大學(xué)全冊高等數(shù)學(xué)知識點(全)

大學(xué)高等數(shù)學(xué)知識點整理公式，用法合集極限與連續(xù)一.數(shù)列函數(shù):1.類型:(1)數(shù)列:*;*(2)初等函數(shù):(3)分段函數(shù):*;*;*(4)復(fù)合(含)函數(shù):(5)隱式(方程):(6)參式(數(shù)一,二):(7)變限積分函數(shù):(8)級數(shù)和函數(shù)(數(shù)一,三):2.特征(幾何):(1)單調(diào)性與有界性(判別);(單調(diào)定號)(2)奇偶性與周期性(應(yīng)用).3.反函數(shù)與直接函數(shù):二.極限性質(zhì):1.類型:*;*(含);*(含)2.無窮小與無窮大(注:無窮量):3.未定型:4.性質(zhì):*有界性,*保號性,*歸并性三.常用結(jié)論:,,,,,,,,四.必備公式:1.等價無窮小:當(dāng)時,;;;;;;;2.泰勒公式:(1);(2);(3);(4);(5).五.常規(guī)方法:前提:(1)準(zhǔn)確判斷(其它如:);(2)變量代換(如:)1.抓大棄小,2.無窮小與有界量乘積()(注:)3.處理(其它如:)4.左右極限(包括):(1);(2);;(3)分段函數(shù):,,5.無窮小等價替換(因式中的無窮小)(注:非零因子)6.洛必達法那么(1)先〞處理〞,后法那么(最前方法);(注意比照:與)(2)冪指型處理:(如:)(3)含變限積分;(4)不能用與不便用7.泰勒公式(皮亞諾余項):處理和式中的無窮小8.極限函數(shù):(分段函數(shù))六.非常手段1.收斂準(zhǔn)那么:(1)(2)雙邊夾:*,*(3)單邊擠:***2.導(dǎo)數(shù)定義(洛必達?):3.積分和:,4.中值定理:5.級數(shù)和(數(shù)一三):(1)收斂,(如)(2),(3)與同斂散七.常見應(yīng)用:1.無窮小比擬(等價,階):*(1)(2)2.漸近線(含斜):(1)(2),()3.連續(xù)性:(1)間斷點判別(個數(shù));(2)分段函數(shù)連續(xù)性(附:極限函數(shù),連續(xù)性)八.上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)1.連通性:(注:,“平均〞值:)2.介值定理:(附:達布定理)(1)零點存在定理:(根的個數(shù));(2).第二講:導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用(一元)(含中值定理)一.根本概念:1.差商與導(dǎo)數(shù):;(1)(注:連續(xù)))(2)左右導(dǎo):;(3)可導(dǎo)與連續(xù);(在處,連續(xù)不可導(dǎo);可導(dǎo))2.微分與導(dǎo)數(shù):(1)可微可導(dǎo);(2)比擬與的大小比擬(圖示);二.求導(dǎo)準(zhǔn)備:1.根本初等函數(shù)求導(dǎo)公式;(注:)2.法那么:(1)四那么運算;(2)復(fù)合法那么;(3)反函數(shù)三.各類求導(dǎo)(方法步驟):1.定義導(dǎo):(1)與;(2)分段函數(shù)左右導(dǎo);(3)(注:,求:及的連續(xù)性)2.初等導(dǎo)(公式加法那么):(1),求:(圖形題);(2),求:(注:)(3),求及(待定系數(shù))3.隱式()導(dǎo):(1)存在定理;(2)微分法(一階微分的形式不變性).(3)對數(shù)求導(dǎo)法.4.參式導(dǎo)(數(shù)一,二):,求:5.高階導(dǎo)公式:;;;注:與泰勒展式:四.各類應(yīng)用:1.斜率與切線(法線);(區(qū)別:上點和過點的切線)2.物理:(相對)變化率速度;3.