【高中數(shù)學(xué)】導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理(附題型答題技巧)

高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理一.導(dǎo)數(shù)概念的引入1.導(dǎo)數(shù)的物理意義：瞬時(shí)速率。一般的，函數(shù)y=f(x)在x=圖片處的瞬時(shí)變化率是2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線的切線，當(dāng)點(diǎn)圖片趨近于P時(shí)，直線PT與曲線相切。容易知道，割線的斜率是當(dāng)點(diǎn)圖片趨近于P時(shí)，函數(shù)y=f(x)在x=圖片處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即3.導(dǎo)函數(shù)：當(dāng)x變化時(shí)，圖片便是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為f（x）的導(dǎo)函數(shù).y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作圖片，即二.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：y=f(u)和u=g(x)，則稱y可以表示成為x的函數(shù)，即y=f(g(x))為一個(gè)復(fù)合函數(shù)。三、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)：一般的，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間（a,b）內(nèi)(1)如果＞0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果＜0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；2.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)：極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況。求函數(shù)y=f(x)的極值的方法有：（1）如果在附近的左側(cè)＞0，右側(cè)＜0，那么是極大值；（2）如果在附近的左側(cè)＜0，右側(cè)＞0，那么是極小值；3.函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)：求函數(shù)y=f(x)在［a,b］上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)y=f(x)在［a,b］內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的是最大值，最小的是最小值。四.推理與證明（1）合情推理與類比推理根據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理,歸納是從特殊到一般的過(guò)程，它屬于合情推理。根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似（或一致）性，推測(cè)其中一類事物具有與另外一類事物類似的性質(zhì)的推理，叫做類比推理。類比推理的一般步驟：(1)找出兩類事物的相似性或一致性；(2)用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì),得出一個(gè)明確的命題（猜想）；(3)一般的，事物之間的各個(gè)性質(zhì)并不是孤立存在的,而是相互制約的.如果兩個(gè)事物在某些性質(zhì)上相同或相似，那么他們?cè)诹硪恍┬再|(zhì)上也可能相同或類似,類比的結(jié)論可能是真的；(4)一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類比得出的命題越可靠。（2）演繹推理（俗稱三段論）由一般性的命題推出特殊命題的過(guò)程,這種推理稱為演繹推理。（3）數(shù)學(xué)歸納法1.它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法。2.步驟：A.命題在n=1（或）時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；B.假設(shè)在n=k時(shí)命題成立；C.證明n=k+1時(shí)命題也成立。完成這兩步，就可以斷定對(duì)任何自然數(shù)（或n≥，且n∈N）結(jié)論都成立。證明方法：1、反證法；2、分析法；3、綜合法。五.導(dǎo)數(shù)中的數(shù)學(xué)思想數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是利用“數(shù)”和“形”的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法．它為代數(shù)問(wèn)題和幾何問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化架起了橋梁，數(shù)形結(jié)合重在結(jié)合，它們完美的結(jié)合，往往能起到事半功倍的效果．?dāng)?shù)形結(jié)合思想貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的始終，在許多知識(shí)板塊中都有它的身影．?dāng)?shù)形結(jié)合思想以其直觀性、靈活性等特點(diǎn)倍受解題者的衷愛(ài)．本文舉例說(shuō)明數(shù)形結(jié)合的思想在求解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的靈活運(yùn)用．例：已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得極大值，當(dāng)時(shí)取得極小值，求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積以及的取值范圍．分析：利用極值的有關(guān)知識(shí)判斷導(dǎo)函數(shù)方程的根的范圍，再由導(dǎo)函數(shù)的圖象與相應(yīng)二次方程的根的關(guān)系得到關(guān)于的線性不等關(guān)系，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的區(qū)域．