2023年高考數(shù)學(xué)第33講 怎樣求幾何體的表面積和體積

第33講怎樣求幾何體的表面積和體積

一、知識概要

1柱.雉、臺和球的側(cè)面積和體積

側(cè)面積體積

圓柱5側(cè)=7rrlV=Sh=7vr2h

圓雉=7Trl/為母線V=-Sh=—7rr2h=-7rr2yJl2-r2

333

側(cè)面積體積

v=g（?+s卜+鄧出）〃

圓臺

/為母

/=3萬（片+片+化”

線

直棱柱S側(cè)=C〃（C為底面周長）V=Sh

S則=；Cl（C為底面周長，h,為夕

正棱錐

S洞=g（C+C'）/（C,C'上，下底硼腕,+S下+心上5下）〃

正棱臺

"為斜高）

4

球S=4—Y=—欣

3

2幾何人本的表面積---各面面積之和

（1）棱柱、棱錐、棱臺的表面積等于側(cè)面積與底面積之和.

（2）圓柱、圓雉、圓臺的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形;它們的表面積等于側(cè)面積與

底面面積之和.

二、題型精析

2

例1(1)如圖3-73所示，有兩個相同的直三棱柱，高為底面三角形的三邊長分別為

a

3a,4a,5as>0),用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一

個四棱柱，則a的取值范圍是--

⑵如圖3-74所示，在7ABe中，AB=BC=2,ZABC=120°,若平面ABC外的點

P和線段AC上的點D,滿足PD=DA,PB=BA,則四面體PBCD的體積的最大

值是.

【策略點擊】第(1)問是關(guān)于多面體的拼接問題.要注意考慮多種可能的情況.因為三棱柱的

表面積為定值，當(dāng)拼接為四棱柱時，要達(dá)到全面積最小，則需把兩側(cè)面面積最大的接合即得.第(2)

問，題圖本身是四面體，解題的要點在于將目標(biāo)四面體的體積表示為關(guān)于變量x(設(shè)

DP=DA^x)的函數(shù)，求函數(shù)的最大值.解:(1)底面積為6”,側(cè)面面積分別為6,8,10.拼

成三棱柱時有三種情況：

H=2x6a2+2(10+8+6)=12a2+48

S2=24/+2(10+8,=24/+36

S3=244+2(1()+6j=24"+32

拼成四棱柱時有一種：全面積為(8+6)X2+4X6/=24Q2+28,由題意得

以/+28<12/+48,解得<a<—

(2)如圖3-74可知,這個四面體是由平面VA8C沿BD折疊而成，故當(dāng)平面PBDA.平

面ABC時體積最大.

設(shè)DP=DA=XNPBD中BD邊上的高為ft,則必有%,x.

故當(dāng)PDA.底面ABC時面積最大.

由余弦定理知AC=2y[3,:.CD=2y/3-x.又BCD=30°,

SVBS=；x2x(2百-x)xsin30"=1一x).

P—12

,z12y/3-X1r//T\-|1X+2y/3-X1

展CD=§xxx---=-|_x^2V3-x)J?---------=-

當(dāng)且僅當(dāng)X=2y/3-X,即X=yj3時，該四面體PBCD的體積最大，最大值為

2

【例2】(2016年高考數(shù)學(xué)全國春I文科第18題)

如圖3-75所示,已知正三棱雉P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6,頂點P在平

面ABC內(nèi)的正投影為點D,

D在平面PAB內(nèi)的正投影為E,聯(lián)結(jié)PE并延長交AB

于點G.

(1)求證：G是AB的中點；

(2)作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影(說明作法及理

由)，并求四而體PDEF的體積.

【策略點擊】本題其宋不難，第⑴問，欲證G是AB的中點，只需證明PG1AB.第⑵問，

利用三棱錐的體積公式求解四面體PDEF的體積，但是由于對條件“正三棱錐P-ABC”

的側(cè)面是直角三角形且兩次出現(xiàn)了點在平面上正投影的概念.如果空間想象能力缺乏，解題會

碰到困難.宋際上本題的圖形背景是長方體，是將長方體截下一個角塊P-ABC這個四面體.

