奧數(shù)基礎(chǔ)-一次函數(shù)(含解答)-

第一節(jié)一次函數(shù)例題剖析例1〔2006年“信利杯〞全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽〔廣西賽區(qū)〕〕直線L經(jīng)過(guò)〔2，0〕和〔0，4〕，把直線L沿x軸的反方向向左平移2個(gè)單位，得到直線L′，那么直線L′的解析式為_(kāi)______．分析：先求出直線解析式y(tǒng)=kx+b，再抓住平移k不變，進(jìn)行求解．解：因?yàn)檫^(guò)〔2，0〕和〔0，4〕的直線L解析式是y=-2x+4，設(shè)向左平移2個(gè)單位得到的直線L′解析式是y=-2x+m，將它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)〔0，0〕代入得m=0，所以直線L′的解析式為y=-2x．評(píng)注：直線y=kx+b平移時(shí)k值不變，上下平移時(shí)再抓住與y軸的交點(diǎn)變化，左右平移時(shí)再抓住與x軸的交點(diǎn)變化就能得解．例2〔2000年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕一個(gè)一次函數(shù)圖象與直線y=x+平行，與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，并且過(guò)點(diǎn)〔-1，-25〕，那么在線段AB上〔包括端點(diǎn)A、B〕，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有〔〕．〔A〕4個(gè)〔B〕5個(gè)〔C〕6個(gè)〔D〕7個(gè)分析：根據(jù)所求一次函數(shù)圖象與直線y=x+平行且過(guò)點(diǎn)〔-1，-25〕，即可確定該函數(shù)的解析式，然后采用列舉法進(jìn)行分析．解：設(shè)與直線y=x+平行的直線的方程為y=x+k，又〔-1，-25〕在直線y=x+k上，得k=-．因?yàn)锳、B為y=x-與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A〔19，0〕，B〔0，-〕．又y=x-=〔x-19〕，0≤x≤19，x-19必須是4的整數(shù)倍，只有當(dāng)x=3，7，11，15，19時(shí)，y為整數(shù)，因此在線段AB上〔包括端點(diǎn)A、B〕，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有5個(gè)，選B．評(píng)注：所謂橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，即求該函數(shù)解析式〔二元一次方程〕在某范圍內(nèi)的整數(shù)解．例3〔2005年富陽(yáng)市初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽〕不管k為何值，解析式〔2k-1〕x-〔k+3〕y-〔k-11〕=0表示的函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，那么這個(gè)定點(diǎn)是_______．分析：該題是“直線束〞問(wèn)題，可在k的取值范圍內(nèi)取兩個(gè)定值兩條特殊直線求得交點(diǎn)，再證明其他直線必過(guò)此點(diǎn)．解：因?yàn)楹瘮?shù)是一次函數(shù)，故k+3≠0，分別令k=1與k=2，得解得,即兩特殊直線相交于點(diǎn)A〔2，3〕，而當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)式為2〔2k-1〕-〔k+3〕y-〔k-11〕=0．整理得〔k+3〕y=3〔k+3〕，所以k取不等于-3的任何值時(shí)，y=3．當(dāng)x=2時(shí)，必得y=3．不管k為何值該一次函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)〔2，3〕．評(píng)注：利用“不管〞性，取k的任意兩個(gè)特殊值，代入函數(shù)關(guān)系式，求出x、y的值，再驗(yàn)證所求得的x、y值適合函數(shù)關(guān)系式，從而確定函數(shù)圖象恒過(guò)定點(diǎn)，這是解決這類問(wèn)題常用的方法．此外此題還可利用一次方程ax=b有無(wú)數(shù)解的條件來(lái)解，同學(xué)們不妨一試．