優(yōu)化模型在生產(chǎn)計(jì)劃制定中的應(yīng)用

PAGE16緒論一般地說，數(shù)學(xué)模型可以描述為，對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)[1]．在現(xiàn)實(shí)生活中運(yùn)用數(shù)學(xué)建模來解決實(shí)際問題是十分常見的，可以說數(shù)學(xué)模型是將數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來的一座橋梁，而優(yōu)化模型作為數(shù)學(xué)模型中的一種最常見且得到廣泛應(yīng)用的模型，正是數(shù)學(xué)建模在生產(chǎn)經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域中的典型應(yīng)用．優(yōu)化問題是人們最常遇到的一類問題．設(shè)計(jì)師要在滿足強(qiáng)度要求等條件下選擇材料的尺寸，使結(jié)構(gòu)總量最輕；公司經(jīng)理要根據(jù)生產(chǎn)成本和市場(chǎng)需求確定產(chǎn)品價(jià)格，使所獲利潤(rùn)最高；投資者要選擇一些股票、債券“下注”，是收益最大，而風(fēng)險(xiǎn)最?。脭?shù)學(xué)建模的方法來處理優(yōu)化問題，即建立和求解所謂優(yōu)化模型．雖然由于建模時(shí)要做適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，可能使得結(jié)果不一定完全可行或達(dá)到實(shí)際上的最優(yōu)，但是它基于客觀規(guī)律和數(shù)據(jù)，又不需要多大的費(fèi)用．如果在建模的基礎(chǔ)上再輔之以適當(dāng)?shù)慕?jīng)驗(yàn)和試驗(yàn)，就可以期望得到實(shí)際問題的一個(gè)比較圓滿的回答．在決策科學(xué)化、定量化的呼聲日益高漲的今天，這無疑是符合時(shí)代潮流和形勢(shì)發(fā)展需要的．在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中有關(guān)產(chǎn)品的效益是由生產(chǎn)的現(xiàn)實(shí)條件和需求者的需求量關(guān)系來決定的，由于產(chǎn)量與費(fèi)用的這種波動(dòng)關(guān)系，從而抽象出了優(yōu)化模型．優(yōu)化模型是在生產(chǎn)中是供應(yīng)者在最節(jié)省能源的情況下獲得最大的效益，對(duì)企業(yè)追求最大利潤(rùn)起到了相當(dāng)重要的作用．它要求企業(yè)在生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，既要對(duì)原材料等生產(chǎn)必需資料做到充分利用，而要認(rèn)真調(diào)查研究，有效利用工作時(shí)間，正確把握產(chǎn)品的產(chǎn)量和費(fèi)用之間的規(guī)律，最終能夠又快又好的完成產(chǎn)量，使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)．優(yōu)化模型是生產(chǎn)計(jì)劃和經(jīng)濟(jì)管理中的一個(gè)經(jīng)典模型，在對(duì)尋求最大效益方面的應(yīng)用非常廣泛，尤其對(duì)于制定諸如生產(chǎn)計(jì)劃等方案有著積極的意義．例如公司經(jīng)理要根據(jù)生產(chǎn)成本和市場(chǎng)需求確定產(chǎn)品價(jià)格和生產(chǎn)計(jì)劃，使利潤(rùn)達(dá)到最大；調(diào)度人員要在滿足物質(zhì)需求和裝載條件下安排從各需求點(diǎn)的運(yùn)量和路線，使運(yùn)輸總費(fèi)用達(dá)到最低。