如果借助長方體這個大背景，許多有用的信息可以使解題者一目了然，比如:

1它的三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩互相垂直；

2它的三個直角側(cè)面PAB,PBC,PCA也兩兩互相垂直；

3它的三對異而棱即AB,PC;AC,PB;BC,PA互相垂直.

這些信息會給解題帶末方便.二AB±PD.

QD在平面PAB內(nèi)的正投影為E,:.ABLDE.

：.AB±平面PED.故AB±PG.

又由已知，可得PA=PB.：.G是AB的中點.

證法二由條件知尸C_L平面Q鉆，且DEX.平面

PAB,:.DE//PC,因此，PC,DE可確定平

面PCG,

QPD±平面ABC,:.平面PCG±平面ABC,且D

為正三角形ABC的中心.

:.CG為AB的垂直平分線，即G為A3的中點.

圖3-76

⑵【解法一】如圖3-76所示,在平面PAB內(nèi)，過點E作PB的平行線交PA于

點

F,F即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.

理由如下：由已知可得PB±PA,PBA.PC,又EF//PB,：.EF±PA,EFLPC,

因此EF±平面PAC,即點F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.

連接CG,QP在平面ABC內(nèi)的正投影為D,:.D是正三角形ABC的中心.

由(1)知,G是AB的中點,,二。在CG上,，

由題設(shè)可得PC1.平面PAB,DE1.平面PAB.

21

：.DE//PC,因此PE=—PG,DE=—PC.

33

由已知，正三棱雉的側(cè)面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2y/2.

在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2.

114

四面體PDEF的體積V=-x-x2x2x2=-.

323

圖3-77

【觸法二】由條件知平面PAB1.平面PAC.QE在平面PAB內(nèi)，作EFLPA于

點F,則EFA.平面PAC,即F為點E在平面PAC內(nèi)的投影，如圖3—77所示.

己知直角四面體PABC中，PA=PB=PC=6,

V_=—x6x6x6=36.

PABC6

QSvADC=SVABC，，Vp-ADG—%VP-4BC=

22I

取PA中點H,聯(lián)結(jié)GH,則PE=—PG,PF=—PH=—PA

333

【解法三】在7PCG中，。為CG的三等分點，且DE//PC,

DE=-PC=2,且E為PGTfltJ三等分點,..VPHG中,ER//GH.

3

22121

:.EF=—HG=—x—PA=2,PF=-PH=-PA=2.

33233

114

/.V?nFF=-x-PFxEFxDE=-.

P-DEF323

【例3】（1）三棱錐S-ABC中，一條棱長為。，其余棱長均為1,求〃為何值時匕.ABC

最大？并求最大值.

（2）已知圓錐軸截面的頂點為e（o<e<萬），母線長為I,過頂點p的截面交底面于AB,

求截面三角形的最大值.

圖3-78

【策略點擊】求幾何體體積的最值應(yīng)結(jié)合圖形找到引起體積變化的元素，求表面積或截面面積

最值也如此.第⑴問，若以NSHO（見圖3-78,其中。為S在底面ABC的射影）為

變角’若取SC的中點D,則可通過的直截面面積）.貝可

轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的目標(biāo)函數(shù)的最大值問題.第（2）問，過圓錐頂點的截面是等腰三角形.求最值顯

然要對頂角的范國分類討論.

解：（1）如圖3-78所示.設(shè)SC=a,其余棱長均為1.取AB的中點H,聯(lián)結(jié)

HS,HC,則AB±HC,AB1.HS,AB_L平面SHC.

