《物理光學(xué)》期末復(fù)習試題及答案

物理光學(xué)作業(yè)參考答案

ZTC

[11-1]一個平面電磁波可以表示為￡\=0,￡\,=2cos[2乃x10目（二一。+—],￡=0,

c2

求：（1）該電磁波的頻率、波長、振幅和原點的初相位？（2）波的傳播方向和

電矢量的振動方向？（3）相應(yīng)的磁場B的表達式？

解：

（1）由平面電磁波的表達式知，該波的圓頻率為。=27X1（）14,速度v=c,

故：

止H缶32^-X1014，八14TT

頻率u=一=-------=10I4HZ

2萬2萬

8

r3xin,

波長2=—=----=3x106m=

v1014

振幅A=2V/m

初相位（p=—rad

2

（2）波沿z軸正方向傳播，電矢量沿y軸方向振動

PJ7A7

（3）由二=丫，知8=—=—=------=0.67x10^7（特斯拉=韋伯/米2）

BVc3x108

故，相應(yīng)的磁場B的表達式為：

B=-0.67x10-8cos[2^x1014（--/）+-],B=0,8一=0

xc2V

[11-2]在玻璃中傳播的一個線偏振光可以表示為

E=O,E.=0,￡=102coskl0l5（——―/）],試求：（1）光的頻率和波長；（2）

'0.65c

玻璃的折射率。

解：

（1）由平面電磁波的表達式知，該波的圓頻率為。=乃乂1。15,速度

V=0.65c,故光的：

頻率v=—=5X10I4/7Z

2%

油KJV0.65c0.65x3x1()8

彼長A=—=--=------------=0.39x10m=0.39utn

vv5xio14

（2）玻璃的折射率為:

C_C

=1.538571.54

V-0.65c

[11-3]平面電磁波的表示式為

6

E=（-2x0+26％）exp[i2ix10（V3x+y+6x10蹤）],

試求該平面波的偏振方向，傳播方向，傳播速度，振幅，波長和頻率。

解：

（1）振動面為x-y平面，偏振方向與x軸夾角：

_21

cosez=/.-=——，所以a=-60°

7（-2）2+（2V3）22

（2）傳播方向

,.?.,k=27rx106A/3”，，.

x6

波矢量大小：A，所以攵=4%xlO

6

ky=2^-xlO

kV3

cosa=—x=——

波矢量的方向余弦：k2

cos/=-=—

k2

（3）傳播速度

???g=12〃xIO14

V=—=3xl08m/5

k

(4)振幅

A=J(-2產(chǎn)+(2揚2=./中

(5)波長

A==——~~-=0.5x106tn=0.5um

k4乃X1()6L

(6)頻率

co12%xI。/

V=——=---------------=6xl()H也

2乃2萬

[11-4]在與一平行光束垂直的方向上插入一透明薄片，薄片厚度h=0.01mm,折

射率n=1.5,若光波的波長為X=500nm,試計算透明薄片插入前后所引起的光程

和相位的變化。

解：

插入透明薄片后所引起的光程變化為：

A=（7i-l）/z=（1.5-1）x0.01=0.005mm

插入透明薄片后所引起的相位變化為:

24

x0.005mm=227r(rad)

A500x10-6mm

[11-6]寫出平面波E=100exp{i[(2x+3y+4z)-16xl0力}的傳播方向上的單位

矢量kQ。

解：由題條件，知波矢工=(2,3,4),故其單位矢量：

k(2,3,4)2_3_4_

r°一司一而一用"°+用為+百°

[11-11]電矢量振動方向與入射面成45°角的一束線偏振光入射到兩種介質(zhì)的界

面上，兩介質(zhì)的折射率分別為nl=1.0和n2=1.5。(1)若入射角〃=50°，問反射光

電矢量的方位角(與入射面所成的角)是多少?(2)若入射角4=60°,反射光的方

位角又為多少？

解：(1)4=50°,由折射定律

.-/々Sina]._/sin50。1二皿，

&n=sin------L=sin------=3042

In2)I1.5)