然而簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型假設(shè)提供的原材料、相應(yīng)的必需條件和生產(chǎn)環(huán)境以及人力資源都是靜態(tài)的，且需求者要求的產(chǎn)量一定，但假設(shè)條件在現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中不可能都是靜態(tài)的，因此本文我們?cè)诜治隽撕?jiǎn)單的優(yōu)化模型后，又介紹了更加符合現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)條件的動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型，并對(duì)該模型進(jìn)行了分析．隨著國(guó)內(nèi)外對(duì)優(yōu)化模型的不斷研究和改進(jìn)，其應(yīng)用領(lǐng)域已不僅僅局限于單領(lǐng)域范圍，也將其運(yùn)用在石油開采、城市規(guī)劃、人力資源分配等問題的分析上[2]．當(dāng)前全球經(jīng)濟(jì)正處于金融危機(jī)的嚴(yán)重影響下，如何在當(dāng)前形勢(shì)下制定出比較有利的生產(chǎn)計(jì)劃對(duì)一個(gè)企業(yè)來說是非常重要的，本文我們將主要運(yùn)用優(yōu)化模型來研究生產(chǎn)計(jì)劃的制定方案，并研究結(jié)果來確定比較合理的計(jì)劃方案．1優(yōu)化模型的理論及實(shí)際意義優(yōu)化模型工作是利用現(xiàn)有的條件規(guī)劃出各種“最優(yōu)”方案為現(xiàn)代生產(chǎn)計(jì)劃和管理工作中的經(jīng)濟(jì)利益預(yù)估服務(wù)。這里通過變分法作出的求極限值的模型被稱為優(yōu)化模型。優(yōu)化模型在現(xiàn)代企業(yè)管理中有很多的應(yīng)用，如物流、生產(chǎn)計(jì)劃、原材料采購(gòu)、勞動(dòng)力的分配、廣告促銷、運(yùn)輸、成本控制、項(xiàng)目擇優(yōu)、信貸投放、企業(yè)的資產(chǎn)負(fù)債情況等方面的問題都可以用線性規(guī)劃來解決。1.1優(yōu)化模型的理論數(shù)學(xué)模型是對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型是將數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來的橋梁,在眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。求解實(shí)際的最優(yōu)化問題一般要進(jìn)行兩項(xiàng)工作。第一是將實(shí)際問題抽象地用數(shù)學(xué)模型來描述，包括選擇優(yōu)化變量，確定目標(biāo)函數(shù)，給出約束條件；第二是對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，并采用適當(dāng)?shù)淖顑?yōu)化方法求解數(shù)學(xué)模型。建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型是求解優(yōu)化問題的基礎(chǔ)，有了正確、合理的模型，才能選擇適當(dāng)?shù)姆椒▉砬蠼?。?shù)學(xué)模型的建立要求具備與實(shí)際問題有關(guān)的專業(yè)技術(shù)知識(shí)，確定優(yōu)化追求的目標(biāo)，并推導(dǎo)出相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)；分析影響目標(biāo)函數(shù)的因素有哪些，它們之間的相互關(guān)系如何，選擇哪些參數(shù)作為優(yōu)化變量，同時(shí)又受到哪些約束條件的限制。優(yōu)化變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件是最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型的3個(gè)基本要素。這是優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的要素。而變分法作為數(shù)學(xué)問題中求極值的一種方法，是動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型在生產(chǎn)計(jì)劃制定中的典型應(yīng)用。