曲率(數(shù)一二):(曲率半徑,曲率中心,曲率圓)4.邊際與彈性(數(shù)三):(附:需求,收益,本錢,利潤)五.單調(diào)性與極值(必求導(dǎo))1.判別(駐點):(1);;(2)分段函數(shù)的單調(diào)性(3)零點唯一;駐點唯一(必為極值,最值).2.極值點:(1)表格(變號);(由的特點)(2)二階導(dǎo)()注(1)與的匹配(圖形中包含的信息);(2)實例:由確定點“〞的特點.(3)閉域上最值(應(yīng)用例:與定積分幾何應(yīng)用相結(jié)合,求最優(yōu))3.不等式證明()(1)區(qū)別:*單變量與雙變量?*與?(2)類型:*;**;*(3)注意:單調(diào)性端點值極值凹凸性.(如:)4.函數(shù)的零點個數(shù):單調(diào)介值六.凹凸與拐點(必求導(dǎo)!):1.表格;()2.應(yīng)用:(1)泰勒估計;(2)單調(diào);(3)凹凸.七.羅爾定理與輔助函數(shù):(注:最值點必為駐點)1.結(jié)論:2.輔助函數(shù)構(gòu)造實例:(1)(2)(3)(4);3.有個零點有個零點4.特例:證明的常規(guī)方法:令有個零點(待定)5.注:含時,分家!(柯西定理)6.附(達布定理):在可導(dǎo),,,使:八.拉格朗日中值定理1.結(jié)論:;()2.估計:九.泰勒公式(連接之間的橋梁)1.結(jié)論:;2.應(yīng)用:在或值時進行積分估計十.積分中值定理(附:廣義):[注:有定積分(不含變限)條件時使用]第三講:一元積分學(xué)一.根本概念:1.原函數(shù):(1);(2);(3)注(1)(連續(xù)不一定可導(dǎo));(2)(連續(xù))2.不定積分性質(zhì):(1);(2);二.不定積分常規(guī)方法1.熟悉根本積分公式2.根本方法:拆(線性性)3.湊微法(根底):要求巧,簡,活()如:4.變量代換:(1)常用(三角代換,根式代換,倒代換):(2)作用與引伸(化簡):5.分部積分(巧用):(1)含需求導(dǎo)的被積函數(shù)(如);(2)“反對冪三指〞:(3)特別:(*的原函數(shù)為;*)6.特例:(1);(2)快速法;(3)三.定積分:1.概念性質(zhì):(1)積分和式(可積的必要條件:有界,充分條件:連續(xù))(2)幾何意義(面積,對稱性,周期性,積分中值)*;*(3)附:,)(4)定積分與變限積分,反常積分的區(qū)別聯(lián)系與側(cè)重2:變限積分的處理(重點)(1)可積連續(xù),連續(xù)可導(dǎo)(2);;(3)由函數(shù)參與的求導(dǎo),極限,極值,積分(方程)問題3.公式:(在上必須連續(xù)!)注:(1)分段積分,對稱性(奇偶),周期性(2)有理式,三角式,根式(3)含的方程.4.變量代換:(1),(2)(如:)(3),(4);,(5),5.分部積分(1)準(zhǔn)備時“湊常數(shù)〞(2)或時,求6.附:三角函數(shù)系的正交性:四.反常積分:1.類型:(1)(連續(xù))(2):(在處為無窮間斷)2.斂散;3.計算:積分法公式極限(可換元與分部)4.特例:(1);(2)五.應(yīng)用:(柱體側(cè)面積除外)1.面積,(1)(2);(3);(4)側(cè)面積:2.體積:(1);(2)(3)與3.弧長:(1)(2)(3):4.物理(數(shù)一,二)功,引力,水壓力,質(zhì)心,5.平均值(中值定理):(1);(2),(以為周期:)第四講:微分方程一.根本概念1.常識:通解,初值問題與特解(注:應(yīng)用題中的隱含條件)2.變換方程:(1)令(如歐拉方程)(2)令(如伯努利方程)3.建立方程(應(yīng)用題)的能力二.一階方程:1.形式:(1);(2);(3)2.變量別離型:(1)解法:(2)“偏〞微分方程:;3.