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文檔簡介
PAGEPAGE1黑龍江省齊齊哈爾市五校聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合,,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?,所以或,所以,因,即:,,解得:,因?yàn)椋?,所以.故選:B2.已知i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)的模為()A. B. C. D.【答案】C【解析】∵∴.故選:C.3.已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則()A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù),且,所以.故選:B.4.在中,,,,則邊上的高的長度為()A. B. C. D.【答案】A【解析】由,,,得,由余弦定理得:,邊上的高的長度為.故選:A.5.已知函數(shù),則“”是“在上單調(diào)遞增”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,所以,所以是的必要不充分條件,即是“在上單調(diào)遞增”的必要不充分條件,故選:C.6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,,解得:,即,,,則由得:,解得:.故選:C.7.已知函數(shù)存在減區(qū)間,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可知,因?yàn)楹瘮?shù)存在減區(qū)間,則有解,即有解,令,,令,解得;令,解得,所以在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,所以,因有解,所以,解得.故選:D.8.已知,,,則()A B.C. D.【答案】B【解析】易知,,設(shè),則,所以單調(diào)遞增,所以,故,所以設(shè),則,所以單調(diào)遞減,所以,即,所以,綜上,.故選:B.二、多項(xiàng)選擇題9.已知,則函數(shù)的圖象可能是()A. B.C. D.【答案】AD【解析】由于當(dāng)時(shí),,排除B,C,當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的圖形可能為A,當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的的圖形可能為D.故選:AD.10.已知函數(shù),下列說法正確的是()A.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),B.函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為C.函數(shù)的值域D.恒成立【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,,令可得,有,可知函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,由上可知,時(shí),,故選項(xiàng)C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,,令,有,令可得,故函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,可得,故選項(xiàng)D正確.故選:ACD.11.已知為銳角,且,則()A.B.C.若,則D.若,則【答案】BC【解析】由得:,;對(duì)于A,由得:,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,,,,,則,解得:,又,,B正確;對(duì)于C,,,,,,;,又,,,,,C正確;對(duì)于D,,,,,,解得:,,則,,D錯(cuò)誤.故選:BC.12.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),.對(duì)于數(shù)列及數(shù)列,若,下列說法正確的是()A.存在數(shù)列,使得與都為等比數(shù)列B.存在數(shù)列,使得與都為等差數(shù)列C.存在數(shù)列,使得為等比數(shù)列,且為等差數(shù)列D.存在數(shù)列,使得為等差數(shù)列,且為等比數(shù)列【答案】BCD【解析】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù),令,則,,又為奇函數(shù),所以,所以,若為等比數(shù)列,由,可知公比,設(shè),則,所以不為定值,且為定值,設(shè),則,所以也不為定值,即A錯(cuò)誤,C正確;若為等差數(shù)列,由,可知公差,所以可取,即,此時(shí)令,則,解得,此時(shí),,,滿足為等差數(shù)列,即B正確;令,則,解得,此時(shí),,,,滿足為等比數(shù)列,即D正確.故選:BCD.三、填空題13.已知,,則向量,的夾角的余弦值為_______.【答案】【解析】.故答案為:14.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí),,則;當(dāng)時(shí),,兩式相減,整理得,設(shè)公差為,則,即,所以,所以.故答案為:.15.已知函數(shù)的定義域?yàn)?,滿足,當(dāng)時(shí),的定義域?yàn)?,則___________.【答案】【解析】,故為上的奇函數(shù),,則,,,為周期為4的周期函數(shù),.故答案為:16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且對(duì)于任意非零實(shí)數(shù),均有.當(dāng)時(shí),.若的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍為______.(可參考的不等式結(jié)論:恒成立)【答案】【解析】,,,易知當(dāng)時(shí),,若當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),,此時(shí)顯然的值域不為,不符題意,又,所以不等式在內(nèi)有解,且恒成立,即在內(nèi)有解,且恒成立,設(shè),則,綜上,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,,設(shè),則,易知,即,綜上.故答案為:.四、解答題17.已知為銳角,且滿足.(1)求的值;(2)求的值.(1)解:因?yàn)闉殇J角,所以,所以,所以,所以;(2)解:由(1)知,,所以.18.在中,內(nèi)角,,所對(duì)的邊分別為,,,且.(1)求;(2)若的面積為,,求的值.解:(1)因?yàn)?,所以,即,所以,又,所?(2)由正弦定理知,,所以,所以,解得,所以.19.已知函數(shù)且.(1)當(dāng)時(shí),求的值域;(2)若在上的最大值大于,求的取值范圍.解:(1)由得:,則的定義域?yàn)椋划?dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),,則的值域?yàn)?(2);令,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又,,,的值域?yàn)?;?dāng)時(shí),,,解得:(舍);當(dāng)時(shí),,,解得:;綜上所述:實(shí)數(shù)的取值范圍為.20.在數(shù)列,中,已知,,且,.(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)的和.(1)證明:由題意可知,,則,且,所以數(shù)列是以8為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列;(2)解:由(1)可知,,所以,所以,又,所以,又,即是等比數(shù)列,首項(xiàng)為4,公比為2,所以,即,所以,即.21.已知函數(shù),其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)若,證明:函數(shù)的極小值為0;(2)若存在兩條直線與曲線和曲線均相切,求的取值范圍.解:(1)依題意,,求導(dǎo)得:,令,,由得,由得,因此函數(shù)在上遞減,在上遞增,而,則,又,即存在,使得,當(dāng)或時(shí),,當(dāng)時(shí),,即函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,因此當(dāng)時(shí),取得極小值,所以函數(shù)的極小值為0.(2)令與曲線和曲線均相切的直線同曲線相切于點(diǎn),而,有,因此該切線方程為,顯然直線與相切,由消去y并整理得:,因此,整理得,令,依題意,函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),,當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,即函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,而函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)值集合為,因此函數(shù)在上的取值集合為,當(dāng)時(shí),令,,令,則,即函數(shù)在上單調(diào)遞增,,因此函數(shù)在上單調(diào)遞增,,即,則當(dāng)時(shí),,顯然拋物線開口向上,在上無最大值,因此函數(shù)在上的取值集合為,從而當(dāng),即,存在,使得,于是得當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),所以的取值范圍是.22.已知函數(shù),其中.(1)討論函數(shù)單調(diào)性;(2)若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽,,①當(dāng)時(shí),,可得,此時(shí)函數(shù)為增函數(shù),增區(qū)間為R,沒有減區(qū)間;②當(dāng)時(shí),令,可得或,此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2)①當(dāng)時(shí),由,當(dāng)時(shí),有,,可得,令,有,令,可得函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,有,可得,得,有,可知當(dāng)時(shí),.由上知當(dāng)時(shí),函數(shù)沒有零點(diǎn),不合題意;②當(dāng)時(shí),方程可化為,兩邊取對(duì)數(shù)可得,整理為,令,有,令,有,可
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