吉林省長春市外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題 Word版含答案

長春外國語學(xué)校20232024學(xué)年第一學(xué)期高二年級第二次月考數(shù)學(xué)試卷出題人：張宏欣審題人：王先師本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁．考試結(jié)束后，將答題卡交回．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)．2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚．3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑．5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀．第I卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每題5分，共40分．在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.下列函數(shù)中，與函數(shù)相同的是（）A. B. C. D.2.為了調(diào)查老師對微課堂的了解程度，某市擬采用分層抽樣的方法從，，三所中學(xué)抽取60名教師進(jìn)行調(diào)查，已知，，三所學(xué)校中分別有180，270，90名教師，則從學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為（）A.10 B.12 C.18 D.243.已知函數(shù)，一定有零點(diǎn)的區(qū)間為（）A B. C. D.4.已知，，，則（）A. B. C. D.5.已知圓，動圓與圓都外切，則動圓圓心的軌跡方程為（）A. B.C. D.6.已知是拋物線上任意一點(diǎn)，，，則的最小值為（）A. B. C. D.7.設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，若是底角為的等腰三角形，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.8.P是雙曲線的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為A.6 B.7 C.8 D.9二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.設(shè)，為不同的直線，，為不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則10.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若，則（）A. B.C. D.的坐標(biāo)為11.已知曲線.（）A.若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B.若m=n>0，則C圓，其半徑為C.若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為D.若m=0，n>0，則C是兩條直線12.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，長軸長為4，點(diǎn)在橢圓外，點(diǎn)在橢圓上，則（）A.橢圓的離心率的取值范圍是B.當(dāng)橢圓的離心率為時，的取值范圍是C.存在點(diǎn)使得D.的最小值為1第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13已知，則__________.14.已知向量，滿足，，則______.15.橢圓的右焦點(diǎn)到直線的距離是__________．16.過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，且，則線段AB的長為_____________四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）以直線為漸近線，焦點(diǎn)是，的雙曲線；（2）離心率為，短軸長為8的橢圓.18.如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，分別是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.（1）求函數(shù)在上的解析式；（2）用單調(diào)性定義證明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).20.已知雙曲線.（1）求與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，且A、B中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），求直線的斜率.21.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期、最大值、最小值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；22.已知橢圓的離心率為，橢圓C的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，且，過點(diǎn)且斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)k=2時，求△OMN的面積；（3）求證：直線與直線的交點(diǎn)T恒在一條定直線上.

長春外國語學(xué)校20232024學(xué)年第一學(xué)期高二年級第二次月考數(shù)學(xué)試卷出題人：張宏欣審題人：王先師本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁．考試結(jié)束后，將答題卡交回．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)．2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚．3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑．5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀．第I卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每題5分，共40分．在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.下列函數(shù)中，與函數(shù)相同的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，即判斷這兩個函數(shù)為相同函數(shù).【詳解】解：對于A，，與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不相同，故不是相同函數(shù)；對于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋瑑珊瘮?shù)的定義域不相同，故兩函數(shù)不是相同函數(shù)；對于C，兩函數(shù)的定義域都是，且對應(yīng)關(guān)系相同，故兩函數(shù)為相同函數(shù)；對于D，，與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不相同，故不是相同函數(shù).故選：C.2.為了調(diào)查老師對微課堂的了解程度，某市擬采用分層抽樣的方法從，，三所中學(xué)抽取60名教師進(jìn)行調(diào)查，已知，，三所學(xué)校中分別有180，270，90名教師，則從學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為（）A.10 B.12 C.18 D.24【答案】A【解析】【分析】按照分層抽樣原則，每部分抽取的概率相等，按比例分配給每部分，即可求解.【詳解】，，三所學(xué)校教師總和為540，從中抽取60人，則從學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為人.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣抽取方法，按比例分配是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3.已知函數(shù)，一定有零點(diǎn)的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題中所給函數(shù)用零點(diǎn)存在性定理即可判斷正確答案.【詳解】由題知函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以在區(qū)間上一定有零點(diǎn).故選：C4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：C.5.已知圓，動圓與圓都外切，則動圓圓心的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由圖結(jié)合兩圓相外切性質(zhì)可得，后由雙曲線定義可得答案.【詳解】由題可得圓圓心，半徑為；圓圓心，半徑為由圖設(shè)動圓P與圓，圓外切切點(diǎn)分別為A，B.則共線，共線.則，注意到，則，又，則點(diǎn)P軌跡為以為焦點(diǎn)雙曲線右支.設(shè)雙曲線方程為：，由題可得.故相應(yīng)軌跡方程為：.故選：A6.已知是拋物線上任意一點(diǎn)，，，則的最小值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作，利用定義將轉(zhuǎn)化為，然后結(jié)合圖形可得.【詳解】易知，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，作，垂足為C，由拋物線定義可知，，則由圖可知，的最小值為點(diǎn)B到準(zhǔn)線l的距離，即.故選：D7.設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，若是底角為的等腰三角形，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)直線交軸于點(diǎn)，推導(dǎo)出，可得出關(guān)于、的等式，由此可解得該橢圓的離心率.【詳解】設(shè)直線交軸于點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，，，在中，，，，為直線上一點(diǎn)，，即，．故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.8.P是雙曲線的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】可得雙曲線的焦點(diǎn)分別為(5，0)，(5，0)，由已知可得當(dāng)且僅當(dāng)P與M、三點(diǎn)共線以及P與N、三點(diǎn)共線時所求的值最大，可得答案.【詳解】解：易得雙曲線的焦點(diǎn)分別為(5，0)，(5，0)，且這兩點(diǎn)剛好為兩圓的圓心，由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)P與M、三點(diǎn)共線以及P與N、三點(diǎn)共線時所求的值最大，此時==6+3=9【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義及性質(zhì)的應(yīng)用，判斷P與M、三點(diǎn)共線以及P與N、三點(diǎn)共線時所求的值最大是解題的關(guān)鍵.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.設(shè)，為不同的直線，，為不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)線線、線面、面面的位置關(guān)系，逐一分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對A：若，，則或與相交或與異面，故選項(xiàng)A錯誤；對B：若，，則，故選項(xiàng)B正確；對C：若，，則或與相交，故選項(xiàng)C正確；對D：若，，，則，故選項(xiàng)D正確.故選：BD.10.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若，則（）A. B.C. D.的坐標(biāo)為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由拋物線：，可得，故D錯誤；由拋物線的定義可得，所以，故A正確；因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，所以，故B錯誤；則，故C正確.故選：AC.11.已知曲線.（）A.若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B.若m=n>0，則C是圓，其半徑為C.若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為D.若m=0，n>0，則C是兩條直線【答案】ACD【解析】【分析】結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行逐項(xiàng)分析求解，時表示橢圓，時表示圓，時表示雙曲線，時表示兩條直線.【詳解】對于A，若，則可化為，因?yàn)?，所以，即曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故A正確；對于B，若，則可化為，此時曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，故B不正確；對于C，若，則可化為，此時曲線表示雙曲線，由可得，故C正確；對于D，若，則可化為，，此時曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見曲線方程之間的區(qū)別是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).12.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，長軸長為4，點(diǎn)在橢圓外，點(diǎn)在橢圓上，則（）A.橢圓的離心率的取值范圍是B.當(dāng)橢圓的離心率為時，的取值范圍是C.存在點(diǎn)使得D.的最小值為1【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)在橢圓外，即可求出的取值范圍，即可求出離心率的取值范圍，從而判斷A，根據(jù)離心率求出，則，即可判斷B，設(shè)上頂點(diǎn)，得到，即可判斷C，利用基本不等式判斷D.【詳解】解：由題意得，又點(diǎn)在橢圓外，則，解得，