變分法是泛函分析（如果變量J對(duì)應(yīng)于某一函數(shù)類中的每一個(gè)函數(shù)y(x)都有一個(gè)確定的值，那么就稱變量J為函數(shù)y(x)的泛函，記為J=J[y(x)]式中，J為泛函，函數(shù)y為泛函J的宗量，x為函數(shù)y的自變量。）中的一種方法。如果連續(xù)泛函J[y(x)]的改變量為式總可以表示為式中，是的線性形式；是的最大值。當(dāng)上式中的時(shí)，，稱為泛函的變分，記作，寫成式中，是泛函J對(duì)其宗量y的偏微分，。所謂生產(chǎn)計(jì)劃這里簡(jiǎn)單的看作是到每一刻為止的累積產(chǎn)量。變分法是生產(chǎn)計(jì)劃的制定進(jìn)行建立模型的數(shù)學(xué)方法，使得在生產(chǎn)中獲得最大的效益。變分法是處理函數(shù)的函數(shù)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，和處理數(shù)的函數(shù)的普通微積分相對(duì)。變分法的關(guān)鍵定理是歐拉－拉格朗日方程。它對(duì)應(yīng)于泛函的臨界點(diǎn)。在尋找函數(shù)的極大和極小值時(shí)，在一個(gè)解附近的微小變化的分析給出一階的一個(gè)近似。18世紀(jì)是變分法的草創(chuàng)時(shí)期，建立了極值應(yīng)滿足的歐拉方程并據(jù)此解決了大量具體問題。1964年，錢偉長(zhǎng)教授明確提出了引進(jìn)拉格朗日成子（Lagrangemultiplier）把有約束條件的變分原理化為較少（或沒有）約束條件的變分原理的方法。日本的鷲津一郎教授、中國(guó)科學(xué)院院士錢偉長(zhǎng)教授和劉高聯(lián)教授等都是這方面的世界級(jí)大師。在生產(chǎn)計(jì)劃制定中，如何選擇使費(fèi)用最省而經(jīng)濟(jì)利益最大，變分法是生產(chǎn)最優(yōu)化最成功的方法。1.2優(yōu)化模型的實(shí)際意義優(yōu)化模型工作的一個(gè)很重要任務(wù)就是利用現(xiàn)有的條件規(guī)劃出各種“最優(yōu)”方案為現(xiàn)代生產(chǎn)計(jì)劃和管理工作中的經(jīng)濟(jì)利益預(yù)估服務(wù)。這里通過變分法作出的求極限值的模型被稱為優(yōu)化模型。優(yōu)化模型在現(xiàn)代企業(yè)管理中有很多的應(yīng)用，如物流、生產(chǎn)計(jì)劃、原材料采購(gòu)、勞動(dòng)力的分配、廣告促銷、運(yùn)輸、成本控制、項(xiàng)目擇優(yōu)、信貸投放、企業(yè)的資產(chǎn)負(fù)債情況等方面的問題都可以用線性規(guī)劃來解決。基于優(yōu)化模型在多方面的實(shí)際應(yīng)用，我認(rèn)為各個(gè)領(lǐng)域的人才尤其是企業(yè)生產(chǎn)管理者都應(yīng)在這方面有著堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，因?yàn)樗粌H提高我們自身的素質(zhì)和邏輯思維能力，還能指導(dǎo)企業(yè)家提高企業(yè)的生產(chǎn)效率，使企業(yè)獲得最大的利益以便更好的適應(yīng)市場(chǎng)激烈的競(jìng)爭(zhēng)。2優(yōu)化模型的基本要素及分類2.1優(yōu)化模型的基本要素2.1.1優(yōu)化變量一個(gè)實(shí)際的優(yōu)化方案可以用一組參數(shù)（如幾何參數(shù)、物理參數(shù)、工作性能參數(shù)等）來表示。在這些參數(shù)中，有些根據(jù)要求在優(yōu)化過程中始終保持不變，這類參數(shù)稱為常量。而另一些參量的取值則需要在優(yōu)化過程中進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)選，一直處于變化的狀態(tài)，這類參數(shù)稱為優(yōu)化變量（或稱為決策變量、設(shè)計(jì)變量）。優(yōu)化變量必須是獨(dú)立的參數(shù)。例如，如果將舉行的長(zhǎng)和寬作為優(yōu)化變量，則其面積就不是獨(dú)立參數(shù)，不能再作為優(yōu)化變量了。優(yōu)化變量的全體可以用向量來表示。包含n個(gè)優(yōu)化變量的優(yōu)化問題稱為n維優(yōu)化問題，這些變量可以表示成一個(gè)n維列向量，即式中，表示第個(gè)優(yōu)化變量。