數(shù)學(xué)建模-基金使用計劃論文

PAGEPAGE1題目基金使用計劃摘要本文研究了關(guān)于基金使用計劃的問題，主要目的在于設(shè)計資金的合理安排方法，實現(xiàn)在一定條件下，使用有限的資金合理投資，達(dá)到最大的利潤。并且我們建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型對該問題進(jìn)行分析求解。對于第一問，我們在不影響?yīng)剬W(xué)金發(fā)放的情況下，對利率較小的銀行存款進(jìn)行排除，對每年的資金來源進(jìn)行分析，列出所有可能發(fā)生的情況，然后建立一個線性方程組，求出最大獎學(xué)金額度，方程組如下：使用軟件對其進(jìn)行編程求解，最后的得出最大獎學(xué)金額數(shù)為。然而對于第二問，情況與第一問相似，但是又存在不同點，校方允許了購買國庫券這種投資方式。經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，由于國庫券的發(fā)行不穩(wěn)定，會產(chǎn)生三種不同的情況。所以我們對這三種情況分別進(jìn)行分析，運(yùn)用第一題的思路，根據(jù)題目要求同樣建立了一個線性方程組（具體方程組見下文）。同樣也是使用軟件對其進(jìn)行編程求解。最后得出在第一種情況下，校方每年能夠發(fā)放的最大獎學(xué)金額數(shù)為；而第二種方案的最大獎學(xué)金額數(shù)為；最后第三種方案的最大獎學(xué)金額數(shù)為第三問比較簡單，校方要求第三年的獎金能夠多出，但是因為沒有規(guī)定是只存款不購國庫券還是可存款也可購國庫券，所以又要分成兩個情況去討論。我們對第一問和第二問中的方程組加以改進(jìn)（改進(jìn)方案見下文），將方程組中第三年支出的獎金額數(shù)上調(diào)，就能夠得到滿意的答案。最后，還是通過使用軟件對其進(jìn)行編程求解，在第一種情況下，得出的最大獎學(xué)金額數(shù)為，而第三年百年校慶時的獎學(xué)金為；而在第二種情況下，得出的最大獎學(xué)金額數(shù)為，而第三年百年校慶時的獎學(xué)金為。關(guān)鍵詞：線性方程組求解最優(yōu)化方案一、問題重述某?；饡幸还P數(shù)額為M元的基金，打算將其存入銀行或購買國庫券。當(dāng)前銀行存款及各期國庫券的利率見下表。假設(shè)國庫券每年至少發(fā)行一次，發(fā)行時間不定。取款政策參考銀行的現(xiàn)行政策。?；饡媱澰趎年內(nèi)每年用部分本息獎勵優(yōu)秀師生，要求每年的獎金額大致相同，且在n年末仍保留原基金數(shù)額。?；饡Ｍ@得最佳的基金使用計劃，以提高每年的獎金額。請你幫助?；饡谌缦碌那闆r下設(shè)計出基金的最合理的使用方案，并且對于給出具體結(jié)果：1、只存款不購國庫券；2、可存款也可購國庫券。3、學(xué)校在基金到位后的第年要舉行百年校慶，基金會希望這一年的獎金比其它年度多。銀行存款稅后年利率（%）國庫券年利率（%）活期0.792半年期1.664一年期1.800二年期1.9442.55三年期2.1602.89五年期2.3043.14二、模型假設(shè)1、每年發(fā)放的獎金數(shù)額都是相同的。2、不考慮通貨膨脹或通貨緊縮和國家經(jīng)濟(jì)政策對存款利率的影響。3、假設(shè)基金在年末到位，獎學(xué)金在基金到位后發(fā)放。4、假設(shè)購買國庫券后所得的利息不用支付所得稅。5、假設(shè)資金到位后，立即進(jìn)入下一輪的存款，中間無時間間隔。6、假設(shè)購買國庫券時，能夠一次滿足所有需求。7、假設(shè)購買的國庫券到期后，通過投資國庫券而取得的資金在同年內(nèi)不能夠再購買購買國庫券，必須等到下一年的國庫券發(fā)行后，才能繼續(xù)購買。8、假設(shè)定期存款如果在沒有到期之前取出，就按照活期存款利率計算。三、符號說明第年存入銀行年期的存款金額第年購買年期的國庫券金額初始本金萬每年發(fā)放的固定獎金年期的銀行存款稅后年利率第年年初投入存款的總金額第年年末獲得的資金總金額第年年初投入國庫券的總金額年期的國庫券年利率四、問題分析4.1對問題一的分析在第一問中，校方要求只存款而不購買國庫券，為了使得每年年終獲得的獎學(xué)金最多，那么就必須使得在銀行獲得利息最大。