概率頻率分布直方圖練習題及概率統(tǒng)計 經(jīng)典題易錯題

PAGEPAGE61．(本題滿分１２分)某學校隨機抽取部分新生調(diào)查其上學路上所需時間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學路上所需時間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，.（１）求直方圖中的值；（２）如果上學路上所需時間不少于40分鐘的學生可申請在學校住宿，請估計學校1000名新生中有多少名學生可以申請住宿.2、(本題滿分12分)為調(diào)查民營企業(yè)的經(jīng)營狀況，某統(tǒng)計機構(gòu)用分層抽樣的方法從A、B、C三個城市中，抽取若干個民營企業(yè)組成樣本進行深入研究，有關(guān)數(shù)據(jù)見下表：（單位：個）城市民營企業(yè)數(shù)量抽取數(shù)量A4B28C846（1）求、的值；（2）若從城市A與B抽取的民營企業(yè)中再隨機選2個進行跟蹤式調(diào)研，求這2個都來自城市A的概率.3、某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成個等級，等級系數(shù)依次為，產(chǎn)品的等級系數(shù)越大表明產(chǎn)品的質(zhì)量越好.現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取件，相應的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：353385563463475348538343447567該行業(yè)規(guī)定產(chǎn)品的等級系數(shù)的為一等品，等級系數(shù)的為二等品，等級系數(shù)的為三等品，為不合格品．（1）試分別估計該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）從樣本的一等品中隨機抽取件，求所抽得件產(chǎn)品等級系數(shù)都是的概率．4、某中學在校就餐的高一年級學生有440名，高二年級學生有460名，高三年級學生有500名；為了解學校食堂的服務質(zhì)量情況，用分層抽樣的方法從中抽取70名學生進行抽樣調(diào)查，把學生對食堂的“服務滿意度”與“價格滿意度”都分為五個等級：1級（很不滿意）；2級（不滿意）；3級（一般）；4級（滿意）；5級（很滿意），其統(tǒng)計結(jié)果如下表（服務滿意度為，價格滿意度為）.人數(shù)yx價格滿意度12345服務滿意度111220221341337884414641501231（1）求高二年級共抽取學生人數(shù)；（2）求“服務滿意度”為3時的5個“價格滿意度”數(shù)據(jù)的方差；（3）為提高食堂服務質(zhì)量，現(xiàn)從且的所有學生中隨機抽取兩人征求意見，求至少有一人的“服務滿意度”為1的概率.5、（本小題滿分12分）為調(diào)查乘客的候車情況，公交公司在某站臺的60名候車乘客中隨機抽取15人，將他們的候車時間（單位：分鐘）作為樣本分成5組，如下表所示：（1）估計這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數(shù)；組別候車時間人數(shù)一2二6三4四2五1（2）若從上表第三、四組的6人中隨機抽取2人作進一步的問卷調(diào)查，求抽到的兩人恰好來自不同組的概率．6、（本小題滿分12分）某學校甲、乙兩個班參加體育達標測試，統(tǒng)計測試成績達標人數(shù)情況得到如圖所示的列聯(lián)表，已知在全部學生中隨機抽取1人為不達標的概率為.（1）請完成上面的列聯(lián)表；（2）若用分層抽樣的方法在所有測試不達標的學生中隨機抽取6人，問其中從甲、乙兩個班分別抽取多少人？（3）從（2）中的6人中隨機抽取2人，求抽到的兩人恰好都來自甲班的概率．組別達標不達標總計甲班8乙班54合計1207、（本小題滿分12分）對某校高一年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)統(tǒng)計，隨機抽去了名學生作為樣本，得到這名學生參加社區(qū)服務的次數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表如下：（1）求出表中的值；（2）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務的次數(shù)不少于次的學生中任選人，求至少一人參加社區(qū)服務次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率．