高中數(shù)列典型例題

幾種常見(jiàn)的數(shù)列通項(xiàng)7，07，012341234正弦函數(shù)2222222(10n-1)/9典型例題】逐和法例：{}中，=1，(n=2、3、4…)，求{}的通項(xiàng)公式。累乘法例：在數(shù)列{}中，=1，，求已知數(shù)列{}滿足=，，求(2004全國(guó)卷I.15)已知數(shù)列{an}，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)構(gòu)造等比數(shù)列法原數(shù)列{}既不等差，也不等比。若把{}中每一項(xiàng)添上一個(gè)數(shù)或一個(gè)式子構(gòu)成新數(shù)列，使之等比，從而求出。該法適用于遞推式形如=或=或=其中b、c為不相等的常數(shù)，為一次式例1、已知數(shù)列{an}滿足以下遞歸關(guān)系求通項(xiàng)an析：引入輔助數(shù)列，化成求等比數(shù)列的分通項(xiàng)問(wèn)題方法1：令an+1-α＝３（an-α）用待定系數(shù)法確定方法2：遞歸式兩邊都除于得利用階差法求解α方法3：解不動(dòng)點(diǎn)方程x=3x+4得x=-2,引入輔助數(shù)列bn=an+2得b1=1+2=3，bn+1=3bn解bn可求an例2、已知數(shù)列{}中，=1，=，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：該數(shù)列不同于以上幾個(gè)數(shù)列，該數(shù)列中含是變量，而不是常量了。故應(yīng)構(gòu)造新數(shù)列，其中為常數(shù)，使之為公比是的系數(shù)2的等比數(shù)列。解：構(gòu)造數(shù)列，為不為0的常數(shù)，使之成為q=2的等比數(shù)列即=整理得：=滿足=得∴新數(shù)列是首項(xiàng)為=，q=2的等比數(shù)列∴=∴=例3、（07天津文20）在數(shù)列{}中，=2，=，求數(shù)列的通項(xiàng)。解：構(gòu)造新數(shù)列，使之成為q=4的等比數(shù)列，則=整理得：=滿足=，即得∴新數(shù)列的首項(xiàng)為，q=4的等比數(shù)列∴∴例4、已知數(shù)列{an}滿足，求通項(xiàng)an提示：類(lèi)比例1方法2求解，注意數(shù)列可求和。（怎么求？）構(gòu)造等差數(shù)列法數(shù)列{}既不等差，也不等比，遞推關(guān)系式形如，那么把兩邊同除以后，想法構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列，從而間接求出。例1．（07石家莊一模）數(shù)列{}滿足且。求、、是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使此數(shù)列為等差數(shù)列？若存在求出的值及；若不存在，說(shuō)明理由。解：由==81得=33；又∵==33得=13；又∵==13，∴=5假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使此數(shù)列為等差數(shù)列即===該數(shù)為常數(shù)∴=即為首項(xiàng)，d=1的等差數(shù)列∴=2+=n+1∴=作業(yè)、數(shù)列{}滿足=()，首項(xiàng)為，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式。解：=兩邊同除以得=+1例2、（07天津理21）在數(shù)列{}中，=2，且（）其中＞0，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式。解：的底數(shù)與的系數(shù)相同，則兩邊除以得即∴是首項(xiàng)為，公差d=1的等差數(shù)列?！唷?。取倒數(shù)法有些關(guān)于通項(xiàng)的遞推關(guān)系式變形后含有項(xiàng)，直接求相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系很困難，但兩邊同除以后，相鄰兩項(xiàng)的倒數(shù)的關(guān)系容易求得，從而間接求出。例1、已知數(shù)列{}，=，，求=？解：把原式變形得兩邊同除以得∴是首項(xiàng)為，d=的等差數(shù)列故∴。例2（06江西理22）已知數(shù)列{}滿足，且（）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式。解：把原式變形成兩邊同除以得即……⑴構(gòu)造新數(shù)列，使其成為公比q=的等比數(shù)列即整理得：滿足⑴式使∴∴數(shù)列是首項(xiàng)為，q=的等比數(shù)列∴。例3．（06江西文22）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{}滿足：，且求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式。解：把原式變形為兩邊同除以得移項(xiàng)得：所以新數(shù)列是首項(xiàng)為q=2的等比數(shù)列。故解關(guān)于的方程得。利用公式求通項(xiàng)有些數(shù)列給出{}的前n項(xiàng)和與的關(guān)系式=，利用該式寫(xiě)出，兩式做差，再利用導(dǎo)出與的遞推式，從而求出。