考研概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習

概率部分概率這門課的特點與線性代數(shù)一樣，概率也比高數(shù)容易，花同樣的時間復習概率也更為劃算。但與線代一樣，概率也常常被忽視，有時甚至被忽略。一般的數(shù)學考研參考書是按高數(shù)、線代、概率的順序安排的，概率被放在最后，復習完高數(shù)和線代以后有可能時間所剩無多；而且因為前兩部分分別占60%和20的分值，復習完以后多少會有點滿足心理；這些因素都可能影響到概率的復習。概率這門課如果有難點就應該是“記憶量大”。在高數(shù)部分，公式、定理和性質(zhì)雖然有很多，但其中相當大一部分都比較簡單，還有很多可以借助理解來記憶；在線代部分，需要記憶的公式定理少，而需要通過推導相互聯(lián)系來理解記憶的多，所以記憶量也不構(gòu)成難點；但是在概率中，由大量的概念、公式、性質(zhì)和定理需要記清楚，而且若靠推導來記這些點的話，不但難度大耗時多而且沒有更多的用處（因為概率部分考試時對公式定理的內(nèi)在推導過程及聯(lián)系并沒有什么要求，一般不會在更深的層次上出題）。記得當初看到陳文燈復習指南概率部分第二章《隨機變量及其分布》、第三章《隨機變量的數(shù)字特征》中在每章開始列出的那些大表格時，感覺其中必然會有很多內(nèi)容是超綱的、不用細看；但后來復習時才發(fā)現(xiàn)，可以省略不看的內(nèi)容少之又少，由大量的內(nèi)容需要記憶。所以對于概率部分相當多的內(nèi)容都只能先死記硬背，然后通過足量做題再來牢固掌握，走一條“在記憶的基礎(chǔ)上理解”的路。記牢公式性質(zhì)，同時保證足夠的習題量，考試時概率部分20%的分值基本上就不難拿到了。概率第一章《隨機事件和概率》本章內(nèi)容在歷年真題中都有涉及，難度一般不大。雖然對于本章中的古典概型可以出很難的題目，但大綱的要求并不高，考試時難題很少。填空、選擇常考關(guān)于事件概率運算的題目，大多圍繞形如、、這樣的式子利用各種概率運算公式求解；其它內(nèi)容如全概率公式和貝葉斯公式在小題中和大題中都有可能考到。在“概率事件的關(guān)系及運算”部分有很多公式可以借助畫集合運算圖來輔助做題，比如事件若與事件有包含關(guān)系，則可作圖長方形內(nèi)的點都屬于的范圍，圓形則代表的范圍。這樣一來即易看出事件包含關(guān)系的定義“發(fā)生時必發(fā)生，發(fā)生時不一定發(fā)生”；事件與的并可作圖，則是、兩個圓形（包含相交部分），對于這個大圖形中的任意一點來說，不是屬于就是屬于，體現(xiàn)了“事件與至少有一個發(fā)生”的定義；同理，事件與的差表示事件與同時發(fā)生，在上圖中所有滿足條件的點組成了兩圓相交的那一部分。對于其它的概率運算公式也可用圖輔助理解，有的題甚至可以直接通過作圖來得到答案。如公式可以借助右圖表示公式左端的等于、、三個圓形各自互不相交的三部分再加上四小部分，而公式右端中的代表的區(qū)域包括、、各自互不相交的三部分，比左端多加了一次和兩次，這時等式是不平衡的；再減去即是，與公式左端所代表的圖形相比只少了一塊，加上即可，故再加后等式成立。區(qū)別互斥、互逆、對立與不相容：事件與事件互斥也叫與不相容，即，事件與事件對立就是與互逆，即為與的關(guān)系。公式組在歷年考研真題中頻繁用到，很多題利用這三個公式間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系很容易求得答案。這三個公式的含義從直觀上就能理解：公式（1）表示事件、同時發(fā)生的概率等于發(fā)生的概率減去發(fā)生而不發(fā)生的概率；（2）式表示事件、同時發(fā)生的概率等于發(fā)生的概率乘以在發(fā)生的條件下也發(fā)生的概率；當、相互獨立時，也就是指事件與事件的發(fā)生互不影響，此時應該有、所以由（2）式即可得出（3）式。出題人從這三個公式意義上的相通性出發(fā)可以很靈活地構(gòu)造題目，在后面的評題中會對這個知識點作更具體的討論。第二章《隨機變量及其分布》、第三章《隨機變量的數(shù)字特征》、第四章《大數(shù)定律和中心極限定理》對于這一部分的復習可說的東西不多，因為在考試中出現(xiàn)的概率題目其實有相當大一部分難度是被解題所用的繁雜公式“分走”了，既然理解、掌握和牢記公式本身就不容易，那么題目的結(jié)構(gòu)相對而言就要簡單一些，我們甚至會發(fā)現(xiàn)歷年真題中的有的題就像是課本上的例題一樣。這種情況有點像我們在英語考試中作閱讀理解題，問題本身的含義并不復雜，難就難在文章中的單詞“似曾相識”和句子看不懂上。而英國學生考“語文”時做的閱讀理解問題肯定要比我們遇到的題目要復雜深入的多——因為考察的重點不一樣。所以對于概率部分的復習，有兩個步驟即可：首先是牢記公式，然后是把題做熟,在練習過程中透徹理解概念公式和性質(zhì)定理。陳文燈復習指南概率第二、三章把知識點列成了大表格，所有東西一目了然，復習時用來記憶和對比很方便。