8、（本小題滿分12分）某地區(qū)有小學所，中學所，大學所，現(xiàn)采取分層抽樣的方法從這些學校中抽取所學校對學生進行視力調(diào)查。（1）求應從小學、中學、大學中分別抽取的學校數(shù)目．（2）若從抽取的所學校中隨機抽取所學校做進一步數(shù)據(jù)分析，求抽取的所學校均為小學的概率．9、（本小題滿分12分）沙糖桔是柑桔類的名優(yōu)品種，因其味甜如砂糖故名.某果農(nóng)選取一片山地種植沙糖桔，收獲時，該果農(nóng)隨機選取果樹20株作為樣本測量它們每一株的果實產(chǎn)量（單位：kg），獲得的所有數(shù)據(jù)按照區(qū)間進行分組，得到頻率分布直方圖如圖3.已知樣本中產(chǎn)量在區(qū)間上的果樹株數(shù)是產(chǎn)量在區(qū)間上的果樹株數(shù)的倍.（1）求,的值；（2）從樣本中產(chǎn)量在區(qū)間上的果樹隨機抽取兩株，求產(chǎn)量在區(qū)間上的果樹至少有一株被抽中的概率.10、(本題滿分13分)我市為增強市民的環(huán)境保護意識，面向全市征召義務宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機抽取100名按年齡（單位：歲）分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場的宣傳活動，應從第3，4，5組各抽取多少名志愿者？（2）請根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名志愿者樣本的平均數(shù)；（3）在（1）的條件下，該市決定在這6名志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率.（參考數(shù)據(jù)：）1．(本題滿分１２分)解：（1）由，………….4分則………….6分（2）上學所需時間不少于40的學生的頻率為：………….8分估計學校1000名新生中有：………….11分答：估計學校1000名新生中有250名學生可以申請住宿.…12分2、解：（1）由題意得,………………4分所以,……………………6分（2）記從城市A所抽取的民營企業(yè)分別為，從城市B抽取的民營企業(yè)分別為.則從城市A、B抽取的6個中再隨機選2個進行跟蹤式調(diào)研的基本事件有,,,,,,,,,,,,,,共15個………………8分其中，來自城市A:,,,,,共６個………10分因此.故這2個都來自城市A的概率為.………12分3、解：（1）由樣本數(shù)據(jù)知，30件產(chǎn)品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件.……3分∴樣本中一等品的頻率為，故估計該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的一等品率為,……4分二等品的頻率為，故估計該廠產(chǎn)品的二等品率為,……5分三等品的頻率為，故估計該廠產(chǎn)品的三等品率為．………6分（2）樣本中一等品有6件，其中等級系數(shù)為7的有3件，等級系數(shù)為8的有3件，…7分記等級系數(shù)為7的3件產(chǎn)品分別為、、，等級系數(shù)為8的3件產(chǎn)品分別為、、,則從樣本的一等品中隨機抽取2件的所有可能為：,,，，，,,,,，,,,共15種，…………10分記從“一等品中隨機抽取2件，2件等級系數(shù)都是8”為事件，則包含的基本事件有共3種，………11分故所求的概率.……12分4、解：（1）共有1400名學生，高二級抽取的人數(shù)為（人）…………3分（2）“服務滿意度為3”時的5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，……………4分所以方差………………7分（3）符合條件的所有學生共7人，其中“服務滿意度為2”的4人記為“服務滿意度為1”的3人記為.……9分在這7人中抽取2人有如下情況：共21種情況.……11分其中至少有一人的“服務滿意度為1”的情況有15種.……12分所以至少有一人的“服務滿意度”為1的概率為……14分5、.解：（1）由頻率分布表可知：這15名乘客中候車時間少于10分鐘的人數(shù)為8，所以，這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數(shù)大約等于人.…4分（2）設(shè)第三組的乘客為，第四組的乘客為1，2；“抽到的兩個人恰好來自不同的組”為事件.………………5分所得基本事件共有15種，即：…8分其中事件包含基本事件，共8種，………10分由古典概型可得，………12分6、.