例1.(07重慶21題)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為滿足＞1且6=n∈求{}的通項(xiàng)公式。解：由=解得=1或=2，由已知＞1，因此=2又由=得=0∵＞0∴從而{}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，故{}的通項(xiàng)為=2+3(n-1)=3n-1.例2.(07陜西理22)已知各項(xiàng)全不為0的數(shù)列{}的前k項(xiàng)和為，且=(k∈)其中=1，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式。解：當(dāng)k=1時(shí)，=及=1得=2；當(dāng)k≥2時(shí)，由==得=2∵≠0∴=2從而=1+(m-1)2=2m-1=2+(m-1)2=2m(m∈)故=k(k∈).例3.(07福建文21)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，=1，(n∈),求{}的通項(xiàng)公式。解：由=1，=2，當(dāng)n≥2時(shí)==得=3，因此{(lán)}是首項(xiàng)為=2，q=3的等比數(shù)列。故=(n≥2),而=1不滿足該式所以=。例4.(06全國(guó)Ⅰ理22)該數(shù)列{}的前n項(xiàng)和(n=1、2、3……)求{}的通項(xiàng)公式。解：由(n=1、2、3……)…①得=所以=2再=（n=2、3…）…②將①和②相減得：==整理得（n=2、3…）因而數(shù)列{}是首項(xiàng)為,q=4的等比數(shù)列。即==，因而。重新構(gòu)造新方程組求通項(xiàng)法雙數(shù)列型有時(shí)數(shù)列{}和{}的通項(xiàng)以方程組的形式給出，要想求出與必須得重新構(gòu)造關(guān)于和的方程組，然后解新方程組求得和。例1.（07遼寧第21題）：已知數(shù)列{}，{}滿足=2，=1且（）,求數(shù)列{}，{}的通項(xiàng)公式。解析：兩式相加得則{}是首項(xiàng)為，d=2的等差數(shù)列，故=3+2(n-1)=2n+1…………(1)而兩式相減得==則{}是首項(xiàng)為=1，q=的等比數(shù)列，故=…………(2)聯(lián)立(1)、(2)得由此得，。分析該題條件新穎,給出的數(shù)據(jù)比較特殊，兩條件做加法、減法后恰好能構(gòu)造成等差或等比數(shù)列，從而再通過(guò)解方程組很順利求出{}、{}的通項(xiàng)公式。若改變一下數(shù)據(jù)，又該怎樣解決呢？下面給出一種通法。例2.在數(shù)列{}、{}中=2，=1，且（n∈）求數(shù)列{}和{}的通項(xiàng)公式。解析：顯然再把與做和或做差已無(wú)規(guī)律可循。不妨構(gòu)造新數(shù)列{}其中為的常數(shù)。則==+=令得=2或=3則{}為首項(xiàng)，q=+2的等比數(shù)列。即=2時(shí)，{}是首項(xiàng)為4，q=4的等比數(shù)列，故=4×=；=3時(shí)，{}是首項(xiàng)為5，q=5的等比數(shù)列，故=5×=聯(lián)立二式解得，。注：該法也可適用于例21，下面給出例21的該種解法解：構(gòu)造新數(shù)列{}，則=++=令得=1或=即=1時(shí)，新數(shù)列{}中，=∴（）新數(shù)列{}是首項(xiàng)為，d=2的等差數(shù)列∴==………(1)當(dāng)=時(shí)，新數(shù)列{}是首項(xiàng)為=1，q=的等比數(shù)列∴=………(2)聯(lián)立(1)、(2)得，。例3.在數(shù)列{}、{}中，，且（n∈），求{}、{}的通項(xiàng)公式。解：構(gòu)造新數(shù)列{}，則=+=，令得=或=5{}為首項(xiàng)，q=+5的等比數(shù)列即=-3時(shí)，{}是首項(xiàng)為=，q=5+=2的等比數(shù)列，故==；當(dāng)=5時(shí)，{}是首項(xiàng)為=6，q=+5=10的等比數(shù)列，故=6×聯(lián)立二式得，。不動(dòng)點(diǎn)法當(dāng)f(x)=x時(shí)，x的取值稱(chēng)為不動(dòng)點(diǎn)，不動(dòng)點(diǎn)是我們?cè)诟?jìng)賽中解決遞推式的基本方法。為了求出遞推數(shù)列的通項(xiàng)，我們先給出如下兩個(gè)定義：定義1：若數(shù)列{}滿足，則稱(chēng)為數(shù)列{}的特征函數(shù).定義2:方程=x稱(chēng)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)方程，其根稱(chēng)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).下面分兩種情況給出遞推數(shù)列通項(xiàng)的求解通法.(1)當(dāng)c=0,時(shí),由,記,，則有（k≠0）,∴數(shù)列{}的特征函數(shù)為=kx+c,由kx+c=xx=,則∴數(shù)列是公比為k的等比數(shù)列,∴.