所以橢圓的離心率，即橢圓的離心率的取值范圍是，故A不正確；

當(dāng)時，，，所以的取值范圍是，即，故B正確；

設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，，，由于，

所以存在點(diǎn)使得，故C正確；

，

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，

又，

所以，故D正確．故選：BCD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，則__________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)正切的和角公式計算可得答案.【詳解】∵，∴，故答案為：3.14.已知向量，滿足，，則______.【答案】【解析】【分析】由向量模、數(shù)量積公式先求出，再由公式即可得解.【詳解】由題意，，所以.故答案為：.15.橢圓的右焦點(diǎn)到直線的距離是__________．【答案】##【解析】【分析】由橢圓方程可得右焦點(diǎn)為，代入點(diǎn)到直線距離公式即可得出結(jié)果.【詳解】由題可知橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以右焦點(diǎn)到直線的距離是．故答案為：16.過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，且，則線段AB的長為_____________【答案】【解析】【詳解】設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且,所以，解得，即，則的方程為，聯(lián)立，得，解得，所以.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）以直線為漸近線，焦點(diǎn)是，的雙曲線；（2）離心率為，短軸長為8的橢圓.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由題意設(shè)雙曲線方程為(，)，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和雙曲線的漸近線方程求出，即可；（2）分橢圓的焦點(diǎn)在軸時和軸時討論求解即可.【詳解】解：（1）由題意設(shè)雙曲線方程為(，)，由焦點(diǎn)可得，雙曲線的漸近線方程為，可得，又，解得，，所以雙曲線的方程為.（2）當(dāng)焦點(diǎn)在軸時，設(shè)橢圓方程為，由題可得，解得，，所以橢圓方程為；當(dāng)焦點(diǎn)在軸時，設(shè)橢圓方程為，由題可得，解得，，所以橢圓方程為；所以綜上可得橢圓方程為或.18.如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，分別是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）連接BD，根據(jù)線面平行的判定定理只需證明EF∥PD即可；（2）利用線面垂直的判定定理可得面，再利用面面垂直的判定定理即證．【小問1詳解】如圖，連結(jié)，則是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，∴，又∵平面，面，∴平面；【小問2詳解】∵底面是正方形，∴，∵平面，平面，∴，又，∴面，又平面，故平面平面.19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.（1）求函數(shù)在上的解析式；（2）用單調(diào)性定義證明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)時，則，根據(jù)已知解析式和奇偶性可得時解析式，再由奇函數(shù)性質(zhì)可知，然后可得在上的解析式；（2）根據(jù)定義法證明單調(diào)性的步驟：取值，作差，變形，定號，下結(jié)論可證.【小問1詳解】設(shè)時，則，所以，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，又，所以函數(shù)在上的解析式為.【小問2詳解】，且，則，因?yàn)?，所以，故，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞增.20.已知雙曲線.（1）求與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，且A、B的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），求直線的斜率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)所求雙曲線方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)，求得k，即可得答案；（2）設(shè)，利用點(diǎn)差法，代入A、B的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），即可求得斜率.【詳解】（1）因?yàn)樗箅p曲線與雙曲線有共同的漸近線，所以設(shè)所求雙曲線方程為，代入，得，所以所求雙曲線方程為；（2）設(shè)，因?yàn)椤⒃陔p曲線上，所以，（1）（2）得，因?yàn)锳、B的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），即，所以.21.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期、最大值、最小值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【答案】（1），最大值1，最小值1；（2）在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；【解析】【分