求解高階行列式的一些常用方法1

求解高階行列式的一些常用方法蔣婭摘要:高階行列式的求解是高等代數(shù)和線性代數(shù)中行列式部分的重要內(nèi)容，也是行列式中的難點?？v觀近幾年的考研試題，高階行列式多以計算題的形式出現(xiàn)，其綜合性較強，難度較大。因此，在解題過程中要進行周密的分析，根據(jù)行列式中行或列元素的特點來選擇相應(yīng)的方法。本文主要結(jié)合自己在教學(xué)過程中遇到的一些實例，介紹了求解高階行列式的一些常用方法和技巧。這些方法對行列式的進一步研究有一定的借鑒指導(dǎo)意義。關(guān)鍵詞:高階行列式；定義法；三角形法；遞推法高階行列式的求解是高等代數(shù)和線性代數(shù)中行列式部分的重要內(nèi)容，也是行列式中的難點?？v觀近幾年的考研試題，高階行列式多以計算題的形式出現(xiàn)，其綜合性較強，難度較大。因此，在解題過程中要進行周密的分析，根據(jù)行列式中行或列元素的特點來選擇相應(yīng)的方法。計算行列式的方法很多，常用方法有：定義法、三角形法、遞推法、歸納法、加邊法、析因子法等。定義法Xy0...000Xy0...000Xy...00000...Xyy00...0X例1計算n階行列式D=na1122nn解：由行列式的定義知此行列式除項a...a和aa...aa外其余乘積項都12 23n—1,nn1是零，故D=(—1)r(12...n)X.X....X+(—1)r(23...nl)y.y...y=Xn+(—1)n—1yn。n降階化三角形法xy0XDxy0XD按第一列展開x 0000X0+y(—1)n+10y000000y0Xy二Xn+（—1）n+1yn注1：定義法就是利用n階行列式的定義求行列式的方法。降階化行列式法就是把原行列式通過按行（列）展開以降低階數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為特殊的上（下）三角形行列式來求解的方法。遞推法例2計算2n階行列式D=2nanan-1bnbn-1ab11cd11cn-1cndn-1dn解：ab 00abn-1n-1n-1n-1abab1111D按第1行展開aed+b(-1)1+2ned2n n11n11ededn-1n-1n-1n-10de0nnababn-1n-1n-1n-1abab=ad11—be(-1)2n-1+111nnednned11ededn-1n-1n-1n-1=(ad一be)Dnnnn 2(n-1)于是D=(ad一be于是D=(ad一be)D2n nnnn2(n-1)(adnn-bc)(anndn-1n-1-bcn-1n-1)D2(n-2)=(adnn=(adnn-bc)(a dnn n-1n-1-bc )...(adn-1n-1 22-bc)(ad-bc)221111aan-1拉普拉斯定理法bn-1D按第1,2n行展開2nanenbn(—1)(1+2n)+(1+2n)dab11eddn-1=(ad—bc)Dnnnn 2(n—1)以下同遞推法。注2：遞推法即是由原行列式D出發(fā)得出其與較低階的行列式之間的關(guān)系式（即遞nn2推公式），最后得出D與D2n2差分法a+ba0...00ba+ba...000ba+b...00000...a+ba000...ba+b例3計算n階行列式D=n解：由D=(由D=(a+b)D一abDn n-12n-2p=a+b,q=-ab由特征方程九2—p九—q=0得兩特征根為：尢=a,尢=b。12若a主b，貝yD=c九n+c九n=can+cbn。112212I a+b=ca+cb由D=a+b,D=a2+ab+b2,有彳 1 21 2 Ia2+ab+b2=ca2+cb22a b an+1—bn+1解方程組得：c1=a—b‘c2=a—b。故所求Dn==can+cnan。同樣12若a=b，即特征方程有相等實根，這時Dn=c1Xn+c2nXn代入D,D可確定常數(shù)c=c=1，從而D==can+cnan。同樣121 2 1 2 n所以有：D所以有：D=<n(n+1)an,a=ban+1—bn+1a-ba-b注3：差分法就是把關(guān)系D=pD—1+qD—2看著一差分方程，求出特征方程n n—1 n—2九2九2—p九—q=0的兩個根則D=cXn+cXn(X豐X)或n 11 2 2 1 2D=cD=c九n+cn九n(九=X),n 11 2 2 1 2再從由D1,D2得到的方程組中定出常數(shù)C1,c2?！?x—1x-10...001x —10x-1...00…...............1按第1列展開x000...x-1x —1aaa...ax+ak+1kk-12? aa a...ax+akk-1k-221-1Dk+16數(shù)學(xué)歸納法-1例4計算n階行列式Dn-1an-1an6數(shù)學(xué)歸納法-1例4計算n階行列式Dn-1an-1an-2x+a1解：當(dāng)時n二2,D2=-1x+a1猜想：D=xn+axn-i+a1xn-22x+a。n-1 n設(shè)n二k時,D=xkk+axk-11+axk-2+...+a2x+a，則當(dāng)n二k+1時,k-1-1+ak+1(-1)+ak+1(-1)k+1+1=xD+a=x(xk+axk-1k k+1+axk-22+...+ax+a)+ak-1 k k+1—xk+1+axk+a12xk-1+...+ax+ak k+1猜想的正確性。第二步的關(guān)鍵是首先要得到Dn關(guān)于Dn-1和D的遞推關(guān)系式。n-27加邊法（升階法）x一aaa...ax-aa...例5計算n階行列式Dn=aax-a...。aaa...x一a解：注4：利用數(shù)學(xué)歸納法來計算行列式,分兩步進行,第一步發(fā)現(xiàn)和猜想,D=xn+axn-i+axn-2+...+ax+a。n 1 2 n-1 n因此,第二步證明

因此,第二步證明100...01-1-1…-1ax-aa???ax-100...01-1-1…-1ax-aa???ax-2a0…0aax-a???=a0x-2a…0aaa???x-aa00...x-2an+1D=nn+1從第2行開始各行都減第1列得到）=(x-2a)n-1ax-2aax-2a-1...=(x-2a)n4na1+ x-2a

ax-2aax-2aax-2ana=(x—2a)n(1+x-2a)=[x+(n-2)a](x-2a)n-1ax-2a顯然，當(dāng)x=2a時上式成立且D=0n注5：加邊法就是將要計算的n階行列式適當(dāng)?shù)靥砑右恍幸涣校ɑ騧行m列）個新的n+l（或n+m）階行列式，保持行列式的值不變，但要所得的n+l（或n+m）階行列式較易計算。8析因子法得到一例6計算n+1階行列式D=n+1xaaa112n-1axaa112n-1aax...a112n-1???...............aaax1123aaa...a1123n解：觀察行列式的特點’當(dāng)兀取q,a2，吧時,行列式都有兩行相同，因而此時的行列式的值為零，可將行列式看著關(guān)于x的多項式，且此多項式有因式x-a,x-a,...x-a，故可設(shè)：TOC\o"1-5"\h\z1 2 nD=c(x-a)(x-a)...(x-a)

n+1 1 2 nD中x的最高次項為xn，系數(shù)為1,故c=1，即行列式n+1D=c(x-a)(x-a)...(x-a)

n+1 1 2 n注6：如果行列式D中有一些元素是變數(shù)x(或某個參變數(shù))的多項式，那么就可以用析因子法將行列式D當(dāng)作一個多項式f(x)，然后對行列式施行某些變換，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)與這些因式的乘積g(x)只相差一個常數(shù)因子c,根據(jù)