對于第二章的大表格也可以利用各部分之間的聯(lián)系來對照復習，比如說二維分布的性質(zhì)基本上與一維分布的性質(zhì)一一對應（類似于二重積分和定積分性質(zhì)之間的關(guān)系），二維邊沿分布的內(nèi)容與一維分布本質(zhì)上也是相通的，離散型和連續(xù)型分布的各知識點也可互相對比、區(qū)別記憶。也就是“一維和二維相聯(lián)系、離散和連續(xù)相對比、隨機變量分布和隨機變量函數(shù)的分布相區(qū)別”。同時對于重要分布如二項、泊松、正態(tài)、均勻、指數(shù)分布必需記得非常牢，因為考試時會直接拿這些分布做題干來考察各章知識點，萬一出現(xiàn)“由于題干中的分布函數(shù)不會寫或?qū)戝e而導致整道大題知道怎么做也沒法做”的情況將是非?？上У?。本章的一維連續(xù)分布和二維離散分布在歷年真題中出現(xiàn)頻率最高，最常考分布是均勻、指數(shù)和正態(tài)分布。對于一維連續(xù)型分布的性質(zhì)可借助圖像理解因為分布函數(shù)，所以分別可用圖中的陰影部分表示，容易看出多條性質(zhì)，包括、等；而且在具體做題時用圖像輔助理解也很有效，比如頻繁在真題中出現(xiàn)的正態(tài)分布，作圖輔助解題的效果更為明顯。陳文燈復習指南第三章《隨機變量的數(shù)字特征》也是用表格說話的，同樣需要認真記好。本章在歷年真題中最常出現(xiàn)的題目考察點是幾個重點公式，尤其是式子，大\小題都可能利用這一式子的左端或右端出題而以另一端設置答案。還有數(shù)學期望與方差的定義及性質(zhì)也是考察重點，可由下表對比記憶：數(shù)學期望方差 （連續(xù)型）若、相互獨立，則有、（歷年真題不止一次利用這個點作為填空和選擇題中的小陷阱，因為一不留神就會寫成，正如一樣，但實際上）若、相互獨立，則有無對應性質(zhì)若、相互獨立則同時具有以下4條性質(zhì)：1.2.3.4.，利用各式定義可以推導出來?？荚嚧缶V對第四章《大數(shù)定理和中心極限定理》的要求是：“了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律，了解格林定理和林莫佛定理”。這三個“了解”在歷年真題中的體現(xiàn)就是本章內(nèi)容幾乎是不考的，只出現(xiàn)過直接考察公式定義的小題。同時本章的幾個公式、定理也不好記，推導就更不是什么簡單任務了。即便如此，以上的信息也還是不能成為放棄這一章的理由，因為對于這樣“又難、大綱要求又低”的知識點考試時出題的深度也會是最淺的。如在真題中出現(xiàn)過的一個本章的填空題幾乎就是直接考察切比雪夫不等式的公式本身，這樣的情況對于難度低的知識點和重要知識點來說是絕不可能出現(xiàn)的，比如若你在06年考研數(shù)學試卷上見到一道填空題是讓填出這個公式的話，那你肯定是把題義理解錯了。所以花時間記住這幾個公式其實是比較劃算的，因為如果考試出一道有關(guān)的填空題，4分的得失將完全取決于記沒記住公式。這樣的4分當然要比在大題中絞盡腦汁得到的4分好拿的多。從另一方面說，這些定理也是可以理解的：本章所有的大數(shù)定理都是指在獨立同分布且存在數(shù)學期望的條件下若干隨機變量的平均值依概率收斂到均值的期望，即。因為獨立同分布，所以有，故有公式右側(cè)，應有，即為辛欽大數(shù)定律；若用表示在n重伯努利試驗中事件的發(fā)生次數(shù)則可得到伯努利大數(shù)定律。通過以上的分析可以減少一些死記硬背的難度。概率第五章《數(shù)理統(tǒng)計的基本概念》、第六章《參數(shù)估計》、第七章《假設檢驗》數(shù)理統(tǒng)計部分在考研數(shù)學試卷中占有概率部分1/3的分值，這一部分考點較少，參數(shù)估計最為重要，其次是樣本與抽樣分布，假設檢驗部分則很少考到。對于參數(shù)估計部分，需要記清楚據(jù)估計和極大似然估計各自的步驟，然后通過足量做題來熟練掌握；對于樣本與抽樣分布，重要的是分布、t分布和F分布各自的條件和結(jié)論公式，在歷年真題中考察過；對于假設檢驗，大綱要求為：“1.理解顯著性檢驗的基本思想，掌握假設檢驗的基本步驟，了解假設檢驗可能產(chǎn)生的兩類錯誤”?？梢姶缶V對于假設檢驗的要求還是較高的，但往年出題不多，不知道會不會在以后的考試中加大考察力度。概率這門課的全稱是概率論和數(shù)理統(tǒng)計，數(shù)理統(tǒng)計是對概率論的實際應用，而概率論則充當了理論基礎(chǔ)的角色。數(shù)理統(tǒng)計中的統(tǒng)計量如樣本均值、樣本方差等的概念性質(zhì)都能在概率論中找到出發(fā)點。其實，數(shù)理統(tǒng)計就是一個先對隨機變量做實際觀測得到一系列具體數(shù)據(jù)，再利用“樣本與抽樣分布”部分的公式歸納出樣本均值、方差等統(tǒng)計量，在此基礎(chǔ)上利用參數(shù)估計等方法推斷出隨機變量整體分布和數(shù)學特征的過程。參數(shù)估