例4〔2005年富陽(yáng)市初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽〕在一次函數(shù)y=-x+3的圖象上取一點(diǎn)P，作PA⊥x軸，垂足為A，作PB⊥y軸，垂足為B，且矩形OAPB的面積為，那么這樣的點(diǎn)P共有〔〕〔A〕4個(gè)〔B〕3個(gè)〔C〕2個(gè)〔D〕1個(gè)分析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔x，-x+3〕，那么矩形OAPB的面積表示為│x│×│-〔-x+3〕│=│x2-3x│=，然后分兩種情況進(jìn)行討論．解：選〔B〕．評(píng)注：此題通過(guò)數(shù)形互動(dòng)，結(jié)合一元二次方程實(shí)根個(gè)數(shù)來(lái)確定符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，這是解決這類問(wèn)題常用方法．此外，由點(diǎn)的坐標(biāo)表示距離時(shí)，不能忘記加絕對(duì)值．例5〔2006年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽〔浙江賽區(qū)〕復(fù)賽試題〕設(shè)0<k<1，關(guān)于x的一次函數(shù)y=kx+〔1-x〕，當(dāng)1≤x≤2時(shí)的最大值是〔〕〔A〕k〔B〕2k-〔C〕〔D〕k+分析：y=〔k-〕x+，∵0<k<1，∴k-=<0，該一次函數(shù)的值隨x的增大而減小，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，最大值為k-+=k．解：選〔A〕．評(píng)注：對(duì)于自變量有限范圍的一次函數(shù)極值問(wèn)題，應(yīng)結(jié)合一次函數(shù)的增減性來(lái)確定．例6〔2006年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽〔浙江賽區(qū)〕初賽試題〕設(shè)直線y=kx+k-1和直線y=〔k+1〕x+k〔k是正整數(shù)〕與x軸圍成的三角形面積為Sk，那么S1+S2+S3+…+S2006的值是_______．分析：先求出直線y=kx+k-1和直線y=〔k+1〕x+k的交點(diǎn)，再求出這兩條直線與x軸圍成的三角形面積Sk的表達(dá)式．解：因?yàn)榉匠探M的解為所以這兩直線的交點(diǎn)〔-1，-1〕，直線y=kx+k-1和直線y=〔k+1〕x+k〔k是正整數(shù)〕與x軸的交點(diǎn)分別是〔，0〕，Sk=|-1|×||=|-|．所以S1+S2+S3+…S2006=〔1-+-+-+…+．評(píng)注：此題在求解過(guò)程中的關(guān)鍵是：將拆成-，這是常用技巧．例7〔1997年江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕有一個(gè)附有進(jìn)、出水管的容器，每單位時(shí)間進(jìn)、出的水量都是一定的．設(shè)從某時(shí)該開(kāi)始5min內(nèi)只進(jìn)水不出水，在隨后的15min內(nèi)既進(jìn)水又出水，得到時(shí)間x〔min〕與水量y〔L〕之間的關(guān)系如圖．假設(shè)20min后只放水不進(jìn)水，那么這時(shí)〔x≥20時(shí)〕y與x的函數(shù)關(guān)系是________．分析：據(jù)圖象可知：開(kāi)始5min，只進(jìn)水不出水，共進(jìn)了20L水，每分鐘進(jìn)水4L．隨后的15min內(nèi)既進(jìn)水又出水，實(shí)際水量增加了35-20=15L，每分鐘水量增加1L，說(shuō)明出水管每分鐘出水3L．因?yàn)樗渴枪潭ǖ?，每分?L，所以20min后，總水量為35L．解：y=35-3〔x-20〕，即y=-3x+95〔20≤x≤〕．評(píng)注：仔細(xì)審題，觀察圖象，應(yīng)弄清進(jìn)水時(shí)，每分鐘4L；既進(jìn)又放時(shí)，每分鐘凈增水1L，故每分鐘放水為3L，這是解此題的關(guān)鍵．例8〔2006年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽〔海南賽區(qū)〕〕在平面直角坐標(biāo)系中，A〔2，-2〕，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，那么使AOP為等腰三角形的點(diǎn)P有〔〕〔A〕1個(gè)〔B〕2個(gè)〔C〕3個(gè)〔D〕4個(gè)分析：分三種情況來(lái)討論，即：如下圖，①以O(shè)為頂點(diǎn)的等腰三角形有：△OP1A，△OP2A；②以A為頂點(diǎn)的等腰三角形是△OP3A；③以P為頂點(diǎn)的等腰三角形是△OP解：選〔D〕．