因此：

.=—sin(.二4)=_0335

sin?+%)

，/g?一%)

=0.057

pfg?+%)

入射光中電矢量振動方向與入射面成45°角，故在入射光中電矢量垂直于入射

面分量的振幅As等于平行于入射面分量的振幅Apo但在反射光中，由

于,所以反射光中兩個分量的振幅As，和Ap，并不相等。它們的數(shù)值分別

是：

A；=GA=-0.335A

Ap=rpAp=0.057Ap

A=Ap

因此，合振幅與入射面的夾角a由下式?jīng)Q定：

0.335

=—5.877

40.057

a=—80020'

(2)若入射角4=60°

_/sin。]、sin60°

0=sinsin=35°14'

21.5

n27

1=-0.421

rp=-0.042

此時，反射光的方位角：

A—0.4211nno/I

tga=—r=---------=10.024

Ap-0.042

a=84。18'

［11-12］光束入射到平行平面玻璃板上，如果在上表面反射時發(fā)生全偏振，試證明

折射光在下表面反射時亦發(fā)生全偏振。

證明：

如上圖所示，由題意知，光束入射到平行平面玻璃板在上表面反射時發(fā)生

全偏振，則：仇+%=］，即此時入射角用是布儒斯特角。

因為因02,a2=Oi,所以：/+%=］，因此折射光在下表面反射時入

射角a,也是布儒斯特角，故折射光在下表面反射時亦發(fā)生全偏振。

［11-13］光束垂直入射到45°直角棱鏡的一個側(cè)面，并經(jīng)斜面反射后由第二個側(cè)面

射出（見圖），若入射光強為/。，求從棱鏡透過的出射光強/?設(shè)棱鏡的折射率為

1.52,且不考慮棱鏡的吸收。

入射光在斜面上發(fā)生全反射，在兩端面上的透射比均為：

4〃=4〃心=4x1x1.52

(〃+1尸(勺+%)2(1+1.52)2

所以，從棱鏡透過的出射光強/：

2

I=IOTT=0.9574/()=0.9166/0?0.9270

[11-14]一個光學(xué)系統(tǒng)由兩片分離透鏡組成，兩透鏡的折射率分別為1.5和1.7,

求此系統(tǒng)的反射光能損失。如透鏡表面鍍上增透膜，使表面反射比降為0.01,問

此系統(tǒng)的光能損失又為多少?設(shè)光束以接近正入射通過各反射面。

解：

(1)此光學(xué)系統(tǒng)包括四個反射面，假設(shè)光束是接近正入射情形下通過各個反

射面，因而各面的反射比分別為：

如果入射到系統(tǒng)的光能為皿，則相繼通過各面的光能為:

叱=(1—8)W=(1—0.040)W=0.960W

%=0-￡)叱=(0.960)2w=o922W

明=(1-P3)%=0.933x0.922IV=0.860W

%=(1-0雙=0.933x0.860W=0.802W

w-ww-0.802w

4=0.198。20%

故光能損失為:Ww

⑵若各面的反射比均降為0=0=0=04=0。，那么

44

u；=(1-A)w=(1-0.01)W=0.960W

2^=_^^=O.O4=4%

故光能損失為：卬卬

[11-15]下圖所示為某三片分離型照相物鏡的光學(xué)系統(tǒng)示意圖，其各片透鏡的折

射率分別為勺=1.6140、n2=1.6745、=1.6140。求此系統(tǒng)的反射光能損失(以

百分比表示，其小數(shù)位保留兩位)。

解:該系統(tǒng)由6個反射面組成，各面的反射比(率)為:

Pi=夕，=|--------=0.0552==26

12(1.6140+U56

4分

p.6745-1Y

2311.6745+J=0.0636

設(shè)入射光能為%,則經(jīng)該系統(tǒng)后出射光能為:

w

w=(1-尸(1-a>o=0.6986w04分

所以，此系統(tǒng)的反射光能損失是：

“廣嗎=]_0.6986=0.3014=30.14%,2分

%

[11-24]利用波的復(fù)數(shù)表達式求兩個波E二^^^^也了+勿丹和馬二-^^^^也了一0)的

合成波。

解：

兩個波的復(fù)數(shù)表達式分別為：

巴=aeKkx+M)

M

E2=_ae

則兩個波的合成波為：

E=耳+當=aei{kx+M)-aei(kx'M)

^aeikx(eiM-e-iM)

=2azsincote'kx

所以，合成波的實數(shù)形式為：

E=一勿sinLxsin0f

[11-37]氟同位素Kf放電管發(fā)出的波長2=605.7〃機的紅光是單色性很好的光

波，其波列長度約為700mm,試求該光波的波長寬度和頻率寬度。

解：

已知2L=700mm,幾=605.7〃加，則

團勺72

光波的波長寬度△%=—=---:~-=5.2x104

2L700xlO6

光波的頻率寬度：

A/lc-A23x10'x5.2xl()Txio-

-----y—----------=---------------------------------------=4.3X108/7Z

222(605.7xlO-9)2

或

1C3xIO?

Av=4.3x10sHz

△t2L700x103

物理光學(xué)作業(yè)參考答案

[12-1]雙縫間距為1mm,離觀察屏1m,用鈉光燈做光源，它發(fā)出兩種波長的單

色光4=589.0〃加和4=589.6〃加，問兩種單色光的第10級亮條紋之間的間距是

多少？

解：

楊氏雙縫干涉場中亮條紋的位置由確定：x=—m

d

因此，兩種單色光的第10級亮條紋之間的間距：

A2￡>(X,—4)。(589.6-589.0)xlx103,八,

--------m=-----!——m=----------------------------x10=6x10mm

dd1

[12-2]在楊氏實驗中，兩小孔距離為1mm,觀察屏離小孔的距離為50cm,當用

一片折射率為1.58的透明薄片貼住其中一個小孔時（見圖），發(fā)現(xiàn)屏上的條紋系統(tǒng)

移動了0.5cm,試決定試件厚度。

解：

已知條紋系統(tǒng)移動量為Ar=5mm

未貼薄片時，對應(yīng)第m級亮紋處兩相干光間的光程差：

40（X）=5='X=/"X-----（1）

貼薄片后，對應(yīng)第m級亮紋處兩相干光間的光程差：

△=（〃-1）〃+△（）（尤+Ax）=m2

a*、1

即：A=（n-l）A+萬(zx+Zkr)=mA-----

由式（2）-（1）,得:

,d

h=------------Ax=-------------x5=-1.7

(1.58-1)x500

式中負號表示條紋移動的方向。因此試件厚度為1.72x10°/加

[12-3]一個長30mm的充以空氣的氣室置于楊氏裝置中的一個小孔前，在觀察屏

上觀察到穩(wěn)定的干涉條紋系。繼后抽去氣室中的空氣，注入某種氣體，發(fā)現(xiàn)條紋

系移動了25個條紋，已知照明光波波長；1=656.28〃加，空氣折射率

?0=1.000276o試求注入氣室中氣體的折射率。

解：

設(shè)氣室長度為h,當充以空氣時，第m級條紋對應(yīng)的光程差：

△()=mA---------(1)

注入某種氣體后，條紋系移動后對應(yīng)的光程差：

△=(〃一+金=(加+25)4----------(2)

由式(2)-(1),得注入氣室中氣體的折射率:

25/125x656.28x10

〃=+---1.000276+=1.000823

h30

[12-4]垂直入射的平面波通過折射率為n的玻璃板，透射光經(jīng)透鏡會聚到焦點

上。玻璃板的厚度沿著C點且垂直于圖面(見圖)的直線發(fā)生光波波長量級的突變

d,問d為多少時，焦點光強是玻璃板無突變時光強的一半。

解：

可將此問題等效為等光強雙光束的干涉問題，當有突變時，C點兩側(cè)光束間的光

程差為:

A=(n-V)d

焦點光強為：

222

1-4/0cos：=4/0cos(-7-A)=4/()cos

根據(jù)題意，有方程：

/=4/°cos2K(〃-1)0=2/。

/L

一(〃一l)d=(jn+—)71

24

,2/1

d=----：(機+:)

n-\4

其中，m=0,1,2,

[12-6]若光波的波長為/I,波長寬度為A2,相應(yīng)的頻率和頻率寬度記為v和Au,

證明：—=|-^|?對于4=632.8〃/〃的氮嵐激光，波長寬度△2=2x10-8〃/〃，求

頻率寬度和相干長度。

證明：

(1)因為4=VT=E,其中V是光波的速度，為常數(shù)。所以：Av=V,對

此式微分，有：

/lAv+vA/l=0

所以：

AvAA

v

(2)對于4=6328〃加的氫頰激光,波長寬度△2=2x10-8〃,“，則:

頻率寬度：

A2AA_2xl0-8xl0~9

Av=——v=與Cx3xlO8=1.5X104HZ

A2-(632.8xl0-9)2

相干長度:

矛(632.8x10-9)2

?2x104/M

豆-2x10-8*io"

[12-8]在等傾干涉實驗中，若照明光波的波長4=600%?,平板的厚度h=2mm,

折射率n=1.5,其下表面涂上某種高折射率介質(zhì)(n“>L5),問(1)在反射光方向觀察

到的圓條紋中心是暗還是亮?(2)由中心向外計算，第10個亮紋的半徑是多少?(觀

察望遠鏡物鏡的焦距為20cm)(3)第10個亮環(huán)處的條紋間距是多少？

解：

本題考察的干涉條紋為平行平板產(chǎn)生的等傾圓條紋，兩相干光束間的光程差

為：(由題意知無附加程差)

A—2rlhcosu

1)對于圓條紋系的中心窗對應(yīng)的干涉級：

9=2也=空@q=]04(為整數(shù))

“XX600x10-6

故中心為亮點，且q=0

2)由中心向外第10個亮紋的干涉序數(shù)N=ll,因此第10個亮紋的角半徑為：

a。=7住JN—1+q=；J；：；/"-"。=6,7x102md

第10個亮紋的半徑為：

r=.=200x6.7x1013.4mm

3）第10個亮紋處條紋角間距

nA_n2

\0=

2

2n01h2噩。

第10個亮紋處條紋間距為:

…八…1.5x600xlO”…

△Ae=/?A。=200x---------------；----=0.67mm

2x6.7x10-2x2

［12-9］用氫筑激光照明邁克耳遜干涉儀，通過望遠鏡看到視場內(nèi)有20個暗環(huán)，

且中心是暗斑。然后移動反射鏡Mi,看到環(huán)條紋收縮，并且一一在中心消失了

20環(huán)，此時視場內(nèi)只有10個暗環(huán)，試求（l）Mi移動前中心暗斑的干涉級次（設(shè)干

涉儀分光板Gt不鍍膜）；（2）Mi移動后第5個暗環(huán)的角半徑。

解：

1）由題意知邁克爾遜干涉儀中兩相干光間的光程差為：A=2/zcose+g

動鏡Mi未移動時，視場中心為暗點，且有20個暗環(huán)，因此視場中心：2

即：一

2h=m1A（］）

視場邊緣處：

21

2/zcos^+—=（町-20+—）2

即：一一

2/zcos6=（町一20）4（2）

動鏡Mi移動后，暗環(huán)向中心收縮20個，中心仍為暗點，但視場中僅有10個暗

環(huán)，因此視場中心：

2h+--（加+—）/1

22

1h=m}A------------(3)