第（2）問(wèn)利用斜率求出的取值范圍．解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)取得極大值，當(dāng)時(shí)取得極小值，則方程有兩個(gè)根，一個(gè)根在區(qū)間內(nèi)，另一個(gè)根在區(qū)間（1，2）內(nèi)．由二次函數(shù)的圖象與方程的根的分布之間的關(guān)系可以得到平面內(nèi)滿足約束條件的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)椋ú话ㄟ吔?，其中點(diǎn)，，如右圖所示）．的面積為（為點(diǎn)到軸的距離）點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率為，顯然，即．整體代換思想我們?cè)谒伎紗?wèn)題的時(shí)候，如果能根據(jù)題目中的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把問(wèn)題中貌似獨(dú)立，但實(shí)質(zhì)上又相互聯(lián)系的量看成一個(gè)整體，從而在宏觀上尋求解決問(wèn)題的途徑，這種思想稱之為整體思想．整體思想主要有整體代換、整體求值、整體變形、整體構(gòu)造等．這種思想若運(yùn)用巧妙，不僅可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，而且能夠激發(fā)學(xué)生思維的靈活性．本文僅舉一例來(lái)說(shuō)明整體代換思想在求解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用．例已知是定義在上的函數(shù)，其圖象交X軸于三點(diǎn)．若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)，且在和上有相同的單調(diào)性，在和上有相反的單調(diào)性．（1）求C的值；（2）在函數(shù)的圖象上是否存在一點(diǎn)，使得在點(diǎn)M的切線斜率為？（3）求的取值范圍．解：（1）∵在和上有相反的單調(diào)性，∴是的一個(gè)極值點(diǎn)．故，即有一個(gè)解為，∴.（2）因?yàn)榻籜軸于點(diǎn)，所以，即．令，得，∴，．因?yàn)樵诤蜕嫌邢喾吹膯握{(diào)性，所以，得．假設(shè)存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)M的切線斜率為．則，即．∵．而，．故不存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)M的切線斜率為3b．（3）由題意，設(shè)的函數(shù)圖象交x軸于點(diǎn)A的坐標(biāo)為、點(diǎn)C的坐標(biāo)為．則，比較系數(shù)得．得．所以，，，∵，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故．解后反思：本題的第（2）、（3）兩問(wèn)都用到了整體代換的思想，避免了求的值，大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算．運(yùn)用整體思想解題是不是很巧妙？這種整體思想在其它知識(shí)板塊中都有廣泛的應(yīng)用，在以后的學(xué)習(xí)中可要留心喲．分類討論思想分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種解題思想，對(duì)某一問(wèn)題進(jìn)行正確地分類討論要有一種全局的觀點(diǎn)，注意在分類時(shí)要不重不漏．例1已知，求的單調(diào)區(qū)間．解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）當(dāng)a=0時(shí)，若，則；若，則．則在內(nèi)為減函數(shù)，在內(nèi)為增函數(shù)．（2）當(dāng)時(shí)，由或，則在或內(nèi)為增函數(shù)，在內(nèi)為減函數(shù)．（3）當(dāng)時(shí)，由，則在內(nèi)為增函數(shù)，在和內(nèi)為減函數(shù)．從該例的解答中可以看出必須熟練掌握一些初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，理解給定區(qū)間上函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)為減函數(shù)．但要確定的符號(hào)，須對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．例2已知，．（1）求函數(shù)的最大值．（2）設(shè)，證明：．解：（1）的定義域是，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．又，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值0．（2）因，設(shè)．則．當(dāng)時(shí)，，因此在內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，因此在內(nèi)為增函數(shù)．從而當(dāng)時(shí)，有極小值．又因，，所以，即．設(shè)，則,當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)．因?yàn)?，，所以，即．所證結(jié)論成立．該題屬于典型利用導(dǎo)數(shù)證明其不等式的問(wèn)題，一般方法是：先構(gòu)造函數(shù)（多是作差函數(shù)），再用導(dǎo)數(shù)確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明．在證明的過(guò)程中難免要分類處理，否則難以確定新函數(shù)的正負(fù)。附：答題技巧在考試過(guò)程中，很多高中生由于沒(méi)有掌握適用的解題技巧，尤其是對(duì)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)掌握不夠牢固的同學(xué)，只能放棄，下面為大家總結(jié)了導(dǎo)數(shù)七大題型，幫助大家在高考數(shù)學(xué)中多拿一分，輕松拿下140+！1導(dǎo)數(shù)單調(diào)性、極值