當(dāng)?shù)闹刀即_定之后，向量就表示一個(gè)優(yōu)化方案。2.1.2目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)是用優(yōu)化變量來表示的優(yōu)化目標(biāo)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，是方案好壞的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，故又稱為評(píng)價(jià)函數(shù)。怒表函數(shù)通常表示為求解優(yōu)化問題的實(shí)質(zhì)，就是通過改變優(yōu)化變量獲得不同的目標(biāo)函數(shù)值，通過目標(biāo)函數(shù)值的大小來衡量方案的優(yōu)劣，從而找出最優(yōu)方案。目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值可能是最大值，也可能是最小值，在建立優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型時(shí)，一般將目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化表示為極大或極小。目標(biāo)函數(shù)的極小化可以表示為目標(biāo)函數(shù)的極大化可以表示為求目標(biāo)函數(shù)的極大化等效于求目標(biāo)函數(shù)——的極小化。為規(guī)范起見，將求目標(biāo)函數(shù)的極值統(tǒng)一表示為求其極小值。在優(yōu)化問題中，如果只有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，則其為單目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問題；如果有兩個(gè)或兩個(gè)以上目標(biāo)函數(shù)，則其為多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問題。目標(biāo)函數(shù)越多，對(duì)優(yōu)化的評(píng)價(jià)越周全，綜合效果也越好，但是問題的求解也越復(fù)雜。一個(gè)優(yōu)化向量x確定n維空間中的一個(gè)方案點(diǎn)，每一個(gè)方案點(diǎn)都有一個(gè)相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值與其對(duì)應(yīng)；但是對(duì)于目標(biāo)函數(shù)值的某一定值C，卻可能有無窮多個(gè)方案點(diǎn)與其對(duì)應(yīng)。目標(biāo)函數(shù)值相等的所有方案點(diǎn)組成的集合稱為目標(biāo)函數(shù)的等值曲面。對(duì)于二維問題，這個(gè)點(diǎn)集為等值曲線；對(duì)于三維問題，這個(gè)點(diǎn)集為等值曲面；對(duì)于多維問題，這個(gè)點(diǎn)集為超平面。2.1.3約束條件約束條件是在優(yōu)化中對(duì)優(yōu)化變量取值的限制條件，可以是等式約束，也可以是不等式約束。等式約束的形式為不等式約束更為普遍，形式為式中，L和M分別表示等式約束和不等式約束的個(gè)數(shù)。其中，等式約束的個(gè)數(shù)L必須小于優(yōu)化變量的個(gè)數(shù)n，如果相等，則該優(yōu)化問題就成了沒有優(yōu)化余地的既定系統(tǒng)。等式約束也可以用兩個(gè)不等式約束來代替。不等式約束可以用的等價(jià)形式代替。根據(jù)約束性質(zhì)的不同，約束可以分為邊界約束和性能約束兩類。邊界約束直接用來限制優(yōu)化變量的取值范圍，如長(zhǎng)度變化的范圍。性能約束則是根據(jù)某種性能指標(biāo)要求推導(dǎo)出來的限制條件，如零件的強(qiáng)度條件。2.2優(yōu)化模型的分類最優(yōu)化問題的類別很多，可以從不同角度分類。以下是一些常見的分類和名稱：(1)按照優(yōu)化的有無,可分為無約束優(yōu)化問題和有約束優(yōu)化問題。(2)按照優(yōu)化變量的個(gè)數(shù)，可分為一維優(yōu)化問題和多維優(yōu)化問題。