一階線性(重點):(1)解法(積分因子法):(2)變化:;(3)推廣:伯努利(數(shù)一)4.齊次方程:(1)解法:(2)特例:5.全微分方程(數(shù)一):且6.一階差分方程(數(shù)三):三.二階降階方程1.:2.:令3.:令四.高階線性方程:1.通解結(jié)構(gòu):(1)齊次解:(2)非齊次特解:2.常系數(shù)方程:(1)特征方程與特征根:(2)非齊次特解形式確定:待定系數(shù);(附:的算子法)(3)由解反求方程.3.歐拉方程(數(shù)一):,令五.應(yīng)用(注意初始條件):1.幾何應(yīng)用(斜率,弧長,曲率,面積,體積);注:切線和法線的截距2.積分等式變方程(含變限積分);可設(shè)3.導(dǎo)數(shù)定義立方程:含雙變量條件的方程4.變化率(速度)5.6.路徑無關(guān)得方程(數(shù)一):7.級數(shù)與方程:(1)冪級數(shù)求和;(2)方程的冪級數(shù)解法:8.彈性問題(數(shù)三)第五講:多元微分與二重積分一.二元微分學(xué)概念1.極限,連續(xù),單變量連續(xù),偏導(dǎo),全微分,偏導(dǎo)連續(xù)(必要條件與充分條件),(1)(2)(3)(判別可微性)注:點處的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的極限定義:2.特例:(1):點處可導(dǎo)不連續(xù);(2):點處連續(xù)可導(dǎo)不可微;二.偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計算:1.顯函數(shù)一,二階偏導(dǎo):注:(1)型;(2);(3)含變限積分2.復(fù)合函數(shù)的一,二階偏導(dǎo)(重點):熟練掌握記號的準(zhǔn)確使用3.隱函數(shù)(由方程或方程組確定):(1)形式:*;*(存在定理)(2)微分法(熟練掌握一階微分的形式不變性):(要求:二階導(dǎo))(3)注:與的及時代入(4)會變換方程.三.二元極值(定義?);1.二元極值(顯式或隱式):(1)必要條件(駐點);(2)充分條件(判別)2.條件極值(拉格朗日乘數(shù)法)(注:應(yīng)用)(1)目標(biāo)函數(shù)與約束條件:,(或:多條件)(2)求解步驟:,求駐點即可.3.有界閉域上最值(重點).(1)(2)實例:距離問題四.二重積分計算:1.概念與性質(zhì)(“積〞前工作):(1),(2)對稱性(熟練掌握):*域軸對稱;*奇偶對稱;*字母輪換對稱;*重心坐標(biāo);(3)“分塊〞積分:*;*分片定義;*奇偶2.計算(化二次積分):(1)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)選擇(轉(zhuǎn)換):以“〞為主;(2)交換積分次序(熟練掌握).3.極坐標(biāo)使用(轉(zhuǎn)換):附:;;雙紐線4.特例:(1)單變量:或(2)利用重心求積分:要求:題型,且的面積與重心5.無界域上的反常二重積分(數(shù)三)五:一類積分的應(yīng)用():1.“尺寸〞:(1);(2)曲面面積(除柱體側(cè)面);2.質(zhì)量,重心(形心),轉(zhuǎn)動慣量;3.為三重積分,格林公式,曲面投影作準(zhǔn)備.第六講:無窮級數(shù)(數(shù)一,三)一.級數(shù)概念1.定義:(1),(2);(3)(如)注:(1);(2)(或);(3)“伸縮〞級數(shù):收斂收斂.2.性質(zhì):(1)收斂的必要條件:;(2)加括號后發(fā)散,那么原級數(shù)必發(fā)散(交錯級數(shù)的討論);(3);二.正項級數(shù)1.正項級數(shù):(1)定義:;(2)特征:;(3)收斂(有界)2.