因此，活期存款和半年期存款因為利率太低，而且如果去除，并不會影響?yīng)剬W(xué)金的發(fā)放，所以不予考慮。然后我們經(jīng)過研究，把每年在存款到期日取出的資金分為：發(fā)放獎金、轉(zhuǎn)存到一年期存款、二年期存款、三年期存款、五年期存款這五個款項。通過對這五個款項的分析與求解，求出最大的每年發(fā)放的獎學(xué)金。4.2對問題二的分析在第二問中，校方要求可以存款也可以購買國庫券，但是國庫券的購買與直接存款有很大的區(qū)別，所以要對第一問中的解法做一些調(diào)整。因為同年期的國庫券的利率要大于同年期的銀行存款利率，所以在選擇時，我們優(yōu)先考慮購買國庫券。但是，由于每年發(fā)行的國庫券的時間和次數(shù)不同，所以可能會發(fā)生三種情況：一是，國庫券在年初準(zhǔn)備存錢的時候發(fā)行了，我們就在第一題的基礎(chǔ)上，將準(zhǔn)備存入相應(yīng)年期存款的資金用于購買同樣年期的國庫券，然后計算出最大的獎金額。二是，國庫券沒有在存入資金之前發(fā)行，為了不讓資金發(fā)生閑置，我們設(shè)立了另一種解決方案：以二年期的國庫券為例：由于在年初年初投放資金時不能購買國庫券,我們先將購買國庫券的資金全部用于半年期存款,如果在該半年內(nèi)發(fā)行了國庫券,我們就將資金全部取出購買國庫券,在國庫券到期的那年將本息全部用于半年期存款,到期后轉(zhuǎn)入活期存款；如果在該半年內(nèi)沒有發(fā)行國庫券,我們將半年到期的自己全部用于活期存款，用于購買下半年一定會發(fā)行的國庫券,國庫券到期之后再全部轉(zhuǎn)入活期存款。因此，我們將其運(yùn)轉(zhuǎn)周期定為三年,在這三年里,不管國庫券什么時候發(fā)行,該部分資金一定有兩年是用于存國庫券,有半年用于存半年期,還有半年是存活期。即采用活期、半年期、國庫券的“組合式”投資。所以同理，三年期國庫券和五年期國庫券的周期分別為四年,六年。而第三種則是第二種情況的特殊化，也就是國庫券恰好在年中發(fā)行了。而在這種情況下，在國庫券發(fā)行的前半年，用于購買國庫券的資金就可以存入半年期的銀行存款；而在國庫券到期后，還會有半年的時間，我們就能夠?qū)①徺I國庫券后得到的本息再次存入半年期的銀行存款中去。這樣就是半年期和國庫券的“組合式”投資，這樣的投資方法會比第二種情況獲利更多。然后對這三個情況分別求解，得出每年發(fā)放的獎學(xué)金。4.3對問題三的分析在第三問中，校方要求第三年的百年校慶中的獎學(xué)金能夠上漲20%，這個問題比較簡單。但是因為沒有規(guī)定是只存款不購國庫券還是可存款也可購國庫券，所以又要分成兩個情況去討論。又因為第一種情況與第一問相似，第二種情況與第二問相似，所以只需要在第一問和第二問的基礎(chǔ)上對方程進(jìn)行一部分的改進(jìn)，將第三年的獎學(xué)金上調(diào)，從而改為，再利用進(jìn)行求解。五、模型的建立與求解5.1問題一的模型建立與求解我們對每一年的年末所能夠獲得的、用于發(fā)放獎學(xué)金的現(xiàn)金來源進(jìn)行分析。比如，在第一年的年末，校方所能夠提取的現(xiàn)金，只有可能是在第一年年初投入一年期存款的基金的本金和所獲得的利息；而在第二年年末，校方所能夠提取現(xiàn)金的來源就可能有兩個，一是第二年年初投入一年期存款的基金的本金和所獲得的利息，二是第一年年初投入二年期存款的基金本金和所獲得的利息；而在第三年的年末，校方所能夠提取現(xiàn)金的方法就有三種。所以根據(jù)上述的思想，我們建立了一個線性方程組，用于求解最大的獎學(xué)金額數(shù)。該方程組如下：然后我們將數(shù)據(jù)代入方程組，利用軟件對其進(jìn)行求解，求得答案為：最大獎學(xué)金額數(shù)為。而存款方案如下表所示：表1：問題1第年存入年期的金額（萬元）第一年第二年第三年第四年第五年第六年第七年第八年第九年第十年一年期396.8000000000二年期200.5000000000三年期195.6195.600000000五年期420798.598.598.598.5458200005.2問題二的模型建立與求解首先對第一種情況進(jìn)行求解。對于第一種情況，經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，與第一問十分相似，直接將第一問中的與國庫券有著相同年期的銀行存款利率改為國庫券利率，然后通過運(yùn)用軟件進(jìn)行編程求解，得出：最大獎學(xué)金額數(shù)為。