2022高考數(shù)學(xué)真題分類匯編08 概率與統(tǒng)計（學(xué)生版）

2022高考數(shù)學(xué)真題分類匯編

八、概率統(tǒng)計

一、單選題

1.（2022?全國甲（文T2）（理T2））某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，

隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座

前和講座后問卷答題的正確率如下圖：

100%

95%..........................................

90%?……?........................?

洲85%...................*....................

浸80%..........................?...........*講座前

田75%..........................................?講座后

70%..........................*-……

65%■一…*...............

60%1'...............*■.............

0-------1-------1-----1-------L

12345678910

居民編號

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

2.（2022?全國甲（文）T6）從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2

張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）

1122

A.-B.—C.—D.—

5353

3.（2022?全國乙（文）T）4,分別統(tǒng)計了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運動時長（單位：h）,得如

下莖葉圖:

85306.

75327.46

64218.12256666

0238

則下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.甲同學(xué)周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為7.4

B.乙同學(xué)周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)大于8

C.甲同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.4

D.乙同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.6

4.（2022?全國乙（理）T10）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立.已知該棋

手與甲、乙、丙比賽獲勝概率分別為且P3>〃2>P|>。.記該棋手連勝兩盤的概率為P，則

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

5.（2022?新高考I卷T5）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（）

1112

A.-B.-C.-D.一

6323

6.（2022?新高考II卷T5）有甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的

不同排列方式有多少種（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

7.（2022,北京卷T）8.若（2x-l）4=04%4+。3》+/，則/+。2+。4=（）

C.-40D.-41

二、填空題

1.（2022?全國甲（理）T15）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為.

2.（2022?全國乙（文T14乂理T13））從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選

的概率為.

3.（2022?新高考II卷T13）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（2,b2）,且P（2<XW2.5）=0.36,則

P（X>2.5）=.

4.（2022?浙江卷T12）已知多項式（X+2）（X-1）4=/+。/+。2%2+。3%3+。434+。5/，則。2=

,4+。2+。3+。4+。5=.

5.（2022?新高考I卷T13）[-j卜X+y）8的展開式中/y6的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

6.（2022?浙江卷T15）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機抽取3

張，記所抽取卡片上數(shù)字最小值為則P?=2）=,E?=.

三、解答題

1.（2022?全國甲（文）T）（2022?全國甲（文）T17）甲、乙兩城之間的長途客車均由4和B兩家公司運營,

為了解這兩家公司長途客車的運行情況，隨機調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點班次數(shù)未準(zhǔn)點班次數(shù)

A24020

B21030

（1）根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點的概率；

（2）能否有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點與客車所屬公司有關(guān)？

n(ad-bc)2

附:

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

2.（2022?全國甲（理）T19）甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，

負方得。分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝

的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.

（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

3.（2022?全國乙（文T19）（理T19）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，己將荒山改造成了綠水青山.為估計一林

區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：n?）和材積量（單

位：n?），得到如下數(shù)據(jù)：

總

樣本號i12345678910

和

根部橫截面積

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

玉

材積量必0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計算得=0038,Z/=1.6158,Z玉X=0.2474.

i=]i=]i=l

（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.B

知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.

a

附：相關(guān)系數(shù)

4.（2022?新高考I卷T20）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為

良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾

病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

（1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，4表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾

病FP（8|TA）與P雅（B|VA）的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)'記該指標(biāo)為R

P(A|B)P(A\B)

(i)證明:P(A\B)'P(A\B)

（ii）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出尸（4|3）,24|耳）的估計值，并利用（i）的結(jié)果給出/?的估計值.

附K?=Md

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

5.（2022?新高考II卷T19）在某地區(qū)進行流行病調(diào)查，隨機調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，得到如下

的樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.

（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）估計該地區(qū)一人患這種疾病年齡在區(qū)間［20,70）的概率；

（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%,

從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間［40,5（））,求此人患該種疾病的概率.（樣本數(shù)據(jù)中的患者年齡位

于各區(qū)間的頻率作為患者年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）

6.（2022?北京卷T18）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達到9.50m以上

（含9.50m）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎.為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽

成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：

甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,935,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立.

（1）估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；

（2）設(shè)X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學(xué)期望E（X）；

（3）在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）

參考答案

一、單選題

1.【答案】B

【解析】

【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項判斷即可得解.