解：（1）組別達標不達標總計甲班54862乙班54458合計10812120……3分（2）由表可知：用分層抽樣的方法從甲班抽取的人數(shù)為人，……………4分從乙班抽取的人數(shù)為人……………5分（3）設(shè)從甲班抽取的人為，從乙班抽取的人為1，2；“抽到的兩個人恰好都來自甲班”為事件.………6分所得基本事件共有15種，即：……………8分其中事件包含基本事件，共6種，……10分由古典概型可得……………………12分7、（本小題滿分12分）解：（1）因為，所以……………2分又因為，所以……………3分所以，……………4分（2）設(shè)參加社區(qū)服務的次數(shù)在內(nèi)的學生為，參加社區(qū)服務的次數(shù)在內(nèi)的學生為；……………5分任選名學生的結(jié)果為：共種情況；……………8分其中至少一人參加社區(qū)服務次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的情況有，共種情況…10分每種情況都是等可能出現(xiàn)的，所以其中至少一人參加社區(qū)服務次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率為.……………12分8、（1）解：從小學、中學、大學中分別抽取的學校數(shù)目為3,2,1.…………3分（2）解：在抽取到得6所學校中，3所小學分別記為,2所中學分別記為大學記為，則抽取2所學校的所有可能結(jié)果為,,,,,,,,,,,,,,.共15種。…………8分從6所學校中抽取的2所學校均為小學（記為事件A）的所有可能結(jié)果為,，共3種，所以…………12分9、（1）解:樣本中產(chǎn)量在區(qū)間上的果樹有（株），…………1分樣本中產(chǎn)量在區(qū)間上的果樹有（株），……………2分依題意，有，即.①…………3分根據(jù)頻率分布直方圖可知，②…………4分解①②得:.……………6分（2）解：樣本中產(chǎn)量在區(qū)間上的果樹有株，分別記為………7分產(chǎn)量在區(qū)間上的果樹有株，分別記為.…8分從這株果樹中隨機抽取兩株共有15種情況：，，.……………10分其中產(chǎn)量在上的果樹至少有一株共有9種情況：，.………11分記“從樣本中產(chǎn)量在區(qū)間上的果樹隨機抽取兩株，產(chǎn)量在區(qū)間上的果樹至少有一株被抽中”為事件，則.……………12分10、解：(1)第3組的人數(shù)為0.3×100=30,第4組的人數(shù)為0.2×100=20,第5組的人數(shù)為0.1×100=10.……2分因為第3,4,5組共有60名志愿者,所以利用分層抽樣的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每組抽取的人數(shù)分別為:第3組:×6=3;第4組:×6=2;第5組:×6=1.所以應從第3,4,5組中分別抽取3人,2人,1人.………………4分（2）根據(jù)頻率分布直方圖，樣本的平均數(shù)的估計值為:（歲）所以，樣本平均數(shù)為31.25歲.……………………8分(3)記第3組的3名志愿者為A1,A2,A3,第4組的2名志愿者為B1,B2,第5組的1名志愿者為C1.則從6名志愿者中抽取2名志愿者有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15種.…………10分其中第4組的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有9種……11分根據(jù)古典概型概率計算公式，得………12分答：第4組至少有一名志愿者被抽中的概率為……13分概率統(tǒng)計經(jīng)典題易錯題1、（2010年遼寧高考試題節(jié)選）將這200只家兔隨機地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B。甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同組的概率。錯解：錯因分析：（1）誤認為甲乙分在不同組的概率是相同的。（2），（3）關(guān)鍵原因是沒弄清基本事件是什么？古典概型要求基本事件有限個并且是等可能發(fā)生的。正確解答：法1：法2：法3：法4：變式練習：（2012濰坊一模）某工廠將甲、乙等五名新招聘員工分配到三個不同的車間．每個車間至少分配一名員工，若甲、乙兩名員工必須分到同一個車間，則不同分法的種數(shù)為。2、（2012年青島一模試題改編）一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個函數(shù)：,,，，，．（1）從中任意抽取張卡片，①求兩張卡片上寫著的函數(shù)都是奇函數(shù)的概率；②設(shè)所抽取奇函數(shù)的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望。