視場邊緣處：

2I

2〃cos6+]=(/〃；-10+—)2

即：2〃'cos。=(/〃；-10)2(4)

由方程(1)?(4)得到：

m.m,-20

-4^—,___________(5)

mtm]-10

另外由題意知：

mx=叫一20(6)

由方程（5）?（6）解得：仍=40

因此動鏡移動前中心暗斑的干涉級次為：

m（）=^+—=40.5

2）Mi移動后，第5個暗環(huán)的角半徑為：

1=0.707rad

所以:仇

[12-10]在等傾干涉實驗中，若平板的厚度和折射率分別是h=3mm和n=L5,望

遠鏡的視場角為6。，光波長4=450〃加，問通過望遠鏡能看到幾個亮紋？

解：

等傾干涉場中心點處干涉級為：

f,

2nh12xl.5x3xl04

~T+2~450+-=2X10+0.5

2

所以自干涉場中心向外第1個亮環(huán)的干涉級是:

加?=2xl04=20000

視場邊緣處干涉級滿足：

+—=mA

22

且sing=nsin^2

所以，

=2OOOoJl-(-^sin30)2+0.5

=19987.8+0.5

=19988.3

因此視場邊緣處亮環(huán)的干涉級是

mN=19989

所以，通過望遠鏡能看到的亮紋數(shù)為：

\N=m,-mN+\=20000-19989+1=12

[12-13]試根據(jù)干涉條紋清晰度的條件（對應(yīng)于光源中心點和邊緣點，觀察點的光

程差之差必必須小于4/4),證明在楔板表面觀察等厚條紋時，光源的許可角度

為(圖中兩虛線之夾角)：

e」叵

pnVh

其中，h是觀察點處楔板厚度，n和n'是板內(nèi)外折射率。

證明：

光源中心點發(fā)出的光經(jīng)透鏡L準直后照射楔板，到達干涉場中考查點P

時兩相干光間的光程差為：

△o=2nh+-

光源邊緣點S'發(fā)出的光經(jīng)透鏡L準直后照射楔板，到達干涉場中考查點

P時兩相干光間的光程差為：

A=247cos%+—

式中。2是光源邊緣點S'發(fā)出的光經(jīng)透鏡Li后在楔板表面上入射角寸相應(yīng)的折

射角。根據(jù)干涉條紋清晰度的條件:

△。-△弓

有：

2

2〃力(1-cosa)—

即：

2/i/z-2sin2—<—

24

Q

由于角度較小，取近似sin”。，又據(jù)折射定律：〃'彳=〃仇,所以,

2nh-=nh0；=nh-(—3V<-

22np4

nA

故有:0—

nh

[12-15]假設(shè)照明邁克耳遜干涉儀的光源發(fā)出波長為兒和友的兩個單色光波,

A2=/L,+A2,且這樣，當平面鏡Ml移動時，干涉條紋呈周期性地消

失和再現(xiàn)，從而使條紋可見度作周期性變化，（1）試求條紋可見度隨光程差的變

化規(guī)律；（2）相繼兩次條紋消失時，平面鏡Mi移動的距離△〃；（3）對于鈉燈，設(shè)4=

589.0nm和42=589.6nm均為單色光，求A/z值。

解：

1）設(shè)邁克爾遜干涉儀的分光板Gi鍍膜，因此兩相干光間的光程差為：

△=2/zcos8

視場中某點處（6角）兩單色光的強度分別為:

27r

Z1=2Z0[l+cos（—A）]

4

24

/2=2Z0[l+cos（—A）]

因此，考察點處總的光強度為：

必).cos(必)]

/=/,+/2=4/0[1+cos4+4

44

A/1=丸，一4,4九2=分,％=-12—j

Z=4Z0[l+cosA)-cos(yA)]