標(biāo)準(zhǔn)級數(shù):(1),(2),(3)3.審斂方法:(注:,)(1)比擬法(原理):(估計),如;(2)比值與根值:**(應(yīng)用:冪級數(shù)收斂半徑計算)三.交錯級數(shù)(含一般項):()1.“審〞前考察:(1)(2);(3)絕對(條件)收斂?注:假設(shè),那么發(fā)散2.標(biāo)準(zhǔn)級數(shù):(1);(2);(3)3.萊布尼茲審斂法(收斂?)(1)前提:發(fā)散;(2)條件:;(3)結(jié)論:條件收斂.4.補充方法:(1)加括號后發(fā)散,那么原級數(shù)必發(fā)散;(2).5.考前須知:比照;;;之間的斂散關(guān)系四.冪級數(shù):1.常見形式:(1),(2),(3)2.阿貝爾定理:(1)結(jié)論:斂;散(2)注:當(dāng)條件收斂時3.收斂半徑,區(qū)間,收斂域(求和前的準(zhǔn)備)注(1)與同收斂半徑(2)與之間的轉(zhuǎn)換4.冪級數(shù)展開法:(1)前提:熟記公式(雙向,標(biāo)明斂域);;(2)分解:(注:中心移動)(特別:)(3)考察導(dǎo)函數(shù):(4)考察原函數(shù):5.冪級數(shù)求和法(注:*先求收斂域,*變量替換):(1)(2),(注意首項變化)(3),(4)的微分方程(5)應(yīng)用:.6.方程的冪級數(shù)解法7.經(jīng)濟應(yīng)用(數(shù)三):(1)復(fù)利:;(2)現(xiàn)值:五.傅里葉級數(shù)(數(shù)一):()1.傅氏級數(shù)(三角級數(shù)):2.充分條件(收斂定理):(1)由(和函數(shù))(2)3.系數(shù)公式:4.題型:(注:)(1)且(分段表示)(2)或(3)正弦或余弦*(4)()*5.6.附產(chǎn)品:第七講:向量,偏導(dǎo)應(yīng)用與方向?qū)?數(shù)一)一.向量根本運算1.;(平行)2.;(單位向量(方向余弦))3.;(投影:;垂直:;夾角:)4.;(法向:;面積:)二.平面與直線1.平面(1)特征(根本量):(2)方程(點法式):(3)其它:*截距式;*三點式2.直線(1)特征(根本量):(2)方程(點向式):(3)一般方程(交面式):(4)其它:*二點式;*參數(shù)式;(附:線段的參數(shù)表示:)3.實用方法:(1)平面束方程:(2)距離公式:如點到平面的距離(3)對稱問題;(4)投影問題.三.曲面與空間曲線(準(zhǔn)備)1.曲面(1)形式:或;(注:柱面)(2)法向(或)2.曲線(1)形式,或;(2)切向:(或)3.應(yīng)用(1)交線,投影柱面與投影曲線;(2)旋轉(zhuǎn)面計算:參式曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn);(3)錐面計算.四.常用二次曲面1.圓柱面:2.球面:變形:,,,3.錐面:變形:,4.拋物面:,變形:,5.雙曲面:6.馬鞍面:,或五.偏導(dǎo)幾何應(yīng)用1.曲面(1)法向:,注:(2)切平面與法線:2.曲線(1)切向:(2)切線與法平面3.綜合:,六.方向?qū)c梯度(重點)1.方向?qū)?方向斜率):(1)定義(條件):(2)計算(充分條件:可微):附:(3)附:2.梯度(取得最大斜率值的方向):(1)計算:;(2)結(jié)論;取為最大變化率方向;為最大方向?qū)?shù)值.第八講:三重積分與線面積分(數(shù)一)一.三重積分()1.域的特征(不涉及復(fù)雜空間域):(1)對稱性(重點):含:關(guān)于坐標(biāo)面;關(guān)于變量;關(guān)于重心(2)投影法:(3)截面法:(4)其它:長方體,四面體,橢球2.的特征:(1)單變量,(2),(3),(4)3.