（2）從中任意抽取張卡片，在其中有一張卡片上寫著的函數(shù)為奇函數(shù)的條件下，求兩張卡片上寫著的函數(shù)都是奇函數(shù)的概率。（3）不放回地逐次抽取張卡片，①求兩張卡片上寫著的函數(shù)都是奇函數(shù)的概率。②設(shè)所抽取奇函數(shù)的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望。（4）不放回地逐次抽取張卡片，在第一次抽取的卡片上寫著的函數(shù)為奇函數(shù)的條件下，求兩張卡片上寫著的函數(shù)都是奇函數(shù)的概率。（5）不放回地逐次抽取張卡片，在其中有一張卡片上寫著的函數(shù)為奇函數(shù)的條件下，求兩張卡片上寫著的函數(shù)都是奇函數(shù)的概率。（6）有放回地逐次抽取張卡片，①求兩張卡片上寫著的函數(shù)都是奇函數(shù)的概率。②設(shè)所抽取奇函數(shù)的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望。（7）有放回地逐次抽取張卡片，在第一次抽取的卡片上寫著的函數(shù)為奇函數(shù)的條件下，求兩張卡片上寫著的函數(shù)都是奇函數(shù)的概率。（8）有放回地逐次抽取張卡片，在其中有一張卡片上寫著的函數(shù)為奇函數(shù)的條件下，求兩張卡片上寫著的函數(shù)都是奇函數(shù)的概率。分析：（1）通過本題的變式訓練，弄清一下取兩個、不放回地逐次抽取、有放回地逐次抽取這三種不同的抽取方法。（2）弄清條件概率。3、條件概率，相互獨立事件，互斥（對立）事件甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球。先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是___②④_____（寫出所有正確結(jié)論的編號）。①；②；③事件與事件相互獨立；④是兩兩互斥的事件；⑤的值不能確定，因為它與中哪一個發(fā)生有關(guān)。分析：，4、在區(qū)間[0,2]上任取兩個實數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)＝x3＋ax－b在區(qū)間[－1,1]上有且僅有一個零點的概率是______．分析：幾何概型。研究f(x)＝x3＋ax－b的單調(diào)性，并利用零點存在定理。答案：5、某大學為調(diào)查來自南方和北方的同齡大學生的身高差異，從2011級的年齡在18～19歲之間的大學生中隨機抽取了一自南方和北方的大學生各10名，測量他們的身高,量出的身高如下（單位:cm）南方：158，170，166，169，180，175，171，176，162，163北方：183，173，169，163，179，171，157，175，178，166（1）根據(jù)抽測結(jié)果，做出莖葉圖，并根據(jù)你填寫的莖葉圖，對來自南方和北方的大學生的身高作比較，寫出兩個統(tǒng)計結(jié)論．（2）設(shè)抽測的10名南方大學生的平均身高為,將10名同學的身高依次輸入按程序框圖進行運算,問輸出的大小為多少？并說明的統(tǒng)計學意義．若將樣本頻率視為總體的概率,現(xiàn)從來自南方的大學生中隨機抽取3名同學，記其中身高不低于平均身高的同學的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望EX若從抽測的10名南方大學生中隨機抽取3名同學，記其中身高不低于平均身高的同學的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望EX注意：提示學生高度重視審題！區(qū)別第（3）問和第（4）問。第（3）問是二項分布問題，，X0123P第（4）問是超幾何分布問題。X0123P6、某學校舉行知識競賽,第一輪選拔共設(shè)有四個問題，規(guī)則如下：每位參加者計分器的初始分均為10分，答對問題分別加1分、2分、3分、6分，答錯任一題減2分；每回答一題，計分器顯示累計分數(shù)，當累計分數(shù)小于8分時，答題結(jié)束，淘汰出局；當累計分數(shù)大于或等于14分時，答題結(jié)束，進入下一輪；當答完四題，累計分數(shù)仍不足14分時，答題結(jié)束，淘汰出局，當累計分數(shù)大于或等于14分時，答題結(jié)束，進入下一輪；當答完四題，累計分數(shù)仍不足14分時，答題結(jié)束，淘汰出局；每位參加者按問題順序作答，直至答題結(jié)束.假設(shè)甲同學對問題回答正確的概率依次為，且各題回答正確與否相互之間沒有影響.(Ⅰ)求甲同學能進入下一輪的概率；（Ⅱ）用表示甲同學本