2024屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

騰·云聯(lián)盟2023-2024學(xué)年度上學(xué)期高三年級(jí)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷試卷滿分：150分注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．將條形碼橫貼在答題卡右上角“貼條形碼區(qū)”．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無(wú)效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．2 B．4 C．8 D．162．下列函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)且為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．3．已知，，則（

）A． B．C． D．4．如圖，“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早500年左右．現(xiàn)從楊輝三角第20行隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，該數(shù)大于2023的概率為（

）A． B． C． D．5．在中，“”是“為直角三角形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．當(dāng)數(shù)列的前n項(xiàng)積最大時(shí)，或者D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為7．已知某正四棱錐高為h，底面ABCD邊長(zhǎng)為a，內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為R，下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．得到a，h的值，可以確定唯一的RB．得到a，h的值，可以確定唯一的rC．得到a，R的值，可以確定唯一的hD．得到a，r的值，可以確定唯一的h8．橢圓C：（）的左右焦點(diǎn)分別為，，B為橢圓C的下頂點(diǎn)，延長(zhǎng)交橢圓C于另一點(diǎn)A，若，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知，是全集的兩個(gè)非空真子集，下列說(shuō)法中一定正確的是（

）A．B．C．D．10．已知m，n為異面直線，平面，平面．若直線l滿足，，，，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B．C．若，則 D．11．已知數(shù)列滿足，，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．B．，且，滿足C．（）D．記的前n項(xiàng)積為，則12．函數(shù)的圖象稱(chēng)為牛頓三叉戟曲線．若關(guān)于x的方程有3個(gè)實(shí)根，，，，且，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．14．2023年10月5日晚，杭州亞運(yùn)會(huì)女籃決賽在杭州奧體中心體育館打響，中國(guó)女籃戰(zhàn)勝日本女籃，以6戰(zhàn)全勝的戰(zhàn)績(jī)強(qiáng)勢(shì)奪冠，第7次獲得亞運(yùn)會(huì)金牌.中國(guó)隊(duì)6場(chǎng)比賽得分依次為101，101，111，104，100，74，則中國(guó)隊(duì)6場(chǎng)比賽得分的第75百分位數(shù)是．15．（），若存在，使得，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為．16．MN是棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，若空間內(nèi)動(dòng)點(diǎn)Р滿足AP⊥CE，則的最小值為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．在中，，，，為的平分線．(1)求的面積；(2)求．18．如圖，已知兩個(gè)正四棱錐與的所有棱長(zhǎng)均為2．(1)設(shè)平面與平面的交線為l，證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．19．甲，乙兩學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)兩個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得分，負(fù)方得分，平局各得分．兩個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在兩個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為，，甲學(xué)校在兩個(gè)項(xiàng)目中平局的概率分別為，．各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲學(xué)校兩場(chǎng)比賽后獲得冠軍的概率；(2)用表示甲學(xué)校兩場(chǎng)比賽的總得分，求的分布列與期望．20．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且．(1)求的通項(xiàng)公式：(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．21．已知．(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范同：(2)設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，已知的解集為，求．（參考數(shù)據(jù)：，，）22．已知拋物線C：（）的準(zhǔn)線方程為．動(dòng)點(diǎn)P在上，過(guò)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)為M，N．(1)求拋物線C的方程：(2)當(dāng)面積的最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）1．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由于，所以，故，故選：A2．B【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合基本函數(shù)的性質(zhì)即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A,的定義域?yàn)?，故不符合題意，對(duì)于B，故為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，為上的單調(diào)遞增函數(shù)，進(jìn)而可得在上的單調(diào)遞增，故B滿足題意，對(duì)于C，為非奇非偶函數(shù)，故不符合題意，對(duì)于D，為周期函數(shù)，故不是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，故不符合題意，故選：B3．