【詳解】講座前中位數(shù)為四為土型>70%,所以A錯；

2

講座后問卷答題的正確率只有一個是80%,4個85%,剩下全部大于等于90%,所以講座后問卷答題的正確

率的平均數(shù)大于85%,所以B對；

講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，所

以C錯；

講座后問卷答題的正確率的極差為1（X）%—8（）%=20%,

講座前問卷答題正確率的極差為|F所以D錯.

故選:B

2.【答案】C

【解析】

【分析】先列舉出所有情況，再從中挑出數(shù)字之積是4的倍數(shù)的情況，由古典概型求概率即可.

【詳解】從6張卡片中無放回抽取2張，共有

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6）15種情

況,

6種情況，故概率為2=|

其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有因

故選：C.

3.【答案】C

【解析】

【分析】結(jié)合莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)、古典概型等知識確定正確答案.

【詳解】對于A選項，甲同學(xué)周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為二——--7.4,A選項結(jié)論正確.

2

對于B選項，乙同學(xué)課外體育運動時長的樣本平均數(shù)為：

6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.1

------------------------------------------------------------------------=8.50625>8

16

B選項結(jié)論正確.

對于C選項，甲同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值問，

C選項結(jié)論錯誤.

13

對于D選項，乙同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值一=0.8125>0.6,

16

D選項結(jié)論正確.

故選：C

4.【答案】D

【解析】

【分析】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤.分別求得該棋手在第二盤與甲比賽且連勝兩盤的概率〃甲；該

棋手在第二盤與乙比賽且連勝兩盤的概率p乙；該棋手在第二盤與丙比賽且連勝兩盤的概率P丙.并對三者進

行比較即可解決

【詳解】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，

記該棋手在第二盤與甲比賽，且連勝兩盤的概率為，甲

則P甲=2（1—“2）PlP3+2P2Pl（1一。3）=2〃|（P2+“3）一4〃|p2P3

記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為P乙

則P乙=2（1-P|）p2P3+2Plp2（1-。3）=2。2（P|+2）-4Plp2P3

記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為P丙

則|岡一

則國」

國——

即網(wǎng)>P乙<P丙，

則該棋手在第二盤與丙比賽，。最大.選項D判斷正確；選項BC判斷錯誤;

。與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項A判斷錯誤.

故選：D

5.【答案】D

【解析】

【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.

【詳解】從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有|因|種不同的取法,

若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7種,

21-72

故所求概率P=——-=

213

故選：D.

6.【答案】B

【解析】

【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解

【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列，有3!種排列方

式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；

注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：3!x2x2=24種不同的排列方

式，

故選：B

7.【答案】B

【解析】

【分析】利用賦值法可求|岡|的值.

【詳解】令x=l,則%+%+。2+4+4=1，

令》=-1,則叵］,

M1+81，，

故/%+%=―-=41,

故選：B.

二、填空題

1.【答案】—.

35

【解析】

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出.

【詳解】從正方體的8個頂點中任取4個，有|國按結(jié)果,這4個點在同一個平面的有

IFI個,故所求概率囚

故答案為：—.

3

2.【答案】二或0.3

10

【解析】

【分析】根據(jù)古典概型計算即可

【詳解】從5名同學(xué)中隨機選3名的方法數(shù)為C；=1()

3

甲、乙都入選的方法數(shù)為C；=3,所以甲、乙都入選的概率P=一

10

3

故答案為：—

7

3.【答案】0.14##—.

50

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可解出.

【詳解】因為國所以尸(X<2)=尸(X>2)=0.5,因此

P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<XK2.5)=0.5-0.36=0.14.

故答案為：0.14.

4.【答案】①.8②.-2

【解析】

【分析】第一空利用二項式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令x=0求出國再令尤1即可得出答

案.

［詳解］含V的項為：舊故|岡卜

令x=0,即［岡

令x=1,即0=%+q+a,+%+4+%，

4+a,+%+%+=—21

故答案為：8；-2.

5.【答案】-28

【解析】

【分析】(x+y)8可化為(x+y)8_)(x+y)8結(jié)合二項式展開式的通項公式求解.

【詳解】因為一號卜+

114=（》+'）8一沁+才,

所以）尤+y不的展開式中含Vy6的項為C；x2y6—￡c；x3y5=_28x2y6,

X

11—：卜》+y）8的展開式中x2/的系數(shù)為-28

故答案為：-28

6.【答案】①?H，②.岡|

【解析】

【分析】利用古典概型概率公式求|岡由條件求4分布列，再由期望公式求其期望.