(3)按照目標(biāo)函數(shù)的數(shù)目，可分為單目標(biāo)優(yōu)化問題和多目標(biāo)優(yōu)化問題。(4)根據(jù)目標(biāo)函數(shù)與約束條件線性與否，可分為線性規(guī)劃問題和非線性規(guī)劃問題。(5)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為優(yōu)化變量的二次函數(shù)，均為線性函數(shù)時(shí)，則該優(yōu)化問題稱為二次規(guī)劃問題。(6)當(dāng)優(yōu)化變量中有一個(gè)或一些只能取整數(shù)時(shí)，稱為整數(shù)規(guī)劃；如果只能取0或1，則稱為0-1規(guī)劃；如果只能取某些離散值，則稱為離散規(guī)劃。(7)當(dāng)優(yōu)化變量隨機(jī)取值時(shí)，稱為隨機(jī)規(guī)劃。(8)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，可行域?yàn)橥辜瘯r(shí)，該優(yōu)化問題為凸規(guī)劃問題。(9)優(yōu)化目標(biāo)是一個(gè)數(shù)值，最優(yōu)策略是函數(shù)，該優(yōu)化問題為動(dòng)態(tài)優(yōu)化問題。3優(yōu)化模型的建立及分析由上面優(yōu)化變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件三要素所組成的最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可以表述為：在滿足約束條件的前提下，尋求一組優(yōu)化變量，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值。一般約蘇優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型的表達(dá)方式為：式中，的縮寫，表示“受約束于”或“滿足于”的意思。當(dāng)L=0時(shí)即為不等式約束優(yōu)化問題；當(dāng)M=0時(shí)即為等式約束優(yōu)化問題；當(dāng)L=0，M=0時(shí)便退化為無約束優(yōu)化問題。由于最優(yōu)化的問題類別很多，所以這里只介紹針對(duì)生產(chǎn)計(jì)劃的優(yōu)化模型，并且利用兩種方法進(jìn)行分析與解決，它們分別是多階段轉(zhuǎn)化和變分法。3.1多階段轉(zhuǎn)化多階段轉(zhuǎn)化是指將動(dòng)態(tài)優(yōu)化的一種，它將多階段決策問題轉(zhuǎn)化成一系列簡(jiǎn)單的最優(yōu)化問題。首先將復(fù)雜的問題分解成相互聯(lián)系的若干階段，每個(gè)階段都是一個(gè)最優(yōu)化子問題，然后逐階段進(jìn)行決策（確定于下端的關(guān)聯(lián)），當(dāng)所有階段都確定了，整個(gè)階段的決策也就確定了。3.1.1多階段轉(zhuǎn)化動(dòng)態(tài)規(guī)劃的提出令x為表示系統(tǒng)狀態(tài)的n維列矢量，用描述在時(shí)刻的N階段系統(tǒng)狀態(tài)。對(duì)N階段決策過程，系統(tǒng)狀態(tài)由狀態(tài)通過決策變換到另一個(gè)狀態(tài)，在這一過程中產(chǎn)生的效益或損益統(tǒng)稱為收益，記為；然后再由狀態(tài)通過決策變換到狀態(tài)，并產(chǎn)生效益……最后從狀態(tài)通過決策變換到狀態(tài)，并產(chǎn)生效益。要求選擇該N階段中的N個(gè)決策使下式的效益最大或最小（統(tǒng)稱為最優(yōu)效益）：因?yàn)镹階段過程的最優(yōu)效益只是初始狀態(tài)與階段長(zhǎng)度N的函數(shù)，所以可以用表示式中，為初始狀態(tài)；N為階段長(zhǎng)度；是優(yōu)化的意思，根據(jù)給定問題取最大值或最小值。使效益取極值的決策稱為最優(yōu)決策。3.1.2最優(yōu)化原則一個(gè)過程的最優(yōu)決策具有這樣的性質(zhì)，即無論其初始狀態(tài)及其初始決策如何，其以后諸決策對(duì)以第一個(gè)決策所形成的狀態(tài)作為初始狀態(tài)都必須構(gòu)成最優(yōu)決策。