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求不定積分的方法及技巧小匯總~1?利用基本公式。(這就不多說了?)2?第一類換元法。(湊微分)設(shè)f(u)具有原函數(shù)F?)。貝UJf[甲(x)]叩'(x)dx=Jfg(x)]d*(x)=Fg(x)]+C其中申(x)可微。用湊微分法求解不定積分時,首先要認(rèn)真觀察被積函數(shù),尋找導(dǎo)數(shù)項內(nèi)容,同時為下一步積分做準(zhǔn)備。當(dāng)實在看不清楚被積函數(shù)特點時,不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導(dǎo)、嘗試,或許從中可以得到某種啟迪。如例1、例2:例1:Jln(x+1)-lnxdxx(x+1)【解】(ln(【解】(ln(x+1)-lnx)'=1x(x+1)TOC\o"1-5"\h\zJln(x+1_ln^dx=-J(ln(x+1)-lnx)d(ln(x+1)-lnx)=-—(ln(x+1)-lnx)2+Cx(x+1) 21+lnx,例2:J dx(xlnx)2【解】(xlnx)'=1+lnx1+lnx dxlnx 1小J dx=J =- +Cx(x+1)2 (xlnx)2 xlnx3?第二類換元法:設(shè)x=p(t)是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù),并且0(t)豐0又設(shè)/叩(t)]0(t)具有原函數(shù),則有換元公式Jf(x)dx=Jfg(t)2'(t)dt第二類換元法主要是針對多種形式的無理根式。常見的變換形式需要熟記會用。主要有以下幾種:xa2-x2:x=asint;x=acostIix2+a2:x=atant;x=acott;x=asht£x2-a2:x=asect;x=acsct;x=acht
(4)nax+b:ax+b=tax+bax+bn: =tcx+dcx+d當(dāng)被積函數(shù)含有x-max2+bx+c,有時倒代換x=1也奏效。t4?分部積分法.公式:J^dv=yv一J^dv分部積分法采用迂回的技巧,規(guī)避難點,挑容易積分的部分先做,最終完成不定積分。具體選取卩、v時,通?;谝韵聝牲c考慮:(1) 降低多項式部分的系數(shù)(2) 簡化被積函數(shù)的類型舉兩個例子吧?!例3:Jx3"arcc°sxdx1—x2Jx3arccosx1—Jx3arccosx1—x2CoS3tdx=J t(-sint)dt=J-1cos3tdt=sintJt(sin2t-1)dsint=Jtd(3sin31-sint)=sin31-sint)dt=31sinsin31-sint)dt=TOC\o"1-5"\h\z1 J1tsin3一tsint+J(_sin21一1)dcost=3 31 . .2 1 廠tsm3—tsint一cost一cos31+C=3 3 91 2 1一一x3一x一_(x2+2)\1—x2arccosx+C9 3 3例4:Jarcsin2xdx【解】Jarcsin2xdx=xsin2x-Jx2arcsinx =dx1—x2xarcsinx+J2arcsinxd、1-x2=xarcsinx+2、;1-x2arcsinx-J11-x2 2——dx=1—x2xarcsinx+2J1-x2arcsinx-2x+C
上面的例3,降低了多項式系數(shù);例4,簡化了被積函數(shù)的類型。有時,分部積分會產(chǎn)生循環(huán),最終也可求得不定積分。在Jmv二卩v-Jmv中,卩、V的選取有下面簡單的規(guī)律:卩=P(x),V=eax,sinax,cosaxm卩=Inx,arctanx,arcsinx,V=P(x)m卩=eax,v=cosPx,sinPx⑶會出現(xiàn)循環(huán),注意卩,V選取的函數(shù)不能改變。將以上規(guī)律化成一個圖就是:(lnxarcsinx)Pm(x)(aAx sinx)MV但是,當(dāng)卩=Inx,V=arcsinx時,是無法求解的。對于(3)情況,有兩個通用公式:eaxI=Jeaxsinbx-dx= (asinbx-bcosbx)+Ca2+b2eaxI=Jeaxcosbx-dx= (acosbx+bsinbx)+Ca2+b2(分部積分法用處多多?在本冊雜志的《涉及l(fā)nx的不定積分》中,??梢钥吹椒植糠e分)5?幾種特殊類型函數(shù)的積分。(1)有理函數(shù)的積分有理函數(shù)竺先化為多項式和真分式£竺之和,再把冬*凹分解為若干Q(x) Q(x)Q(x)個部分分式之和。(對各部分分式的處理可能會比較復(fù)雜。dx出現(xiàn)I=Jn (a2+x2)n時,記得用遞推公式:I= 6+x4-46+x4-4x2-2=x6+x4 4x2+2x3(x2+1)2 x3(x2+1)2 x3(x2+1)2I)n 2a2(n-1)(x2+a2)n-1 2a2(n-1)n-1例5:Jx6+x4—4x2例5:Jdx【解】x 4x2+2x2+【解】x 4x2+2x2+1 x3(x2+1)2dx=2ln(x2+1)+C4x2+2
x4x2+2
x3(x2+1)2dx=4x2+2
x4(x2+1)2xdx=2x2+1x4(x2+1)2J2卩+1 dy=J(卩+1)2―卩2d―卩2(y+1)2 卩2(y+1)2L1 1 、丿—1 1廠_ 1 廠J( — )dp= _+C=— +C卩2 (卩+1)2卩+1卩 x2(x2+1)故不定積分求得。(2)三角函數(shù)有理式的積分2tan.2smx=—-x1+tan2-萬能公式:Q萬能公式:Q. x1一tan2—2cosx=—Tx1+tan2—2JP(Sinx,C0Sx)dx可用變換t=tanx化為有理函數(shù)的積分,但由于計算較煩,Q(sinx,cosx) 2應(yīng)盡量避免。對于只含有tanx(或cotx)的分式,必化成sinx或COsx。再用待定系數(shù)cosxsinxAacosx+bsinx)+B(acos'x+b血x)來做。(注:沒舉例題并不代表不重要?)acosx+bsinx簡單無理函數(shù)的
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