近世代數(shù)期末考試題庫

PAGEPAGE1世代數(shù)模擬試題一(5315分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1設ABR實集)果A到B映射x→＋2xR則是從A到B（c）A、滿射而非單射 B、單射而非滿射C、一一映射 D、既非單射也非滿射2A5B2ABA×B有（d）個元素。A、2 B、5 C、7 D、103、在群Gax=b，ya=ba,b∈G（b）乘法來說A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(兩方程解一樣)4、當GHaH（c）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。5、nGHn（d）A、倍數(shù)B、次數(shù)C、約數(shù)D、指數(shù)10330錯填、不填均無分。1A1,0,1B1,2，則有BA。2、若有元素e∈Ra∈A，都有ae=ea=aeR單位元。3RR交換環(huán)。4、偶數(shù)環(huán)是整數(shù)環(huán)的子環(huán)。5、一個集合AA變換全。6、每一個有限群都有與一個置換群同構。701，元aa1。8、設I和S是環(huán)R的理想且ISR，如果I是R的最大理想，那么 。9、一個除環(huán)的中心是一個-域 。（31030）1、設置換和分別為：12345678，12345678，判斷和的奇偶性，并把和64173528 23187654 2、證明：任何方陣都可唯一地表示成一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和。奇1、解：把和寫成不相雜輪換的乘積：可知為奇置換，為偶置換。 和可以寫成如下對換的乘積：

2

， 2

BCABCAB1C1B1和C1分別為對稱矩陣和反對稱矩陣，則BB1CC1，所以，表示法唯一。3、設集合Mm0,1,2,m1m}(m1，定義Mmmamb=(a+b)(modm),則（Mmm）是不是群，為什么？四、證明題（211021525）1、設G是群。證明：如果對任意的xG，有x2e，則G是交換群。2RFRFR1Gx，y，由于(xy)2e，所以xyxy)1y1x1yx（x，從x2e可xx12Fab1b1aa(a,bR,b0)b aQ所有b(abRb0)有意義，作F的子集 顯然是R的一個商域 證畢。近世代數(shù)模擬試題二一、單項選擇題二、1、設G6，aG（c）是子群。A、a B、a,e C、e,a3 D、e,a,a32（G*d）不是群3、在自然數(shù)集N上，下列哪種運算是可結合的？（b ）A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2b D、a*b=|a-b|4、設1、2、31（3（則3=（b）

2

3（2A、21

B、12

C、22

D、2152（a。A、不可能是群 B、不一定是群A、不可能是群 B、不一定是群C、一定是群 D、是交換群10330錯填、不填均無分。1、凱萊定理說：任一個子群都同一個變換全 同構。2、一個有單位元的無零因子-交換環(huán) 稱為整環(huán)。3、已知群G中的元素a的階等于50，則a4的階等于-25 。4、a的階若是一個有限整數(shù)n，那么G與--模n乘余類加群 同構。5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=2--。6、若映射既是單射又是滿射，則稱為雙射 。7叫做域F的一個代數(shù)元，如果存在F的--不都等于林a0a1,an使得

ann0。8、a是代數(shù)系統(tǒng)(A,0)的元素，對任何xA均成立xax，則稱a為單位元 。9、有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合G作成一個群，如果滿足G對于乘法封閉；結合律成立、--消去律成立 。10、一個環(huán)R對于加法來作成一個循環(huán)群，則P是 。（31030）A，HGH={I,(12)H集。2EE，是一個代數(shù)系統(tǒng)，問（E）是不是群，為什么？3I,(12)}，{(123)，(13)}，{(132(232)}，{(123(23)}，{(132)，(13)}2E，）（，）3a=b+102b=3×102+85102=1×85+17a,b)=17a,b]=a×b/17=11339。p=4q=-5.四、證明題（211021525）1、證明設e＝b。所以，x＝a－1*ba*x＝b若x∈Ga*x＝bx＝e*x＝(a－1*a)*x＝a－1*(a*x)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*ba*x＝b2ZZ記為Zm，每m若m︱a–ba≡b(m)。當m=2Z220]與[1]。四、證明題（211021525）1、若<G，*a、b∈Gx∈Ga*x＝b。2、設mmZa?bm︱a–b。近世代數(shù)模擬試題三一、單項選擇題1、6階有限群的任何子群一定不是（cA、2階 B、3階 C、4階 D、6階2、設G是群，G有（c）個元素，則不能肯定G是交換群。A、4個 B、5個 C、6個 D、7個3、有限布爾代數(shù)的元素的個數(shù)一定等于（d 4、下列哪個偏序集構成有界格（d）A、偶數(shù) B、奇數(shù) C、4的倍數(shù) A（N,） B（Z,）C（,4,}|（除關） D、(A,)S3123)交換的所有元素有（a）A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123) D、S3中的所有元素10330錯填、不填均無分。1、群的單位元是的，每個元素的逆元素是 的。2、如果f是A與A間的一一映射，a是A的一個元，則f1faa 。3、區(qū)間[1，2]上的運算ab{mina,b}的單位元是--2 。|ax|=———24———————。5、環(huán)Z8的零因子有 。6、一個子群H的右、左陪集的個數(shù)相等 。7、從同構的觀點，每個群只能同構于他/它自己的商權 。8、無零因子環(huán)R中所有非零元的共同的加法階數(shù)稱為R的特征 。9、設群G中元素a的階為m，如果ane，那么m與n存在整除關系為mIn 。（31030）252、S1，S2是AS1∩S2也是子環(huán)。S1+S2也是子環(huán)嗎？3、設有置換1345)(1245234)(456S6。1．求和1；2．確定置換和1的奇偶性。群論前我們沒有一般的方法，只能用枚舉法。用筆在紙上畫一下，用黑白兩種珠子，分112，?8種。2、證由上題子環(huán)的充分必要條件，要證對任意a,b∈S1∩S2有a-b,ab∈S1∩S2：S1，S2Aa-b,ab∈S1a-b,ab∈S2，因而a-b,ab∈S1∩S2S1∩S2