最優(yōu)化原則描述了最優(yōu)控制決策的基本性質(zhì)，它建立在不變嵌入原則的基本概念上。當(dāng)求解一個(gè)特殊的最有決策問題時(shí)，可以把原來的問題嵌入一個(gè)較容易解的類似問題之中。如多階段決策過程，可以將原來的多階段最優(yōu)化問題用求解一系列但各階段決策問題來代替。根據(jù)最優(yōu)化原則，N階段決策過程的總收益可以寫成式中，第一階段的收益，則代表初始狀態(tài)的后個(gè)階段的最優(yōu)效益。利用上式最有效益的式子又可寫成上式中右端的函數(shù)可以繼續(xù)分解下去，它對(duì)階段數(shù)的過程都成立。當(dāng)階段數(shù)為時(shí)，最優(yōu)效益為所以也可以把N階段決策過程的總效益寫成從而最優(yōu)效益可最終歸結(jié)為并一步步展開。應(yīng)用最優(yōu)化原則，一個(gè)N階段決策過程就處理為一個(gè)N個(gè)單階段決策過程的序列，因此使這個(gè)最優(yōu)化問題可以采用系統(tǒng)迭代的方式得到解決。前兩個(gè)式子分別是動(dòng)態(tài)優(yōu)化中的逆序解法和順序解法基本公式。3.1.3多階段轉(zhuǎn)化對(duì)生產(chǎn)計(jì)劃的應(yīng)用1問題的提出設(shè)有總量為的某種資源（例如資金、原料等），想要投放到A與B兩個(gè)項(xiàng)目中去，已知將資源量投入到A中的效益為，投入到B中的效益為，而且滿足（即不予投資效益為0），假設(shè)這種資源用于生產(chǎn)后還可以回收一部分用于再生產(chǎn)，在A與B中的回收率分別為和（），則對(duì)總量為的資源進(jìn)行個(gè)階段的投入，每個(gè)階段應(yīng)如何分配到A與B中，使得總的效益最大？2問題分析設(shè)在第個(gè)階段中，對(duì)A的投入量為，而在第個(gè)階段之后的資源回收總量為，那么在第1階段：對(duì)A的投入量為，收益量為，回收量為；對(duì)B的投入量為，收益量為，回收量為；于是總的收益為。滿足條件。在第2階段：對(duì)A的投入量為，收益量為，回收量為；對(duì)B的投入量為，收益量為，回收量為；于是總的收益為。滿足條件?！诘陔A段（最后一個(gè)階段）：對(duì)A的投入量為，收益量為，回收量為；對(duì)B的投入量為，收益量為，回收量為；于是總的收益為。滿足條件。3模型建立由分析可得最后得到的模型將是：求，使下面各式成立：如果令表示初始資源為，進(jìn)行第個(gè)階段投入，并采用最優(yōu)策略時(shí)所得到的總收益，那么必將滿足下面遞推關(guān)系：在上述模型中，數(shù)量和函數(shù)與均為已知，特別地，當(dāng)數(shù)與為線性函數(shù)時(shí)，則模型變成一個(gè)線性規(guī)劃為題，否則是一個(gè)約束非線性規(guī)劃為題，易知，當(dāng)和均為已知時(shí)，其收益依賴于初始資源和過程進(jìn)行的階段。我們的目的是要求總的收益最大，即要求，根據(jù)遞推公式（1）中的第二式，必須先求出的具體表達(dá)式，然后再由（1）式中第一式遞推（逆序遞推），可得如此繼續(xù)下去，直至求出的表達(dá)式，再令，就可得到。4模型分析一般地說，的解析表達(dá)式是難于求得的，只有當(dāng)和均為凸函數(shù)時(shí)，才能相對(duì)比較容易。在實(shí)際問題中，和多取為線性函數(shù)，因而的具體解析寫出是比較容易的。5模型求解在上述模型中，數(shù)量和函數(shù)與均為已知，特別地，當(dāng)數(shù)與為線性函數(shù)時(shí)，則模型變成一個(gè)線性規(guī)劃為題，否則是一個(gè)約束非線性規(guī)劃為題，易知，當(dāng)和均為已知時(shí)，其收益依賴于初始資源和過程進(jìn)行的階段。我們的目的是要求總的收益最大，即要求，根據(jù)遞推公式（1）中的第二式，必須先求出的具體表達(dá)式，然后再由（1）式中第一式遞推（逆序遞推），可得如此繼續(xù)下去，直至求出的表達(dá)式，再令，就可得到。不妨令根據(jù)Lingo/Matlab軟件編程則求得3.2變分法最早的泛函最簡(jiǎn)單的一類泛函表示為被積函數(shù)F包含自變量t,未知函數(shù)x及導(dǎo)數(shù)x′。