選擇最適合方法:(1)“積〞前:*;*利用對稱性(重點)(2)截面法(旋轉(zhuǎn)體):(細腰或中空,,)(3)投影法(直柱體):(4)球坐標(biāo)(球或錐體):,(5)重心法():4.應(yīng)用問題:(1)同第一類積分:質(zhì)量,質(zhì)心,轉(zhuǎn)動慣量,引力(2)公式二.第一類線積分()1.“積〞前準(zhǔn)備:(1);(2)對稱性;(3)代入“〞表達式2.計算公式:3.補充說明:(1)重心法:;(2)與第二類互換:4.應(yīng)用范圍(1)第一類積分(2)柱體側(cè)面積三.第一類面積分()1.“積〞前工作(重點):(1);(代入)(2)對稱性(如:字母輪換,重心)(3)分片2.計算公式:(1)(2)與第二類互換:四:第二類曲線積分(1):(其中有向)1.直接計算:,常見(1)水平線與垂直線;(2)2.Green公式:(1);(2):*換路徑;*圍路徑(3)(但內(nèi)有奇點)(變形)3.推廣(路徑無關(guān)性):(1)(微分方程)(道路變形原理)(2)與路徑無關(guān)(待定):微分方程.4.應(yīng)用功(環(huán)流量):(有向,,)五.第二類曲面積分:1.定義:,或(其中含側(cè))2.計算:(1)定向投影(單項):,其中(特別:水平面);注:垂直側(cè)面,雙層分隔(2)合一投影(多項,單層):(3)化第一類(不投影):3.公式及其應(yīng)用:(1)散度計算:(2)公式:封閉外側(cè),內(nèi)無奇點(3)注:*補充“蓋〞平面:;*封閉曲面變形(含奇點)4.通量與積分:(有向,,)六:第二類曲線積分(2):1.參數(shù)式曲線:直接計算(代入)注(1)當(dāng)時,可任選路徑;(2)功(環(huán)流量):2.Stokes公式:(要求:為交面式(有向),所張曲面含側(cè))(1)旋度計算:(2)交面式(一般含平面)封閉曲線:同側(cè)法向或;(3)Stokes公式(選擇):()化為;()化為;()化為高數(shù)重點知識總結(jié)根本初等函數(shù)：反函數(shù)(y=arctanx)，對數(shù)函數(shù)(y=lnx)，冪函數(shù)(y=x)，指數(shù)函數(shù)()，三角函數(shù)(y=sinx)，常數(shù)函數(shù)(y=c)分段函數(shù)不是初等函數(shù)。無窮?。焊唠A+低階=低階例如：兩個重要極限：經(jīng)驗公式：當(dāng)，例如：可導(dǎo)必定連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)。例如：連續(xù)但不可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的定義：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：例如：隱函數(shù)求導(dǎo)：(1)直接求導(dǎo)法；(2)方程兩邊同時微分，再求出dy/dx例如：由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)：假設(shè)，那么，其二階導(dǎo)數(shù)：微分的近似計算：例如：計算函數(shù)間斷點的類型：(1)第一類：可去間斷點和跳躍間斷點；例如：〔x=0是函數(shù)可去間斷點〕，〔x=0是函數(shù)的跳躍間斷點〕(2)第二類：振蕩間斷點和無窮間斷點；例如：〔x=0是函數(shù)的振蕩間斷點〕，〔x=0是函數(shù)的無窮間斷點〕漸近線：水平漸近線：鉛直漸近線：斜漸近線：例如：求函數(shù)的漸近線駐點：令函數(shù)y=f(x)，假設(shè)f'(x0)=0，稱x0是駐點。極值點：令函數(shù)y=f(x)，給定x0的一個小鄰域u(x0,δ),對于任意x∈u(x0,δ)，都有f(x)≥f