【詳解】從寫有數(shù)字122,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有國種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小

值為2的取法有|國百種,所以P?=2）=U+心"=,

由已知可得自的取值有1,2,3,4,

同，區(qū)

r2311

,P（J=3）=T=—，PU=4）=—=一

、7035、7C；35

所以因

故答案為：—,—.

357

三、解答題

Bi

1.【答案】（1）48兩家公司長途客車準(zhǔn)點的概率分別為

（2）有

【解析】

【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果;

（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)及公式計算K?，再利用臨界值表比較即可得結(jié)論.

【小問1詳解】

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，A共有班次260次，準(zhǔn)點班次有240次，

設(shè)A家公司長途客車準(zhǔn)點事件為M,

則岡;

8共有班次240次，準(zhǔn)點班次有210次，

設(shè)8家公司長途客車準(zhǔn)點事件為N,

則岡

A家公司長途客車準(zhǔn)點的概率為%

7

B家公司長途客車準(zhǔn)點的概率為了.

o

【小問2詳解】

列聯(lián)表

準(zhǔn)點班次數(shù)未準(zhǔn)點班次數(shù)合計

A24020260

B21030240

合計45050500

心_n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a

根據(jù)臨界值表可知，有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點與客車所屬公司有關(guān).

2.【答案】（1）0.6；

（2）分布列見解析，E（X）=13.

【解析】

【分析】（1）設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為A5,C,再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個項目，利

用互斥事件的概率加法公式以及相互獨立事件的乘法公式即可求出；

（2）依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,再分別計算出對應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出期望.

【小問1詳解】

設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為A,民C,所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為

P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

【小問2詳解】

依題可知，X的可能取值為（）,1（）,2（）,3（）,所以,

P(X=0)=0.5x0.4x0.8=0.16,

岡

3

岡

即x分布列為

X0102030

P0.160.440.340.06

期望同

3.【答案】⑴0.06m2；0.39m3

（2）0.97

⑶1臼I

【解析】

【分析】（1）計算出樣本的一棵根部橫截面積的平均值及一棵材積量平均值，即可估計該林區(qū)這種樹木平

均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）代入題給相關(guān)系數(shù)公式去計算即可求得樣本的相關(guān)系數(shù)值；

（3）依據(jù)樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，列方程即可求得該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計

值.

小問1詳解】

樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值囚

39

樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值少=m=0.39

據(jù)此可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0.06m"

平均一棵的材積量為0.39m3

小問2詳解】

1010

Wa-元)(％-刃-10戲

i=li=l

fioio

店(王-元)比(苗-刃2J-IOV

Vi=li=l

—________0_._2_4_7_4__-_1_0_x__0_._0_6_x_0_._3_9________—___0_._0_1_3_4___O970.0134八八一

7(0.038-10x0.062)(1.6158-10x0.392)V0.00018960.01377

則”0.97

【小問3詳解】

設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為Fm3,

又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，

一,r0.06186e、i

可得萬有=jr，解之得y=1209n?.

則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計為1209m3

4.【答案】(1)答案見解析

(2)(i)證明見解析；(ii)R=6；

【解析】

【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出K?的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認為患

該疾病群體與未黃該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；(2)(i)根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明；(ii)

根據(jù)(i)結(jié)合已知數(shù)據(jù)求/?.

【小問1詳解】

n(ad-be?200(40x90-60xlO)2?

由己知K2---;---------------=24,

(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)50xl50x100x100

又P(K2>6.635)=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

【小問2詳解】

⑴因為0

ccnl?尸(A3)P(B)P(AB)P(月)

WTyl￡\=------------------------——

P(B)P(AB)P(B)P(AB)

所以R=

P(A|B)P(A\B)

(ii)

4()?~I

由已知P(A|8)=」",兇

100

又岡,P(A\B)=~,

P(A\B)^lg)_6

所以R=

P(A\B)P(A\B)~

5.【答案】(1)44.65歲;

(2)0.89；

(3)0.0014.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應(yīng)區(qū)間的中點值的和即可求出;

(2)設(shè)A=｛一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)｝，根據(jù)對立事件的概率公式P(A)=1-P(X)即可解出;

(3)根據(jù)條件概率公式即可求出.

【小問1詳解】

平均年齡元=(5x0.001+15xO.OO2+25xO.O12+35