泛函的極值設(shè)，如果對(duì)于任意,當(dāng)時(shí),都有,則稱泛函在取得極小值。類似可以定義極大值。極小值和極大值統(tǒng)稱為極值。泛函的變分函數(shù)在的增量記作稱其為函數(shù)的變分,由它引起的泛函增量記作,如果可表示為,其中是的線性項(xiàng),是的高階項(xiàng),稱L為泛函在的變分,記作。同樣可以定義泛函在的變分。定理1若泛函在變分存在并且取到極值,則變分泛函極值的必要條件——?dú)W拉方程討論泛函在固定端點(diǎn)條件下取得極值的必要條件。泛函和端點(diǎn)條件表示為其中F具有二階連接偏導(dǎo)數(shù)。定理2設(shè)泛函（3）在取得極值,滿足式(4),則式(5)被稱為歐拉方程。如果容許函數(shù)的一個(gè)端點(diǎn)如不固定,而是在一條給定的曲線上變動(dòng),于是端點(diǎn)條件表示為定理3設(shè)泛函(3)在取得極值,滿足式(6),則3.2.1問題的提出工廠與客戶簽訂了一項(xiàng)在某時(shí)刻提交一定數(shù)量產(chǎn)品的合同,在制定生產(chǎn)計(jì)劃時(shí)要考慮生產(chǎn)和貯存2種費(fèi)用。生產(chǎn)費(fèi)用通常取決于生產(chǎn)率(單位時(shí)間的產(chǎn)量),生產(chǎn)率越高費(fèi)用越大;貯存費(fèi)用自然由已經(jīng)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品數(shù)量決定,數(shù)量越多費(fèi)用越大。所謂生產(chǎn)計(jì)劃這里簡(jiǎn)單的看作是到每一刻為止的累積產(chǎn)量。它與每單位時(shí)間（如每天）的產(chǎn)量可以互相推算。建模目的是尋求優(yōu)化的生產(chǎn)計(jì)劃,使完成合同所需的總費(fèi)用（生產(chǎn)與貯存費(fèi)用之和）最小或盡可能的小。在文獻(xiàn)[1,2]中給出了數(shù)量且生產(chǎn)率無限制時(shí)的生產(chǎn)計(jì)劃。討論且生產(chǎn)率無限制時(shí)的生產(chǎn)計(jì)劃,以及生產(chǎn)率有一個(gè)上界限制的情況下的優(yōu)化生產(chǎn)計(jì)劃。3.2.2模型的假設(shè)開始生產(chǎn)時(shí)刻記為t=0,按照合同應(yīng)在t=T提交數(shù)量為Q的產(chǎn)品。到時(shí)刻t為止的累積產(chǎn)量記作,即是生產(chǎn)計(jì)劃。設(shè)單位時(shí)間生產(chǎn)的產(chǎn)量為生產(chǎn)率,記為,所以工廠單位時(shí)間的生產(chǎn)費(fèi)用可以是生產(chǎn)率的函數(shù),而單位時(shí)間的貯存費(fèi)用則與產(chǎn)量有關(guān),記為。于是從到時(shí)間段的總費(fèi)用為了確定和的具體形式作如下假設(shè):單位時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)率提高一個(gè)單位所需的生產(chǎn)費(fèi)用與此時(shí)的生產(chǎn)率成正比。貯存費(fèi)與貯存量(即累積產(chǎn)量)成正比。假定生產(chǎn)率的變化有一定的范圍,比如生產(chǎn)率有一個(gè)上界,即是該工廠單位時(shí)間的最大生產(chǎn)能力。假設(shè)1)表明生產(chǎn)費(fèi)用對(duì)生產(chǎn)率的變化率與成正比,，于是由假設(shè)2)可直接3.2.3建模與求解1、對(duì)生產(chǎn)率不作任何限制,在假設(shè)1)、假設(shè)2)下尋求最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃。記,在文獻(xiàn)[4]中可得到關(guān)于的二階微分方程式(12)符合題意的解為這就是使總費(fèi)用達(dá)到最小的生產(chǎn)計(jì)劃。易知對(duì)于式(13)應(yīng)該滿足由式(13)算出,則式(14)又可表示為于是當(dāng)式(15)成立時(shí),式(13)確定的才是最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃。當(dāng)固定時(shí),式(15)表明,在一定交貨期T內(nèi)要完成的產(chǎn)量相當(dāng)大,需要從就開始生產(chǎn)。