所以，有：

IM=4/0[l+cosA)]

jAjrjA、1

I”,cos號-△)]

根據(jù)定義，條紋可見度為:

2）條紋消失，即K=0也即:

-^A=(2m+1)-

對于視場中心附近：A=2〃

AAc7小1

——2/z—(2一+1)—

對此式等號兩邊微分，令A(yù)m=l得:

44

A/z

2AA2A2

3)對于鈉燈，4=589.0nm和％2=589.6nm,所以:

589.0x589.6

=0.289x106nm=0.289iron

2x(589.6-589.0)

[12-16]圖是用泰曼干涉儀測量氣體折射率的示意圖，其中Di和D2是兩個長度

為10cm的真空氣室，端面分別與光束I和H垂直。在觀察到單色光照明(入

=589.3nm)產(chǎn)生的干涉條紋后，緩慢向氣室D2充氧氣，最后發(fā)現(xiàn)條紋移動了92

個，(1)計算氧氣的折射率；(2)若測量條紋精度為1/10條紋，求折射率的測量

精度。

解：(1)

向氣室D2充氧氣后，條紋移動了92個，說明兩束光間的光程差變化了92/1。

而光程差的變化等于2(n-l)L,n是氧氣的折射率，L是氣室的長度，因子2是考

慮到光線兩次通過氣室的結(jié)果。因此：

必=2(〃—1)L=Am-A=92A

589.3x10-9

所以:〃=1+\m——=1+92x=1.000271

2L2x10x10-2

(2)如果條紋變化的測量誤差為&V,顯然有:

2L-An=A2V-A.

所以折射率的測量精度為：

589.3x10-9

—\Nx—=2.9xl0-7

2L2x10x10210

[12-18]將一個波長稍小于600nm的光波與一個波長為600nm的光波在F—P干

涉儀上比較，當F—P干涉儀兩鏡面間距改變1.5mm時，兩光波的條紋就重合一

次，試求未知光波的波長。

解:

考察F-P干涉儀干涉場中心附近某處，對應(yīng)于兩個波長的干涉級差為：

Am=g-恤=("+馬-律+4=網(wǎng)上A1

/Lj71A-f71A|

當=1時條紋重合，此時有：

2〃(灰_4)=]_______⑴

當Am=2時條紋又重合一次，此時有：

2(〃+△/?)(4—4)0”、

4丸2

由方程(2)-(1),得：

A2224%矛(600)2

Az=/t-A,=-----=-----?-----------=0A2nm

9-2-AA2-AA2xl.5xl06

所以，未知光波的波長：

4=A2-A2=600-0.12=599.88/?m

或,

.2劭(4-4)2Sh,

d(A/7?)=-----=----=AA/1

44矛

1222

"礪久△磯。"2=前

[12-19]F—P標準具的間隔為2.5mm,問對于波長500nm的光，條紋系中心的干

涉級是多少?如果照明光波包含波長500nm和稍小于500nm的兩種光波，它們的

環(huán)條紋距離為1/100條紋間距，問未知光波的波長是多少？

解：

(1)條紋系中心的干涉級是：

2h2x2.5xl067

=—=----------=10

°2500

(2)兩種光波的波長差：

△eI215002

-4

-------------------------X-----------------=----5---x---l-0nm

e2h1002x2.5xl06

所以，未知光波的波長是:

4=4—△4=500—0.0005=499.9995nm

[12-20]F—P標準具兩鏡面的間隔為0.25mm,它產(chǎn)生的4譜線的干涉環(huán)系中的

第2環(huán)和第5環(huán)的半徑分別是2mm和3.8mm,乙譜系的干涉環(huán)系中第2環(huán)和第

5環(huán)的半徑分別是2.1mm和3.85mm。兩譜線的平均波長為500nm,求兩譜線波

長差。

解：

F-P標準具中相鄰光束間的位相差為：3=』2/zcos6+20

2

因此，相鄰光束間的光程差為：A=2/icos8+t/l

71

設(shè)對于4譜線的干涉環(huán)系中心的干涉級為mO,則有:

2/z+幺4=/4=（叫+%）4

(1)

71

自中心向外第N個亮環(huán)滿足方程：

2/zCOS'Y+—4—（班—N+1）4⑵

'7T

由以上兩式⑴-（2）得：

印=g（N-1+/）

h

由題設(shè)條件知第5環(huán)與第2環(huán)亮紋的半徑平方之比：

-J"、）？5-1+-4+劣

]一（網(wǎng)2—2-1+0.1+1

4,”片4x22-3.82

所以,?為一廠”］一3U-22一°」49

同理,可求出相應(yīng)于4譜線干涉環(huán)系中心干涉級的小數(shù)部分:

華M=4X2.1：-3.85；O27

2片—石23.85?-2.F

再考察視場中心，兩波長環(huán)系中心干涉級分別滿足：

2/z+—4=（//Z1+劣）4■(3)

71

2/zH—4—(叫+%)4----(4)

由方程(3)和(4),得:

%-“("+幺)-("+幺)=2叱-32悟

212

4兀4%442

所以，兩譜線波長差:

A2=—(^-(/.)=―~-(0.27-0.149)

2h2'2xO.25xlO6

=6xl0~2nm-0.06zim

[12-22]在玻璃基片上（%=L52）涂鍍硫化鋅薄膜（〃=2.38）,入射光波長為

A=500nm,求正入射時給出最大反射比和最小反射比的膜厚及相應(yīng)的反射比。

解：

（1）由題設(shè)條件知題中涉及的是單層增反膜，當其光學(xué)厚度nh滿足下面條

件時可獲得最大反射比：

,2

nn=—

4

即當膜厚：力」=500=52.52一時，

4〃4x2.38

2.38?丫

給出最大反射比:1.52=0.3328233%

2.38

1.52

（2）而當光學(xué)厚度：

,2

nn=—

2

即當膜厚：/I=2=IO5〃加時,

2n

給出最小反射比:

[12-23]在玻璃基片上鍍兩層光學(xué)厚度為4/4的介質(zhì)薄膜，如果第一層的折射率

為1.35,問為達到在正入射下膜系對％全增透的目的，第二層薄膜的折射率應(yīng)

為多少?（玻璃基片折射率〃G=L6）

解：雙層膜全增透的條件為:

=n,=1.35xj—=1.7076?1.7

'Vovi.o

物理光學(xué)作業(yè)參考答案

[13-2]波長;I=500〃〃?的單色光垂直入射到邊長3cm的方孔，在光軸(它通過孔中心并垂

直孔平面)附近離孔z處觀察衍射，試求出夫瑯和費衍射區(qū)的大致范圍。

解：夫瑯和費衍射條件為：

2z

262

即：z>>(^^1)max=(15xl0)H15xl0^)^09xl0%m=90()ffl

2500

[13-4]平行光斜入射到單縫上，證明：(1)單縫夫瑯和費衍射強度公式為

(、2

兀a

sin[——(sin-sinz)]

i~---------------

mi

y(sin^-sinz)

式中，/。是中央亮紋中心強度；。是縫寬；。是衍射角，，是入射角(見圖)。

證明：(1)建立如圖所示坐標系，則入射光的波矢：v

-xjAAI

k-Zr(sini,0,cosz)

一

縫上任意點Q的位矢：>=(5，加0)

單逢上光場的復(fù)振幅為：

E(x^=Ae^=Aeiksini'x'

X?八、

因此，觀察面上的夫瑯和費衍射場為：(其中：一asin夕)

4

~1陽Zi+壬),％~-ik^-Xi(=Ae""+2zJj%sinsin

5工)=工月3王”&0xx

iAz{J-%

7777

2A"(z+上)sin[7(sin。一sini)]

