2024屆廣東省惠州市第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2024屆廣東省惠州市第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，，則A． B．C． D．2．已知類產(chǎn)品共兩件，類產(chǎn)品共三件，混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分開來，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件類產(chǎn)品或者檢測(cè)出3件類產(chǎn)品時(shí)，檢測(cè)結(jié)束，則第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品，第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為（）A． B． C． D．3．胡夫金字塔是底面為正方形的錐體，四個(gè)側(cè)面都是相同的等腰三角形．研究發(fā)現(xiàn)，該金字塔底面周長(zhǎng)除以倍的塔高，恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率．設(shè)胡夫金字塔的高為，假如對(duì)胡夫金字塔進(jìn)行亮化，沿其側(cè)棱和底邊布設(shè)單條燈帶，則需要燈帶的總長(zhǎng)度約為A． B．C． D．4．已知雙曲線C：=1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)O作斜率為的直線交C的右支于點(diǎn)A，若|OA|=|OF|，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．+15．已知，若則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．7．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，且，則拋物線的方程是()A． B． C． D．8．已知拋物線和點(diǎn)，直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)，，直線與拋物線交于另一點(diǎn)．給出以下判斷：①直線與直線的斜率乘積為；②軸；③以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相切.其中，所有正確判斷的序號(hào)是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③9．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)，若從陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對(duì)值為5的概率為A． B． C． D．10．半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正三棱柱，則正三棱柱的側(cè)面積的最大值為（）A． B． C． D．11．已知命題：任意，都有；命題：，則有．則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．12．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，其中，，，下列敘述正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則一定有 B．若是等比數(shù)列，則一定有C．若不是等差數(shù)列，則一定有 D．若不是等比數(shù)列，則一定有二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的最小正周期為________;若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為________.14．不等式的解集為________15．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為_______．16．已知數(shù)列滿足：，，若對(duì)任意的正整數(shù)均有，則實(shí)數(shù)的最大值是_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）已知直線：，：.若直線與關(guān)于對(duì)稱，又函數(shù)在處的切線與垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)，則當(dāng)，時(shí)，求證：①；②.18．（12分）橢圓：（）的離心率為，它的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求證：直線恒過一個(gè)定點(diǎn).19．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和20．（12分）在中，．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，，求的值．21．（12分）已知公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，是與的等比中項(xiàng).（1）求；（2）設(shè)數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.22．（10分）如圖，在四面體中，.（1）求證:平面平面；（2）若，求四面體的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由可得，所以，故選B．2、D【解析】

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，由古典概型概率公式可得第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率，不放回情況下第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率，即可得解.【詳解】類產(chǎn)品共兩件，類產(chǎn)品共三件，則第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為；不放回情況下，剩余4件產(chǎn)品，則第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為；故第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品，第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，古典概型概率計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

設(shè)胡夫金字塔的底面邊長(zhǎng)為，由題可得，所以，該金字塔的側(cè)棱長(zhǎng)為，所以需要燈帶的總長(zhǎng)度約為，故選D．4、B【解析】

以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，可求出點(diǎn)，則，整理計(jì)算可得離心率.【詳解】解：以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，取第一象限的解得，即，則，整理得，則（舍去），，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題.5、C【解析】

根據(jù)，得到有解，則，得，，得到，再根據(jù)，有，即，可化為，根據(jù)，則的解集包含求解，【詳解】因?yàn)?，所以有解，即有解，所以，得，，所以，又因?yàn)椋?，即，可化為，因?yàn)?，所以的解集包含，所以或，解得，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法及集合的關(guān)系的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題，6、A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將與對(duì)比，即可求出結(jié)論.【詳解】由題知，，則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較大小，注意與特殊數(shù)的對(duì)比，屬于基礎(chǔ)題..7、B【解析】

利用拋物線的定義可得,,把線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,設(shè)點(diǎn)，由拋物線的定義可知，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，又，，可得，所以拋物線方程為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.8、B【解析】

由題意，可設(shè)直線的方程為，利用韋達(dá)定理判斷第一個(gè)結(jié)論；將代入拋物線的方程可得，，從而，，進(jìn)而判斷第二個(gè)結(jié)論；設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓為，則圓心為線段的中點(diǎn)．設(shè)，到準(zhǔn)線的距離分別為，，的半徑為，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，顯然，，三點(diǎn)不共線，進(jìn)而判斷第三個(gè)結(jié)論.【詳解】解：由題意，可設(shè)直線的方程為，代入拋物線的方程，有．設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，則，．所．則直線與直線的斜率乘積為．所以①正確．將代入拋物線的方程可得，，從而，，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以直線軸．所以②正確．如圖，設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓為，則圓心為線段的中點(diǎn)．設(shè)，到準(zhǔn)線的距離分別為，，的半徑為，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，顯然，，三點(diǎn)不共線，則．所以③不正確．故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義與幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于難題．9、A【解析】

陽(yáng)數(shù)：，陰數(shù)：，然后分析陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)差的絕對(duì)值為5的情況數(shù)，最后計(jì)算相應(yīng)概率.【詳解】因?yàn)殛?yáng)數(shù)：，陰數(shù)：，所以從陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)中各取一數(shù)差的絕對(duì)值有：個(gè)，滿足差的絕對(duì)值為5的有：共個(gè)，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)際背景下古典概型的計(jì)算，難度一般.古典概型的概率計(jì)算公式：.10、B【解析】