但是,若成立時(shí),如何求最優(yōu)計(jì)劃?不需要從零時(shí)刻開始生產(chǎn)。由于產(chǎn)量較小,生產(chǎn)較早會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)品貯存費(fèi)用的增加,所以為了節(jié)省貯存費(fèi)用,到時(shí)刻才開始生產(chǎn)。橫截條件為則制定最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃轉(zhuǎn)化為橫截條件(16)下求,使取得最小值?？梢杂米兎址ㄇ蠼?。此時(shí)根據(jù)定理3有得此時(shí),由式(17)、式(18)決定的即是優(yōu)化的生產(chǎn)計(jì)劃。2、限制生產(chǎn)率,令其有上界,在假設(shè)1)、2)、3)下尋求優(yōu)化的生產(chǎn)計(jì)劃在實(shí)際生產(chǎn)中,生產(chǎn)率一定存在一個(gè)上確界,在此假設(shè)生產(chǎn)率的上確界為A。在上述模型中得到1)當(dāng)時(shí),,此時(shí)生產(chǎn)率是隨著的增大而增大的,而當(dāng)時(shí),生產(chǎn)率達(dá)到最大,其值是。(1)如果,那么也就是說上述模型的生產(chǎn)過程還沒有超出生產(chǎn)率的上界3.1中討論的模型照樣可行。(2)如果,是與2點(diǎn)連線的斜率,顯然,此時(shí)就算一直以最大生產(chǎn)率A進(jìn)行生產(chǎn),工廠仍不能完成任務(wù)。此時(shí)不要接合同。(3)如果,,此時(shí)一直以A的生產(chǎn)率生產(chǎn)時(shí)才能剛好完成合同。(4)如果,可如下討論。為了節(jié)省貯存費(fèi)用,由于生產(chǎn)率是越來越高的,可以假設(shè)在某一時(shí)刻開始,都以A的生產(chǎn)率進(jìn)行生產(chǎn),最后剛好完成任務(wù)。那么只需優(yōu)化時(shí)間段上的生產(chǎn)計(jì)劃即可,運(yùn)用這種思想得到的生產(chǎn)計(jì)劃是較優(yōu)的計(jì)劃。如果單位時(shí)間的生產(chǎn)費(fèi)用和單位時(shí)間的貯存費(fèi)用仍然記作和,則總費(fèi)用仍為式(9)。注意到,當(dāng)時(shí),。將式(10)、式(11)代入式(9),可得費(fèi)用為類似1中的求解過程,當(dāng)時(shí),也可得式(12),則由端點(diǎn)條件從式(20)、式(21)得令式(22)等于,可得解將式(23)代入式(22)得于是優(yōu)化的生產(chǎn)計(jì)劃為為了計(jì)算式(24)的費(fèi)用,將式(22)代入式(19)得再將式(23)代入可得模型式(24)的費(fèi)用。綜上,當(dāng)生產(chǎn)數(shù)量較大,生產(chǎn)率上界滿足的條件下,要以式(24)的為生產(chǎn)計(jì)劃。2)當(dāng)時(shí),根據(jù)3.2.3中1的研究,生產(chǎn)時(shí)間越早,所需的貯存費(fèi)用就越高,為了節(jié)省貯存費(fèi)用,可以從(包括)開始生產(chǎn),據(jù)假設(shè)3)生產(chǎn)率有上界,此時(shí)分2種情況加以討論。(1)如果式(17)的滿足,那么3.2.3的1中式(17)照樣可行;(2)如果式(17)的滿足,那么可以提前生產(chǎn),尋找使得。如果提前到時(shí)開始生產(chǎn),但仍有,那么就同上述1)中(4)的情況類似了,可作類似的討論。3.2.4實(shí)例某一軍火商與一軍工廠簽訂了一份合同,要求工廠30天內(nèi)提交240UF03枚型導(dǎo)彈。已知工廠日生產(chǎn)UF03型導(dǎo)彈的最大能力是10枚,單位時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)率提高一個(gè)單位所需的生產(chǎn)費(fèi)用與此時(shí)的生產(chǎn)率成正比的比例系數(shù)為2萬元,單位數(shù)量產(chǎn)品單位時(shí)間的貯存費(fèi)為1萬元,試給工廠制定一個(gè)優(yōu)化的生產(chǎn)計(jì)劃。解：由于，經(jīng)驗(yàn)證知該題屬于3.2.3的2中1)的(4)所討論