_AJJ+2Z]r%”永(sinO-siniMaY=_

一gJ-%1-;

4(sinsinz)

所以，觀察面上的光強分布為：

sin產(chǎn)(sin。-sin，)]

>1__________________}2

1=瓦x)E(x)*=zo{-

；(sin。-sini)

A)2

式中：/0=(—a)

（2）第一暗點位置:

子（sin。-sini）=兀

2

，sin。-sini=

7

???2c°s”sin0-i_A

22a

A

A。=0—i=

acosi

[13-5]在不透明細絲的夫瑯和費衍射圖樣中，測得喑條紋的間距為1.5mm,所用透鏡的焦距

為30mm,光波波長為632.8nm。問細絲直徑是多少？

解：

根據(jù)互補屏衍射原理，不透明細絲的夫瑯和費衍射圖樣與相同寬度單縫的夫瑯和費衍

射圖樣除中心點之外是相同的,而衍射圖樣中暗條紋的間距等于中央亮紋寬度的一半，因此,

有：

2

\x=\6-f=-f

a

2r632.8x106?IC-2ncii

a--f-------------------x30=1.2656x10mm?0.013/72/?/

限1.5

即細絲直徑是0.013mm.

[13-7]導(dǎo)出外徑和內(nèi)徑分別為a和b的圓環(huán)（見圖）的夫瑯和費衍射強度公式,并求出當b=a/2

時，（1）圓環(huán)衍射與半徑為a的圓孔衍射圖樣的中心強度之比；（2）圓環(huán)衍射圖樣第一個暗

環(huán)的角半徑。（注：4=3.144）

解：半徑為a的圓孔在衍射場P點產(chǎn)生的振幅為:

2"版。）_22Jx{ka6}

匕八—七c=ca

kaOkaO

其中C為比例系數(shù)，因為場中心振幅心正比于圓孔的面積加2。圓孔中的圓屏使P點的振

幅減小:

24（kb。）

Eb=cb2

kbO

因此，圓環(huán)在P點產(chǎn)生的振幅為:

a1（kaff）/4（加6）

Eh=E“-Eb=2c[

ka6kbO-

圓環(huán)在P點產(chǎn)生的強度為:

2

_2a2b2，億|)J1億2)

4=E：=4c2-+b44?)

Z\z?

z2

式中，4=&z，,Z2=幼夕。對于衍射場中心，Z,=Z2=0,相應(yīng)的強度為:

卜4212A

區(qū))。=4c2已+.-除卜面十)2

當b=a/2時,

(1)(4)0=°2/一=看2/

所以，圓環(huán)衍射與半徑為a的圓孔衍射圖樣的中心強度之比:

924

(U1TL2

(/")。c2a&16

(2)圓環(huán)衍射強度的第一個零值滿足：

a1J[ka0^b?J《kb。)

-----x------------------=0

kaOkbO

即aJ}(如6)=bJ](人心。)=?，(；ka6)

利用貝塞耳函數(shù)表解上方程，得到：

Z,=h。=3.144

因此，圓環(huán)衍射強度的第一個零點的角半徑為：

6>=3.144—=0.51-

2mxa

[13-8]不透明屏幕上有一孔徑2,用一個向P點會聚的球面波照明，P點位于孔徑后面與孔

徑相距z的平行平面上，如圖所示。

(1)求出孔徑平面上入射球面波的傍軸近似，設(shè)P點分別位于Z軸上和軸外(0,yl)點兩

種情形。

(2)假設(shè)孔徑面到觀察面之間為菲涅耳衍射區(qū)，證明在上述兩種情形下，觀察到的強度

分布是孔徑Z的夫瑯和費衍射，且分布中心在P點。

解：

(1)孔徑Z平面上任意考察點(O,yO,z)處光場的復(fù)振幅分布為:

E(y)=--ikr^-e-ikr