設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為，底面邊長(zhǎng)與高分別為，利用，可得，進(jìn)一步得到側(cè)面積，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】如圖所示.設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為，底面邊長(zhǎng)與高分別為，則，在中，，化為，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查正三棱柱與球的切接問題，涉及到基本不等式求最值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題.11、B【解析】

先分別判斷命題真假，再由復(fù)合命題的真假性，即可得出結(jié)論.【詳解】為真命題；命題是假命題，比如當(dāng),或時(shí)，則不成立.則，，均為假.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假性，判斷簡(jiǎn)單命題的真假是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，，顯然符合是等差數(shù)列，但是此時(shí)不成立，故本說法不正確；B：當(dāng)時(shí)，，顯然符合是等比數(shù)列，但是此時(shí)不成立，故本說法不正確；C：當(dāng)時(shí)，因此有常數(shù)，因此是等差數(shù)列，因此當(dāng)不是等差數(shù)列時(shí)，一定有，故本說法正確；D：當(dāng)時(shí)，若時(shí)，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，故本說法不正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

直接計(jì)算得到答案，根據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】，故，當(dāng)時(shí)，，故，解得.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期和單調(diào)性，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.14、【解析】

通過平方，將無(wú)理不等式化為有理不等式求解即可。【詳解】由得，解得，所以解集是。【點(diǎn)睛】本題主要考查無(wú)理不等式的解法。15、40【解析】

根據(jù)二項(xiàng)定理展開式，求得r的值，進(jìn)而求得系數(shù)．【詳解】根據(jù)二項(xiàng)定理展開式的通項(xiàng)式得所以，解得所以系數(shù)【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16、2【解析】

根據(jù)遞推公式可考慮分析,再累加求出關(guān)于關(guān)于參數(shù)的關(guān)系,根據(jù)表達(dá)式的取值分析出,再用數(shù)學(xué)歸納法證明滿足條件即可.【詳解】因?yàn)?累加可得.若,注意到當(dāng)時(shí),,不滿足對(duì)任意的正整數(shù)均有.所以.當(dāng)時(shí),證明：對(duì)任意的正整數(shù)都有.當(dāng)時(shí),成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立,即,則,即結(jié)論對(duì)也成立.由數(shù)學(xué)歸納法可知,對(duì)任意的正整數(shù)都有.綜上可知,所求實(shí)數(shù)的最大值是2.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解參數(shù)最值的問題,需要根據(jù)遞推公式累加求解,同時(shí)注意結(jié)合參數(shù)的范圍問題進(jìn)行分析.屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）①證明見解析②證明見解析【解析】

（1）首先根據(jù)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的求法，求得的方程及其斜率.根據(jù)函數(shù)在處的切線與垂直列方程，解方程求得的值.（2）①構(gòu)造函數(shù)，利用的導(dǎo)函數(shù)證得當(dāng)時(shí)，，由此證得.②由①知成立，整理得成立.利用構(gòu)造函數(shù)法證得，由此得到，即，化簡(jiǎn)后得到.【詳解】（1）由解得必過與的交點(diǎn).在上取點(diǎn)，易得點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，即為直線，所以的方程為，即，其斜率為.又因?yàn)椋?，，由題意，解得.（2）因?yàn)椋?①令，則，則，且，，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，因?yàn)椋源嬖?，使時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.又，所以時(shí)，，即，所以，即成立.②由①知成立，即有成立.令，即.所以時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即，因?yàn)?，所以，所以時(shí)，，即時(shí)，.【點(diǎn)睛】本小題考查函數(shù)圖象的對(duì)稱性，利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，推理與運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想和應(yīng)用意識(shí).18、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)列出方程組，即可得出橢圓方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，，由，，結(jié)合斜率公式化簡(jiǎn)得出，，即，滿足，由的任意性，得出直線恒過一個(gè)定點(diǎn).【詳解】（1）依題意得，解得即橢圓：；（2）設(shè)點(diǎn)，，其中，由，得，即，注意到，于是，因此，滿足由的任意性知，，，即直線恒過一個(gè)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓的方程，直線過定點(diǎn)問題，屬于中檔題.19、（1）；（2）【解析】

（1）由化為，利用數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系，得到是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列求解.（2）由（1）得到，再利用錯(cuò)位相減法求解.【詳解】（1）可以化為，，，，又時(shí)，數(shù)列從開始成等差數(shù)列，，代入得是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，，.（2）由（1）得，，，兩式相減得，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系和錯(cuò)位相減法求和，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20、(1);(2).【解析】試題分析：（1）由正弦定理得到．消去公因式得到所以．進(jìn)而得到角A；（2）結(jié)合三角形的面積公式，和余弦定理得到，聯(lián)立兩式得到．解析：（I）因?yàn)?，所以，由正弦定理，得．又因?yàn)?，，所以．又因?yàn)?，所以．（II）由，得，由余弦定理，得，即，因?yàn)椋獾?因?yàn)?，所?21、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)題意，建立首項(xiàng)和公差的方程組，通過基本量即可寫出前項(xiàng)和；（2）由（1）中所求，結(jié)合累加法求得.【詳解】（1）由題意可得即又因?yàn)椋?，所?（2）由條件及（1）可得.由已知得，所以.又滿足上式，所以【點(diǎn)睛】本題考查等