(2)當(dāng)c≠0時(shí),數(shù)列{}的特征函數(shù)為：=由設(shè)方程的兩根為x1,x2,則有:,∴……(1)……(2)又設(shè)(其中,n∈N*,k為待定常數(shù)).由……(3)將(1)、（2）式代入(3)式得:∴數(shù)列{}是公比為(易證)的等比數(shù)列.∴=.2．應(yīng)用舉例例1：已知數(shù)列{an}中，a1=2，，求{an}的通項(xiàng)。解：因?yàn)閧an}的特征函數(shù)為：,由,∴∴數(shù)列{an-1}是公比為的等比數(shù)列,∴an-1=an=1+.例2已知數(shù)列{an}中，a1=3，，求{an}的通項(xiàng)。解：因?yàn)閧an}的特征函數(shù)為：,由設(shè)即,∴數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.∴∵a1=3,∴.該類(lèi)型題目也可利用待定系數(shù)法求解下面將介紹該種方法：例3已知數(shù)列{an}中，a1=2，，求{an}的通項(xiàng)。解：因?yàn)閧an}的特征函數(shù)為：,由設(shè)即,∴數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.∴∵a1=2,∴.例4已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，，，求{an}的通項(xiàng)。解：∵……①∴……②②-①得：……③因?yàn)閧an}的特征函數(shù)為：,由x=1.設(shè)，……④將④代入③得：∴，∵∴∴。通過(guò)分解系數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的形式求解。這種方法適用于型的遞推式，通過(guò)對(duì)系數(shù)p的分解，可得等比數(shù)列：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得。再應(yīng)用前面類(lèi)型3的方法求解。例1：在數(shù)列中，，，，求。解析：在兩邊減去，得類(lèi)型四：設(shè)二階常系數(shù)線性齊次遞推式為（），其特征方程為，其根為特征根。（1）若特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則其通項(xiàng)公式為（），其中A、B由初始值確定；（2）若特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，則其通項(xiàng)公式為（），其中A、B由初始值確定。例20：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解法一（待定系數(shù)——迭加法）由，得，且。則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是。把代入，得，，，。把以上各式相加，得。。解法二（特征根法）：數(shù)列：，的特征方程是：。,。又由，于是故構(gòu)造對(duì)數(shù)式有些數(shù)列若通過(guò)取對(duì)數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹?jiǎn)單，使問(wèn)題得以解決.例29：設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，（n≥2）.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：兩邊取對(duì)數(shù)得：，，設(shè)，則是以2為公比的等比數(shù)列，.，，，∴例1、數(shù)列中，，。求。（1981年第22屆IMO預(yù)選題）分析本題的難點(diǎn)是已知遞推關(guān)系式中的較難處理，可構(gòu)建新數(shù)列，令，這樣就巧妙地去掉了根式，便于化簡(jiǎn)變形。解：構(gòu)建新數(shù)列，使則，，即 化簡(jiǎn)得 ，即數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。即 例2、設(shè)，，求證：。分析利用待證的不等式中含有及遞推關(guān)系式中含有這兩個(gè)信息，考慮進(jìn)行三角代換，構(gòu)建新數(shù)列，使，化簡(jiǎn)遞推關(guān)系式。證明：易知，構(gòu)建新數(shù)列，使，則 ，又，，從而因此，新數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。考慮到當(dāng)時(shí)，有。所以，注：對(duì)型如，，都可采用三角代換。作業(yè)：三角函數(shù)是個(gè)很奇妙的東西，看看下面的例子例4、設(shè)r為正整數(shù)，定義數(shù)列如下：，求證：。分析把條件變形為比較與前的系數(shù)及與的足碼，考慮到另一項(xiàng)為，等式兩邊同乘以，容易想到構(gòu)新數(shù)列，使。證明：由已知得 構(gòu)建新數(shù)列，則，作業(yè)：數(shù)列確定，求通項(xiàng)..在數(shù)列中，，且，求.例5、設(shè)數(shù)列滿足，，對(duì)一切，有分析變形遞推關(guān)系式為，就容易想到怎樣構(gòu)建新數(shù)列了。解：由已知構(gòu)建新數(shù)列則， 例6、設(shè)數(shù)