C【分析】利用，結(jié)合兩角和的余弦公式求值.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以為銳角，且.∴.故選：C4．A【分析】由楊輝三角的性質(zhì)判斷第20行的數(shù)大于2023的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型的概率公式即可得解.【詳解】由楊輝三角的性質(zhì)知第20行的數(shù)為，一共有21個(gè)數(shù)，其中，由楊輝三角的對(duì)稱(chēng)性可知，第20行中大于2023的數(shù)的個(gè)數(shù)為，故所求概率為.故選：A.5．D【分析】逐步分析條件，否定充分性，舉例子否定必要性即可.【詳解】在中，若，則，故，或，或，故充分性不成立，令，，不符合，故必要性不成立，故選：D6．D【分析】A選項(xiàng)，利用求出通項(xiàng)公式；B選項(xiàng)，計(jì)算出，，，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，計(jì)算出，且當(dāng)時(shí)，，得到當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)積最大；D選項(xiàng)，，利用等比數(shù)列求和公式求出答案.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，故，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，，，由于，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由A知，，故，當(dāng)時(shí)，，綜上，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)積最大，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)，，，故的前n項(xiàng)和為，D正確.故選：D7．C【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，結(jié)合外接球以及內(nèi)切球的性質(zhì)即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】在正四棱錐中，當(dāng)?shù)酌孢呴L(zhǎng)以及四棱錐的高確定時(shí)，此時(shí)正四棱錐是唯一確定的，因此此時(shí)正四棱錐的內(nèi)切球以及外接球均唯一確定，故AB正確，如圖，，為，的中點(diǎn)，,由題意，為正四棱錐，底邊長(zhǎng)為，根據(jù)等體積法可得,化簡(jiǎn)可得，的值，可以確定唯一的h，D正確,設(shè)外接球球心為,連接，,化簡(jiǎn)可得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以得到a，的值，不可以確定唯一的h，C錯(cuò)誤，故選：C．8．B【分析】由橢圓的定義可得，又,由余弦定理可得則,由于，結(jié)合余弦定理，即可得出答案．【詳解】由橢圓的定義可得，根據(jù)題意可得，所以，解得,所以，所以，所以，所以，所以，故選：B9．BCD【分析】結(jié)合韋恩圖判斷集合間的運(yùn)算結(jié)果.【詳解】如圖所示，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，，，BCD選項(xiàng)正確；故選：BCD.10．AC【分析】A選項(xiàng)，由線面垂直得到線線垂直，進(jìn)而由線面平行得到線線平行；B選項(xiàng)，可舉出反例；C選項(xiàng)，由線面垂直得到，，進(jìn)而得到；D選項(xiàng)，假設(shè)，得到，與矛盾，D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，則存在，使得且，因?yàn)?，由線面平行判定可得，A正確；B選項(xiàng)，如圖1，滿足題目條件，但不垂直，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，如圖2，因?yàn)?，所以，平面，，故，平面，，故，又，，故，C正確；D選項(xiàng)，假設(shè)，因?yàn)槠矫?，所以，則與矛盾，D錯(cuò)誤.故選：AC11．AD【分析】A選項(xiàng)，變形得到，若，推出，矛盾，故，即；B選項(xiàng)，得到，若，推出，矛盾；C選項(xiàng)，假設(shè)（），代入條件得到，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，得到，利用累乘法可得：，因?yàn)?，所以，則，也可構(gòu)造法求出，得到BC錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，由可得，若，則，以此類(lèi)推，，…，，與已知條件矛盾，故，此時(shí)，且滿足，所以A正確．B選項(xiàng)，由可得，因?yàn)椋?，則，以此類(lèi)推，，…，，與已知條件矛盾．故，又，所以恒成立．則，故是遞減數(shù)列，所以B錯(cuò)．C選項(xiàng)，假設(shè)（），則，將代入中得，，或者取驗(yàn)證可知C不成立，所以C錯(cuò)．D選項(xiàng)，由，，利用累乘法可得：，因?yàn)椋?，則．所以D正確．另解AB選項(xiàng)：由，左右兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，，令，則，設(shè)，故，故，故為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2，故，故，代入，則．顯然，故A正確，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)增函數(shù)，且大于0恒成立，則單調(diào)遞減，則數(shù)列為遞減數(shù)列，則不存在，且，滿足，所以B錯(cuò)誤；故選：AD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由遞推公式求解通項(xiàng)公式，根據(jù)遞推公式的特點(diǎn)選擇合適的方法，（1）若，采用累加法；（2）若，采用累乘法；（3）若，可利用構(gòu)造進(jìn)行求解；12．AD【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性作出其圖象.對(duì)于A：結(jié)合圖象分析判斷；對(duì)于B：由圖可知，利用作差法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)題意整理得，結(jié)合運(yùn)算求解即可；對(duì)于D：整理得，令，構(gòu)建（），利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可.【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)?