評(píng)注：分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法，競(jìng)賽題中經(jīng)常出現(xiàn)需要分類的考題，這類問(wèn)題的求解，既要有扎實(shí)的根底知識(shí)，也要有一定的分析問(wèn)題和綜合解決問(wèn)題的能力，要強(qiáng)化這方面的訓(xùn)練．例10〔2006年四川省數(shù)學(xué)競(jìng)賽初二初賽試題〕平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有A〔2，-1〕，B〔3，3〕兩點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，求P到A、B距離之和最小時(shí)的坐標(biāo)．分析：根據(jù)幾何模型，得出點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法求出直線A′B解析式，就可得解．解：如圖，點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為A′〔-2，-1〕，設(shè)過(guò)A′、B兩點(diǎn)的直線的一次函數(shù)為y=kx+b，有解得∴y=x+．當(dāng)x=0時(shí)，y=，即直線A′B與y軸交于點(diǎn)〔0，〕，可得所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔0，〕．評(píng)注：此題把幾何中最短距離問(wèn)題代數(shù)化，解題關(guān)鍵是應(yīng)用軸對(duì)稱和一次函數(shù)相關(guān)知識(shí)來(lái)求解．此類問(wèn)題還可改為在x軸上或在坐標(biāo)軸上求一點(diǎn)P，同學(xué)們不妨思考一下．穩(wěn)固練習(xí)

一、選擇題：1．y與x+3成正比例，并且x=1時(shí)，y=8，那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為〔〕〔A〕y=8x〔B〕y=2x+6〔C〕y=8x+6〔D〕y=5x+32．假設(shè)直線y=kx+b經(jīng)過(guò)一、二、四象限，那么直線y=bx+k不經(jīng)過(guò)〔〕〔A〕一象限〔B〕二象限〔C〕三象限〔D〕四象限3．直線y=-2x+4與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是〔〕〔A〕4〔B〕6〔C〕8〔D〕164．假設(shè)甲、乙兩彈簧的長(zhǎng)度y〔cm〕與所掛物體質(zhì)量x〔kg〕之間的函數(shù)解析式分別為y=k1x+a1和y=k2x+a2，如圖，所掛物體質(zhì)量均為2kg時(shí)，甲彈簧長(zhǎng)為y1，乙彈簧長(zhǎng)為y2，那么y1與y2的大小關(guān)系為〔〕〔A〕y1>y2〔B〕y1=y2〔C〕y1<y2〔D〕不能確定5．設(shè)b>a，將一次函數(shù)y=bx+a與y=ax+b的圖象畫在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，那么有一組a，b的取值，使得以下4個(gè)圖中的一個(gè)為正確的選項(xiàng)是〔〕6．假設(shè)直線y=kx+b經(jīng)過(guò)一、二、四象限，那么直線y=bx+k不經(jīng)過(guò)第〔〕象限．〔A〕一〔B〕二〔C〕三〔D〕四7．一次函數(shù)y=kx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔1，1〕，那么這個(gè)一次函數(shù)〔〕〔A〕y隨x的增大而增大〔B〕y隨x的增大而減小〔C〕圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)〔D〕圖像不經(jīng)過(guò)第二象限8．無(wú)論m為何實(shí)數(shù)，直線y=x+2m與y=-x+4的交點(diǎn)不可能在〔〕〔A〕第一象限〔B〕第二象限〔C〕第三象限〔D〕第四象限9．要得到y(tǒng)=-x-4的圖像，可把直線y=-x〔〕．〔A〕向左平移4個(gè)單位〔B〕向右平移4個(gè)單位〔C〕向上平移4個(gè)單位〔D〕向下平移4個(gè)單位10．假設(shè)函數(shù)y=〔m-5〕x+〔4m+1〕x2〔m為常數(shù)〕中的y與x成正比例，那么m的值為〔〕〔A〕m>-〔B〕m>5〔C〕m=-〔D〕m=511．假設(shè)直線y=3x-1與y=x-k的交點(diǎn)在第四象限，那么k的取值范圍是〔〕．