也

在VSA8中,SA=AB=BS=\,:.SH=—：t

2

n

設(shè)/s”o=e,狽uso=sfiw^=s?-.?e

2

痂I,_1ccri_lV3.2!<-

故匕-A5c=§SVABC.50=5X7x1x—sin6>=-sin^?

當(dāng)且僅當(dāng)sin6>=l,即6=90°時,三棱雉的體積最大.

a=近SH=6苗=容V：：..為4時最大，最大值為1

ZZoZo

圖3-79

(2)如圖3-79所示，設(shè)圓雉的軸截面是PAC,ZAPC=a,NAPB=?

Q截面Q48是等腰三解形,.〔S或='/2sin/AP8.

Q截面面積是e的函數(shù)，

要求截而面積的最大值,須確定/APB也即e的取值

范圍.

QAC是底面圓的直徑，.〔AB”AC,r./AP8=a.

jr

Q當(dāng)(Kina<耳就in/APB,,a

：.當(dāng)NAPB=a時，截面面積最大,Smax=；Fsina;

而當(dāng)宗，a〈萬時，只要使NAP8截面面積最大.S,g=

1,2,

—Isina,aG

2

**Smax-[r

12\_2

方法提煉

在求解幾何體的表面積和體積這類計算題時注意一些幾何性質(zhì)的靈活運用.

1棱錐與平行于底面的截面所構(gòu)成的小棱錐的比例性質(zhì)

也級="空二條=對應(yīng)線段（如高，斜高、底面邊長等）的平方之比.

S椎床S椎椎

這個比例關(guān)系很重要，在求雉體的側(cè)面積、底面積比時，會大量簡化運算過程,在求臺體的側(cè)面積、

底面積比時，將臺體補成雉體，也可應(yīng)用這個關(guān)系式.

2棱柱的直截面及其應(yīng)用

在棱柱中，與各側(cè)棱均垂直的截面叫作棱柱的直截面,正棱柱的直截面就是其上下底面.

S桃柱佃=。直載"（具中Cft截，/粉別為棱柱的立截面周長與側(cè)棱長,

V枚柱=S『i藏?/（其中S直截，/分別為棱柱的直截面面積與側(cè)棱長）

三、易錯警示

例正四棱柱43co-45cA的對角線與底面成30°,過底面中心。作0E_LAG于

點E,求過點B,D,E的截面將棱柱分成兩部分的體積之比.

【錯解】：如圖3—80所示,截面為7BDM.

設(shè)底面邊長為1,則AC=立.

正四棱柱的高A=C,C=AC-tan30°=V2x—=—

33

則匕BCO-A8Moi=S^BCD,h~^ABCD，℃=3

Q0E±AC”“AC=30°,.■.ZAOE=60",

于是AM=AOtan60"=也=

22

則……=；SvgAM=；.g.^=噂.從而得

v_v_v一旦一旦一旦K-1

VVV

2-ABCD-AIBICIDI~'~\2~\~3'

因此，過點B,D,E的截面將棱柱分成兩部分的體積之比為1:3.

評析及正解解答本題的關(guān)鍵一步是正確作出所求的截面,而不能隨意畫出一個截面，想當(dāng)然認(rèn)

為這個濯面一定是一個三角形，上述錯解中求出AM=—.而C、C=顯.顯然有

23

AM>AA,.這表明截面與棱A4,的交點在棱AA,的延長線上，所以截面不是三角形，而

是等腰械形.解答數(shù)學(xué)問題，一時有誤并不要緊，而是要在解題過程中糾正錯誤的判斷，不斷向

正確的結(jié)果靠攏.

圖3-81

正確的解法如下：

【解】：如圖3-81所示，截面是等腰梯形PQDB.

由上述解法，得=GC=T，

則"A……邛-半邛,??罌4

外于M4

QVM4PcVMA8,.?.t

1~AB~~MA

???SVAPQ=〈X4X;=!，SVAM=］由棱臺體積公式，得

Z3JloZ

=^AyPQ-ABD~2,(SvAPQ+S'ABD+y