò)點(diǎn)．綜上所述，直線MN過(guò)定點(diǎn)．題型十一：弦中點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)例30．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)的兩條互相垂直的直線分別交于兩點(diǎn)和兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)分別為，證明：直線必過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】（1）橢圓的左焦點(diǎn)為，，則右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，取得到，即，又，解得，，（舍去負(fù)值），故橢圓方程為，（2）當(dāng)兩條直線斜率存在時(shí)，設(shè)的直線方程為，，，則，整理得到，，故，，即，同理可得：，則，故直線的方程為：，取，.故直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)有直線斜率不存在時(shí)，為軸，過(guò)點(diǎn).綜上所述：直線必過(guò)定點(diǎn)例31．（2023·陜西渭南·高三渭南市華州區(qū)咸林中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，且，與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰好為正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在E上.(1)求E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作互相垂直且與x軸均不重合的兩條直線分別交E于點(diǎn)A，B和C，D，若M，N分別是弦AB，CD的中點(diǎn)，證明：直線MN過(guò)定點(diǎn).【解析】（1）設(shè)，因?yàn)閮蓚€(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在E上，所以，又，解得，所以E的方程為.（2）由（1）知，由題意知直線AB和直線CD的斜率都存在且不為0，設(shè)直線AB方程為：，與E的方程聯(lián)立，消去x并整理，得，且，設(shè)，則，所以，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，因?yàn)椋瑒t直線CD的方程為，同理得，當(dāng)，即時(shí)，直線MN的斜率，所以直線MN的方程為，所以，因?yàn)?，所以直線MN的方程即為，顯然直線MN過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，則或，此時(shí)直線MN的方程為，也過(guò)點(diǎn).綜上所述，直線MN過(guò)定點(diǎn).例32．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，是過(guò)點(diǎn)的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)．(1)求直線的斜率k的取值范圍；(2)若線段，的中點(diǎn)分別為M，N，證明直線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）根據(jù)題意直線，的斜率均存在且不為0直線，分別為，，聯(lián)立得，由得，則或，同理，則，所以k的取值范圍為．（2）設(shè)，，由（1）得，所以，則，所以，則，同理，則直線的方程為，化簡(jiǎn)整理得因此直線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．題型十二：數(shù)量積過(guò)定點(diǎn)例33．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？计谀┮阎狥是拋物線C：的焦點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，且.(1)求拋物線C的方程；(2)直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線l否會(huì)過(guò)某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【解析】（1）由知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，而是該拋物線的焦點(diǎn)，又，因此，解得，所以拋物線C的方程為.（2）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線l：，，，由消去x并整理得，，即，于是，，，由，得，則有，即，因此，則，解得，滿足，直線過(guò)定點(diǎn)，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).例34．（2023·湖南·高二校聯(lián)考期中）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線與拋物線相交于不同的、兩點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)如果，直線是否過(guò)一定點(diǎn)，若過(guò)一定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；若不過(guò)一定點(diǎn)，試說(shuō)明理由．【解析】（1）由題意可知，將點(diǎn)代入拋物線方程，可得，解得，則拋物線方程為．（2）因?yàn)椋本€與拋物線相交于不同的、兩點(diǎn)，所以直線不與x軸平行，可設(shè)，與聯(lián)立，得，設(shè)，，∴，．由，解得，∴過(guò)定點(diǎn)．例35．（2023·黑龍江·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（位于對(duì)稱(chēng)軸異側(cè)），（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．(1)求拋物線C的方程；(2)求證：直線l必過(guò)定點(diǎn)．【解析】（1）由題可知，，解得，所以拋物線的方程為．（2）因?yàn)锳，B位于對(duì)稱(chēng)軸異側(cè)，所以l與對(duì)稱(chēng)軸不平行，設(shè)直線l的方程為，，，且，聯(lián)立，消去x可得，則，且，，即，所以，由，得，即，解得（舍去）或，故直線l的方程為，所以直線l必過(guò)定點(diǎn)，得證．題型十三：線段比過(guò)定點(diǎn)例36．（2023·江西·高三金溪一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別，，上頂點(diǎn)為，的面積為3，的短軸長(zhǎng)為2.(1)求的方程；(2)斜率不為0的直線交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），為的中點(diǎn)，且，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn).【解析】（1）由題意得，解得，，故的方程為.（2）證明：由題意設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，