2．兩個都是偶置換。四、證明題（211021525）1、一個除環(huán)RMb=a-1aba=aab2a=e。1是Ra0a1a1，因而Rbb1這就是說=R，證畢。2、證必要性：將b充分性：利用結合律作以下運算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2aba)=ab2a=e，近世代數(shù)模擬試題四一、單項選擇題(5315分)括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。設集合A中含有5個元素，集合B中含有2個元素，那么，A與B的積集合A×B中含有（ d ）個元素。A.2 B.5C.7 D.10設A＝B＝R(實數(shù)集)A到B的映射x∈R，則是從A到B的（ c ）A.滿射而非單射 B.單射而非滿射C.一一映射 D.既非單射也非滿射3.設那在可以與換的所元素有（ a ）A.(1)，(123)，(132) B.(12)，(13)，(23)C.(1)，(123) 中的所有元素設Z15是以15為模的剩余類加群，那么，Z15的子群共有（d ）個。A.2 B.4C.6 D.8下列集合關于所給的運算不作成環(huán)的是（b ）Z［x］關于多項式的加法與乘法Q上的nMn(Q)關于矩陣的加法與乘法整數(shù)集Z，n∈，mn0整數(shù)集Z，n∈，mn1二、填空題(10330分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。設“～”是集合A的一個關系，如果“～”滿足 等價關系。設(·)是一個群，那么，對于a，∈，則b∈GG(b)－1＝ 。8.設σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝ 成若干個沒有公共數(shù)字的循環(huán)置換之積)。于a∈G，則元素a的階只可能是 5,15,1,3, 。在3次對稱群S3中，設H＝{(1)，(123)，(132)}是S3的一個不變子群，則商群G/H中的元素(12)H＝ 。1設6＝14是以6為的剩余環(huán)則6中的所零因子是 2,3,4 。設R是一個無零因子的環(huán)，其特征n是一個有限數(shù)，那么，n是 。設Z［x］是整系數(shù)多項式環(huán)，(x)是由多項式x生成的主理想，則(x)＝ 。高斯數(shù)環(huán)i＝abib∈其中2＝則［中的所單位 。23理數(shù)域Q上的代數(shù)元+ 在Q上的極小多項式是 。23三、解答題（31030分）Z為整數(shù)加群，Zmm是Z到Zm的一個映射，其中 ：k［，k∈，是Z到Zm的一個同態(tài)滿射，并求Ker。1766＝［［［345］Z6的理想。試說明唯一分解環(huán)、主理想環(huán)、歐氏環(huán)三者之間的關系，并舉例說明唯一分解環(huán)未必是主理想環(huán)。四、證明題（319、201021525分）G＝{a，b，c}，G”(G)作成一個群。abcaabcbbcaccab設a b a 0 Rc da,b,c,dZ, Ic0a,cZ, R關于矩陣的加法和乘法作成一個環(huán)。證明：I是R的一個子環(huán)，但不是理想。(R)()R近世代數(shù)模擬試題一 參考答案一、單項選擇題。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；103301、、交換環(huán)；45、同構;7、零、-a；8、S=IS=R；9、域；（31030）1、解：把和寫成不相雜輪換的乘積：可知為奇置換，為偶置換。 和可以寫成如下對換的乘積：