〔A〕k<〔B〕<k<1〔C〕k>1〔D〕k>1或k<12．過(guò)點(diǎn)P〔-1，3〕直線，使它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5，這樣的直線可以作〔〕〔A〕4條〔B〕3條〔C〕2條〔D〕1條13．a(chǎn)bc≠0，而且=p，那么直線y=px+p一定通過(guò)〔〕〔A〕第一、二象限〔B〕第二、三象限〔C〕第三、四象限〔D〕第一、四象限14．當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，函數(shù)y=ax+6滿足y<10，那么常數(shù)a的取值范圍是〔〕〔A〕-4<a<0〔B〕0<a<2〔C〕-4<a<2且a≠0〔D〕-4<a<215．在直角坐標(biāo)系中，A〔1，1〕，在x軸上確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，那么符合條件的點(diǎn)P共有〔〕〔A〕1個(gè)〔B〕2個(gè)〔C〕3個(gè)〔D〕4個(gè)16．一次函數(shù)y=ax+b〔a為整數(shù)〕的圖象過(guò)點(diǎn)〔98，19〕，交x軸于〔p，0〕，交y軸于〔0，q〕，假設(shè)p為質(zhì)數(shù)，q為正整數(shù)，那么滿足條件的一次函數(shù)的個(gè)數(shù)為〔〕〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕無(wú)數(shù)17．在直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，設(shè)k為整數(shù)．當(dāng)直線y=x-3與y=kx+k的交點(diǎn)為整點(diǎn)時(shí)，k的值可以取〔〕〔A〕2個(gè)〔B〕4個(gè)〔C〕6個(gè)〔D〕8個(gè)18．〔2005年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題〕在直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，設(shè)k為整數(shù)，當(dāng)直線y=x-3與y=kx+k的交點(diǎn)為整點(diǎn)時(shí)，k的值可以取〔〕〔A〕2個(gè)〔B〕4個(gè)〔C〕6個(gè)〔D〕8個(gè)19．甲、乙二人在如下圖的斜坡AB上作往返跑訓(xùn)練．：甲上山的速度是a米/分，下山的速度是b米/分，〔a<b〕；乙上山的速度是a米/分，下山的速度是2b米/分．如果甲、乙二人同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，時(shí)間為t〔分〕，離開(kāi)點(diǎn)A的路程為S〔米〕，那么下面圖象中，大致表示甲、乙二人從點(diǎn)A出發(fā)后的時(shí)間t〔分〕與離開(kāi)點(diǎn)A的路程S〔米〕之間的函數(shù)關(guān)系的是〔〕20．假設(shè)k、b是一元二次方程x2+px-│q│=0的兩個(gè)實(shí)根〔kb≠0〕，在一次函數(shù)y=kx+b中，y隨x的增大而減小，那么一次函數(shù)的圖像一定經(jīng)過(guò)〔〕〔A〕第1、2、4象限〔B〕第1、2、3象限〔C〕第2、3、4象限〔D〕第1、3、4象限答案:1．B2．B3．A4．A5．B提示：由方程組的解知兩直線的交點(diǎn)為〔1，a+b〕，而圖A中交點(diǎn)橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù)，故圖A不對(duì)；圖C中交點(diǎn)橫坐標(biāo)是2≠1，故圖C不對(duì)；圖D中交點(diǎn)縱坐標(biāo)是大于a，小于b的數(shù)，不等于a+b，故圖D不對(duì)；應(yīng)選B．6．B提示：∵直線y=kx+b經(jīng)過(guò)一、二、四象限，∴對(duì)于直線y=bx+k，∵∴圖像不經(jīng)過(guò)第二象限，故應(yīng)選B．7．B提示：∵y=kx+2經(jīng)過(guò)〔1，1〕，∴1=k+2，∴y=-x+2，∵k=-1<0，∴y隨x的增大而減小，故B正確．∵y=-x+2不是正比例函數(shù)，∴其圖像不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故C錯(cuò)誤．∵k<0，b=2>0，∴其圖像經(jīng)過(guò)第二象限，故D錯(cuò)誤．8．C9．D提示：根據(jù)y=kx+b的圖像之間的關(guān)系可知，將y=-x的圖像向下平移4個(gè)單位就可得到y(tǒng)=-x-4的圖像．10．C提