所以，即，，，因?yàn)椋?，所以?/p>

即，則，整理得，

所以，即整理得，解得或，

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，恒過(guò)點(diǎn)，舍去；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，恒過(guò)點(diǎn)，符合題意，即直線恒過(guò)定點(diǎn).例37．（2023·四川眉山·高二仁壽一中?？计谀E圓的離心率是，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)求面積的最大值；(3)在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使恒成立？存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）根據(jù)題意，得，解得，橢圓C的方程為.（2）依題意，設(shè)，直線的斜率顯然存在，故設(shè)直線為，聯(lián)立，消去，得，因?yàn)橹本€恒過(guò)橢圓內(nèi)定點(diǎn)，故恒成立，，故，令，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，綜上可知：面積的最大值為.（3）當(dāng)平行于軸時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，如果存在點(diǎn)滿足條件，則有，即，所以點(diǎn)在軸上，可設(shè)的坐標(biāo)為；當(dāng)垂直于軸時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，如果存在點(diǎn)滿足條件，則有，即，解得或，所以若存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)不平行于軸且不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線方程為，由（2）知，又因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，，則，所以，則三點(diǎn)共線，所以；綜上：存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使恒成立，且..例38．（2023·寧夏銀川·高二銀川一中?？计谥校┮阎獔A：，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過(guò)作交于，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與曲線相交于，兩點(diǎn).在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）依題意可知圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，因?yàn)榫€段的垂直平分線交于點(diǎn)，所以，動(dòng)點(diǎn)始終滿足，故動(dòng)點(diǎn)S滿足橢圓的定義，曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程為，因此，解得，橢圓C的方程為.（2）存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立．理由如下：當(dāng)直線與軸平行時(shí)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，又因?yàn)榈茫瑒t，從而點(diǎn)Q必在y軸上，可設(shè)，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，則，如果存在定點(diǎn)滿足條件，由，即，解得或，若存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)坐標(biāo)只能是；當(dāng)直線不平行于軸且不垂直與軸時(shí)，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得：，，設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為、，，，又點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，又，，，則、、三點(diǎn)共線，；故存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立．變式16．（2023·陜西西安·高二長(zhǎng)安一中校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓＋，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn).(1)求面積的最大值；(2)是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【解析】（1）依題意，設(shè)，直線的斜率顯然存在，故設(shè)直線為，聯(lián)立，消去，得，因?yàn)橹本€恒過(guò)橢圓內(nèi)定點(diǎn)，故恒成立，，故，令，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，綜上可知，面積的最大值為.（2）當(dāng)平行于軸時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，如果存在點(diǎn)滿足條件，則有，即，所以點(diǎn)在軸上，可設(shè)的坐標(biāo)為；當(dāng)垂直于軸時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，如果存在點(diǎn)滿足條件，則有，即，解得或，所以若存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)不平行于軸且不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線方程為，由（1）知，又因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，，則，所以，則三點(diǎn)共線，所以；綜上，存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使恒成立，且.題型十四：向量相等過(guò)定點(diǎn)例39．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線E：的焦點(diǎn)為F，E的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)K，過(guò)K的直線l與拋物線E相切于點(diǎn)A，且交軸正半軸于點(diǎn)P.已知的面積為2.(1)求拋物線E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于y軸的直線與線段OA交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足.證明：直線過(guò)定點(diǎn).【解析】（1）由題可知，，準(zhǔn)線，，因?yàn)橹本€l的斜率存在且不為0，所以設(shè)l：，聯(lián)立，消去x，得，因?yàn)閘與E相切，所以，所以或，因?yàn)榻粂軸正半軸于點(diǎn)P，所以,因此，解得，所以，故，所以，所以（負(fù)值舍去），所以拋物線E的方程為.（2）由（1）知，又l：，所以，如圖所示：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P的直線交E于M，N兩點(diǎn)，所以斜率存在且不為零，所以設(shè)：，，，聯(lián)立，消去x，得，則，所以且，.又直線：，令，得，所以，因?yàn)椋?，所以，所以直線的方程為，所以，因?yàn)?，所以直線為，所以恒過(guò)定點(diǎn).例40．（2023·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線的左右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，其中，且雙曲線過(guò)點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線分別交的左、右支于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線，交線段于點(diǎn)，點(diǎn)滿足．證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．【解析】（1）由，則，又，則，所以，故雙曲線的方程為：.（2）如圖，由，則方程為，顯然直線DE的斜率存在，設(shè)直線方程為：，則，則，由，則，則，，聯(lián)立，則，則所以，故，故過(guò)定點(diǎn).題型十五：坐標(biāo)定值例41．（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)，且直線上存在一點(diǎn)滿足（不與重合）．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值．【解析】（1）將直線方程代入雙曲線方程，化簡(jiǎn)整理得，，要使直線與雙曲線的右支有兩