2

， 2

ABCAB1C1B1和C1分別為對稱矩陣和反對稱矩陣，則BB1CC1，所以，表示法唯一。3（Mm，m）不是群，因為Mm0和m。四、證明題（211021525）1Gx，y，由于(xy)2e，所以xyxy)1y1x1yx（x，從x2e可xx12Fab1b1aa(a,bR,b0)b aQ所有b(abRb0)有意義，作F的子集 顯然是R的一個商域 證畢。近世代數(shù)模擬試題二參考答案53151、C；2、D；3、B；4、B；5、A；103301、變換群；2、交換環(huán)；3、25；4n5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右單位元；9、消去律成立；10、交換環(huán)；（31030）3I,(12)}，{(123)，(13)}，{(132(232)}，{(123(23)}，{(132)，(13)}2E，）（，）3a=b+102b=3×102+85102=1×85+17a,b)=17a,b]=a×b/17=11339。p=4q=-5.四、證明題（211021525）1、證明設e＝b。所以，x＝a－1*ba*x＝b若x∈Ga*x＝bx＝e*x＝(a－1*a)*x＝a－1*(a*x)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*ba*x＝b2ZZ記為Zm，每m若m︱a–ba≡b(m)。當m=2Z220]與[1]。近世代數(shù)模擬試題三 考答案、單項選擇題1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；10330錯填、不填均無分。等；7、商群；8、特征；9、mn；（31030）1、解在學群論前我們沒有一般的方法，只能用枚舉法。用筆在紙上畫一下，用黑白兩112，?等等，82、證由上題子環(huán)的充分必要條件，要證對任意a,b∈S1∩S2有a-b,ab∈S1∩S2：S1，S2Aa-b,ab∈S1a-b,ab∈S2，因而a-b,ab∈S1∩S2S1∩S2

2．兩個都是偶置換。四、證明題（211021525）1是Ra0a1a1，因而Rbb1這就是說=R，證畢。2、證必要性：將b充分性：利用結合律作以下運算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以b=a-1。（1分，10分）1、設A與B都是非空集合，那么ABxxA且xB。 （f ）2、設A、B、D都是非空集合，則AB到D的每個映射都叫作二元運算（f ）3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f1。 （t ）4、如果循環(huán)群Ga中生成元a的階是無限的，則G與整數(shù)加群同構。（t ）5、如果群G的子群H是循環(huán)群，那么G也是循環(huán)群。 （f）6、群G的子群H是不變子群的充要條件為gG,hH;g1HgH。（t ）7、如果環(huán)R的階2，那么R的單位元10。 （t ）8、若環(huán)R滿足左消去律，那么R必定沒有右零因子。 （t ）9、F(xp()0的多項式叫做元在域F上的極小多項式。（f）10、若域E的特征是無限大，那么E含有一個與Zp同構的子域，這里Z是整數(shù)環(huán)，p是由素數(shù)p生成的主理想。 （f ）二、單項選擇題（從下列各題四個備選答案中選出一個正確答案，并將其號碼寫在題干110分）1、設A1,A2,,An和D都是非空集合，而f是A1A2An到D的一個映射，那么（2 ）A1A2,An的次序不能調(diào)換；A1A2An中不同的元對應的象必不相同；④一個元1,a2,,an2、指出下列那些運算是二元運算（3）4ab①在整數(shù)集Z上，abab； ②在有理數(shù)集Q上，ab ；abab③在正實數(shù)集Rabalnb；④在集合nZn0abab。3、設是整數(shù)集Z上的二元運算，其中abx,即取a與b，那么在Z中（4）3①不適合交換律；②不適合結合律；③存在單位元；④每個元都有逆元。4、設G,為群，其中G是實數(shù)集，而乘法ababk，這里k為G中固定的常數(shù)。那么群G,中的單位元e和元x的逆元分別是（4）①0和x； ②1和0； ③k和x2k； ④k和(x2k)。5、設a,bc和x都是群G中的元素且x2abxc1acxxac，那么x（2）1bc1a1； c1a1； a1bc1； b1ca。6H是群GG有左陪集分類aH,bHcH，那么GG2