，，令，解得或；令，解得；則在和單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且，令，解得或，可得的圖象如圖所示：對(duì)于A：若關(guān)于x的方程有3個(gè)實(shí)根，由函數(shù)圖象可知，符合題意，故A正確；對(duì)于B：由圖可知，則，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，由，可得，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由可得，由圖象可知，即，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由，令，則（），構(gòu)造（），則，令，解得；令，解得；則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，即，故D正確．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）作圖：常用描點(diǎn)法和圖象變換法．圖象變換法常用的有平移變換、伸縮變換和對(duì)稱(chēng)變換．（2）識(shí)圖：從圖象與軸的交點(diǎn)及左、右、上、下分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱(chēng)性等方面找準(zhǔn)解析式與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系．（3）用圖：圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，因此，函數(shù)性質(zhì)的確定與應(yīng)用及一些方程、不等式的求解常與圖象數(shù)形結(jié)合研究．13．【分析】求導(dǎo)，得到，得到切線方程.【詳解】，，故在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：14．104【分析】根據(jù)百分位數(shù)知識(shí)即可求解.【詳解】由題意知：將場(chǎng)比賽得分從小到大排列為：，，，，，，因?yàn)椋钥傻脠?chǎng)比賽得分第百分位數(shù)為第位的數(shù)：.故答案為：.15．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的值域可知存在，使得，即可利用整體法求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故由可得，因此存在，使得，由于，（），則，因此，解得，故答案為；16．##【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算可得，進(jìn)而利用線面垂直可判斷在平面上，即可利用空間向量求解點(diǎn)面距離求解.【詳解】設(shè)內(nèi)切球的球心為,連接，可得，取,的中點(diǎn)為，連接，由于E為的中點(diǎn)，所以又,所以,因此,故,又,所以,又平面，平面，所以,平面，因此點(diǎn)在平面上不同于點(diǎn)處運(yùn)動(dòng)，故當(dāng)平面時(shí)，此時(shí)最小，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，則,,設(shè)平面法向量為，則，取，則，故到平面的距離為所以的最小值為，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中與動(dòng)點(diǎn)軌跡有關(guān)的題目歸根到底還是對(duì)點(diǎn)線面關(guān)系的認(rèn)知，其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法，在此類(lèi)問(wèn)題中要么很容易的看出動(dòng)點(diǎn)符合什么樣的軌跡(定義)，要么通過(guò)計(jì)算(建系)求出具體的軌跡表達(dá)式，和解析幾何中的軌跡問(wèn)題并沒(méi)有太大區(qū)別，所求的軌跡一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型.17．(1)(2)【分析】（1）先利用余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解；（2）利用二倍角的余弦公式求出，再根據(jù)角平分線定理求出，再解即可.【詳解】（1）在中用余弦定理，，則，所以；（2）因?yàn)闉榈钠椒志€，所以，則，解得，因?yàn)闉榈钠椒志€，在和中分別用正弦定理可得，，因?yàn)椋运?，又，所以，在中用正弦定理，，解得?8．(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可求解；（2）建立空間坐標(biāo)系，利用法向量與方向向量的夾角即可求解.【詳解】（1）由正四棱錐可知，平面，平面，所以平面，平面平面，平面，所以．又因?yàn)槠矫媲移矫?，由線面平行的判定定理，平面．（2）由題設(shè)知，是正方形，所以．由正四棱錐的性質(zhì)，平面，取中心為O，分別以直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，，所以，，，設(shè)平面QAB的法向量為，由，取．設(shè)與平面所成角為，則．所以PA與平面QAB所成角的正弦值為．19．(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式結(jié)合互斥事件概率的加法公式直接計(jì)算；（2）確定隨機(jī)變量的可能情況，再根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式結(jié)合互斥事件概率的加法公式計(jì)算概率，可得分布列與期望.【詳解】（1）甲獲勝分三種情況：勝勝，勝平，平勝，則甲獲勝的概率為（2）所有可能取值為，，，，，，，，，，，，其分布列如下表.20．(1)，(2)【分析】（1）利用退一相減法可得，進(jìn)而確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法確定當(dāng)和時(shí)的前項(xiàng)和.【詳解】（1）由已知，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，則，即，則當(dāng)時(shí)，，即，，所以，則，，又，滿足上式，所以，；（2）由（1）得，又當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，綜上所述，.21．(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的最小值，進(jìn)而可得參數(shù)范圍；（2）由，可得，分情況討論該不等式是否有解，可得，進(jìn)而可得.【詳解】（1）由，得，令得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)楹愠闪?，所以，即，解得；?）由，得，則，設(shè)函數(shù)，，令，可得，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，則當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由（1）得在單調(diào)遞增，恒成立，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由（1）知在單調(diào)