而投資方案如下表所示：表2：問題2.1第年存入年期的金額（萬元）第一年第二年第三年第四年第五年第六年第七年第八年第九年第十年一年存款277.0000000000二年國庫260.5000000000三年國庫490.7135.10259.500135.1000五年國庫39710126.9126.9044480000然后對第二種情況進(jìn)行求解。因為國庫券的周期與存款不同，所以需要重新進(jìn)行計算，根據(jù)不同的存款利率和國庫券利率列出如下的“組合式”購買利率公式：然后根據(jù)第一問中的思想建立一個新的線性方程組用于求解最大的獎學(xué)金額數(shù)。該方程組如下：然后我們將數(shù)據(jù)代入方程組，利用軟件對其進(jìn)行求解，求得答案為：最大獎學(xué)金額數(shù)為。而投資方案如下表所示：表3：2.2第年存入年期的金額（萬元）第一年第二年第三年第四年第五年第六年第七年第八年第九年第十年一年存款232.2000125.200000二年存款227.5000000000三年存款222.0000000000五年存款0000000000二年國庫0000000000三年國庫4209000000000五年國庫108.8108.8108.8108.8437700000最后對第三種情況進(jìn)行分析求解，因為是第二種情況的特殊化，所以只需要在第二問中進(jìn)行一些改動。由于在第三種情況中，沒有活期銀行存款的存在，而是變成了兩個半年期，所以“組合式”購買利率發(fā)生了改變，更改后的公式為：然后還是根據(jù)第二種情況中的線性方程組求解最大的獎學(xué)金額數(shù)。最后求出的最大獎學(xué)金額數(shù)為：表4：2.3第年存入年期的金額（萬元）第一年第二年第三年第四年第五年第六年第七年第八年第九年第十年一年存款356.7000000000二年存款234.7000000000三年存款0000000000五年存款0000000000二年國庫228.2000000000三年國庫4068119.200000000五年國庫112.0112.0112.0112.04362000005.3問題三的模型建立與求解對于第三問，由于第三年為百年校慶，所以校方要求當(dāng)年的獎學(xué)金要上調(diào)。但是因為沒有規(guī)定是只存款不購國庫券還是可存款也可購國庫券，所以又要分成兩個情況去討論。在第一種情況中，我們只存款而不購買國庫券，我們將第三年的獎學(xué)金發(fā)放額改為原來的，對第一問方程組中的的方程進(jìn)行修改：然后再通過利用軟件對其進(jìn)行求解，求得答案為（輸出結(jié)果見附錄II）：最大獎學(xué)金額數(shù)為。而投資方案如下表所示：表5：3.1第年存入年期的金額（萬元）第一年第二年第三年第四年第五年第六年第七年第八年第九年第十年一年存款388.6000122.600000二年存款196.4000000000三年存款211.8191.600000000五年存款420396.4496.4496.4496.4445790000而在第二種情況中，我們可以存款也可以購買國庫券，我們對第二問中第二種情況的求解方程組中的的方程進(jìn)行修改：將改為了，再通過利用軟件對其進(jìn)行求解，求得答案為（輸出結(jié)果見附錄II）：最大獎學(xué)金額數(shù)為。而投資方案如下表所示：表6：3.2第年存入年期的金額（萬元）第一年第二年第三年第四年第五年第六年第七年第八年第九年第十年一年存款227.3000122.600000二年存款222.7000000000三年存款240.0000000000五年存款0000000000二年國庫0000000000三年國庫4202000000000五年國庫106.6106.6106.6106.6437500000六、模型的評價與改進(jìn)6.1模型的優(yōu)點1、運(yùn)用線性規(guī)劃的思想，使用進(jìn)行編程求解，方便運(yùn)算，簡單實用。2、模型細(xì)致，分析具體，將各種情況都考慮了進(jìn)去。3、運(yùn)用圖表，結(jié)果更加直觀，可操作性高。6.2模型的缺點1、假設(shè)過于理想化，與現(xiàn)實生活有一定的差異。2、重復(fù)計算較多，不借助軟件無法求解。七、模型的推廣這個模型的假設(shè)過于理想化，是建立在不受社會經(jīng)