（3）44I的兩個元a和b不一定會有最大公因子d和d都是a和b的最大公因子，PAGE11①6； ②24； ③10； ④12。7、設f:G1G2是一個群同態(tài)映射，那么下列錯誤的命題是（2 ）4①f的同態(tài)核是G1的不變子群； ②G2的不變子群的逆象是G1的不變子群；③G1的子群的象是G2的子群； ④G1的不變子群的象是G2的不變子群。8fR1R2f(a)b，那么下列錯誤的結論為（4）3①若a是零元，則b是零元； ②若a是單位元，則b是單位元；③若a不是零因子，則b不是零因子；④若R2是不交換的，則R1不交換。9、下列正確的命題是（4）1①歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)； ②主理想環(huán)必是歐氏環(huán)；③唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)； ④唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)。10、若I是域F的有限擴域，E是I的有限擴域，那么（1 ）4①E:IE:II:F； ②F:EI:FE:I；③IFEFFI； ④EFEIIF。三、填空題（將正確的內(nèi)容填在各題干預備的橫線上，內(nèi)容填錯或未填者，該空無分。110）1、設集合A1,0,1；B1,2，則有BA 。2、如果f是A與A間的一一映射，a是A的一個元，則f1fa a 。3設集合A有一個分類其中Ai與Aj是A的兩個類如果AiAj那么AiAj 0 。4、設群G中元素a的階為m，如果ane，那么m與n存在整除關系為 。5、凱萊定理說：任一個子群都同一個 同構。6、給出一個5-循環(huán)置換(31425)，那么1 。7、若I是有單位元的環(huán)R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表達為x 。8、若R是一個有單位元的交換環(huán)，I是R的一個理想，那么RI是一個域當且僅當I是一個最大理想 。9、整環(huán)I的一個元p叫做一個素元，如果 平凡因子 。10、若域F的一個擴域E叫做F的一個代數(shù)擴域，如果 。四、改錯題（請在下列命題中你認為錯誤的地方劃線，并將正確的內(nèi)容寫在預備的橫線12315）1、如果一個集合A的代數(shù)運算同時適合消去律和分配律，那么在1a2an里，元的次序可以掉換。 結合律與交換律 2、有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合G作成一個群，如果滿足G對于乘法封閉；結合律成立、交換律成立。 消去律成立3、設I和S是環(huán)R的理想且ISR，如果I是R的最大理想，那么S0。 S=I或S=R 那么必有dd。 一定有最大公因子；d和d′只能差一個單位因子 5叫做域F的一個代數(shù)元，如果存在F的都不等于零的元a0a1,an使得

an0。n 不都等于零的元n）1、給出下列四個四元置換1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 41

,2

,3

,4 1 2 3 4

1 2 4 3

2

3 4

2

4 3組成的群G，試寫出G的乘法表，并且求出G的單位元及1,1,1,1和G的所有子群。1 2 3 42

)2、g(x)4x25x3f(xg(xf(xg(xf(x)g(x以及它們的次數(shù)。（1040）1、設a和b是一個群G的兩個元且abba，又設aam，bbn，并且(mn1，ababmn。2、設Ra,bRa0f(a,b)RRxaxb,xR，將R的所有這樣的變換構成一個集合Gf

(a,b)

3、設I1和I2為環(huán)R的兩個理想，試證I1I2和I1I2abaI1,bI2都是R的理想。4、設R1R中的非零元不是可逆元就是零因子。近世代數(shù)試卷參考解答一、判斷題12345678910××√√×√√√××二、單項選擇題12345678910②④③④①②④③①④三、填空題1、。 2、a。 、。 、mn。5、變換群。 6、13524。 7、xiayi,xi,yiR。8、一個最大理想。9、pq。。四、改錯題1、如果一個集合A的代數(shù)運算同時適合消去律和分配律，那么在1a2an里，元的次序可以掉換。結合律與交換律2、有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合G作成一個群，如果滿足G對于乘法封閉；結合律成立、交換律成立。消去律成立3、設I和S是環(huán)R的理想且ISR，如果I是R的最大理想，那么S0。S=IS=RPAGEPAGE12那么必有d=d′。一定有最大公因子；dd′只能差一個單位因子5叫做域F的一個代數(shù)元，如果存在F的都不等于零的元a0a1,an使得

an0。n不都等于零的元n測驗題一、填空題（42分）1、設集合M與M分別有代數(shù)運算與，且M~M，則當滿足結合律 時，也滿足結合律；當滿足交換律 時，也滿足交換律。2、對群中任意元素a,b,有(ab)1= ；3、設群G中元素a的階是n，n|m則am= e ；4、設a是任意一個循環(huán)群，若|a|，則a與 整數(shù)加群 同構；若|a|n，則a與 n次單位根群； 同構；、設G= a 為6 階循環(huán)群，則G 的生成元有 a,a5 ；；子群有 ；6、n次對稱群Sn的階是 n!; (1378)(24)的階是 4 ；1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 47、設2

，3 4 1

，則 7、1 3 2 4

；3 2 ；9、設H是有限群G的一個子群，則|G|= |H|:(G:H) ；10、任意一個群都同一個雙射）變換群； 同構。二、證明題（24）1.設G為n階有限群，證明：G中每個元素都滿足方程xne。1、已知G