2022年暑假滬教版新九年級(jí)數(shù)學(xué)-第20講 二次函數(shù)章節(jié)復(fù)習(xí) （教師版）

第20講二次函數(shù)章節(jié)復(fù)習(xí)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上學(xué)期第三章的內(nèi)容.

通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，我們需要理解二次函數(shù)的概念，并學(xué)會(huì)利用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù)圖像，重點(diǎn)在于掌

握二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，包括特殊的二次函數(shù)的圖像性質(zhì)和一般的二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，理解并熟練其平

移規(guī)律，從而能根據(jù)二次函數(shù)的解析式指出這個(gè)函數(shù)圖像的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)等特征，并知道

圖像上升和下降的情況.

難點(diǎn)是根據(jù)題中的已知條件，靈活地運(yùn)用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，并能利用二次函數(shù)的知

識(shí)解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.

此外，經(jīng)歷對(duì)二次函數(shù)圖像的畫(huà)法及圖像特征的研究過(guò)程，我們需要從中領(lǐng)略從特殊到一般的研究方

法、分解與組合的研究策略以及圖形運(yùn)動(dòng)、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

【知識(shí)結(jié)構(gòu)】

【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：選擇題

1.下列各式中，）/是x的二次函數(shù)的是（）

B.y=2x+lC.y=x2-x+1D.y2=x2+3

【難度】★

【答案】c

【解析】根據(jù)二次函數(shù)的概念，形如>=62+公+°（。*0）的函數(shù)是二次函數(shù)，只有C符合，A不是整式,

B是一次函數(shù)，D不是函數(shù)，故選C.

【總結(jié)】考查二次函數(shù)的概念，可與一元二次方程方程的概念關(guān)聯(lián)起來(lái)：自變量最高次數(shù)為2、整式、二次

項(xiàng)系數(shù)不為0,當(dāng)然前提是式子本身是函數(shù).

2.下列函數(shù)中，是y關(guān)于x的二次函數(shù)的個(gè)數(shù)是（)

@>,=x2-4x+1；②y=-3x；(3)y=2x2；④y=-x+l；?j=4x-3x2；

?y=-；?y=mx2+nx+p；⑧y=±+2；⑨y=、*".

xx3

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【難度】★

【答案】B

【解析】根據(jù)二次函數(shù)的概念，形如曠=奴2+法+c（a#O）的函數(shù)是二次函數(shù)，①③⑤⑨符合，其它均不符

合，②④是一次函數(shù)，⑥⑧不是整式，需要注意⑦是函數(shù)，但題目未明確說(shuō)明二次項(xiàng)系數(shù)m是否為0,不

能確定為二次函數(shù)，即只有4個(gè)是二次函數(shù)，故選B.

【總結(jié)】考查二次函數(shù)的概念，可與一元二次方程方程的概念關(guān)聯(lián)起來(lái)：自變量最高次數(shù)為2、整式、二次

項(xiàng)系數(shù)不為0,當(dāng)然前提是式子本身是函數(shù).

（工例3.拋物線y=2（x+,〃）2+n（m,”是常數(shù)）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（〃？,n）B.（-m,n）

C.（機(jī),~n）D.（—tn,-n）

【難度】★

【答案】B

【解析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，可知答案為B.

【總結(jié)】考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-〃）2+?形式，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為四，%）.

例4.己知拋物線產(chǎn)2/+公-’的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,-3）,則b、c的值分別是（）

A.b=-4,c=1B.b=4,c=1

C.b=T,c=-1D.fa=4,c=-1

【難度】★

【答案】B

【解析】二次函數(shù)對(duì)稱軸所表示的值即為其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式，可得--=1,解得力=Y,

2x2

頂點(diǎn)在拋物線上，貝I有2+6—c=-3,解得c=l,故選B.

【總結(jié)】考查二次函數(shù)頂點(diǎn)式，也可通過(guò)將二次函數(shù)化作頂點(diǎn)式代入求解.

2

例5.已知二次函數(shù)y=-3/、y3=|x,它們的圖像開(kāi)口大小的順序是（）

A-B.y3<y2<yt

C-y,<y3<D-y2<y3<yi

【難度】★

【答案】C

【解析】對(duì)定義域內(nèi)同一個(gè)非零X值，易得閭<|W<EI恒成立，對(duì)應(yīng)|y|越小，開(kāi)口越大，即對(duì)二次函數(shù)

》=G2(°.0)而言，時(shí)越小，開(kāi)口越大，可知題目答案為C.

【總結(jié)】考查:次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)。對(duì)開(kāi)口大小的影響，二次項(xiàng)系數(shù)。正負(fù)影響開(kāi)口方向，回影響開(kāi)口大

小，同越小，開(kāi)口越大.

色例

6.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(1,3),開(kāi)口向下，若要使函數(shù)y隨自變量x的增大而減小，則x的

取值范圍為()

A.x<3B.x>3C.x>1D.x<1

【難度】★

【答案】C

【解析】對(duì)二次函數(shù)而言，開(kāi)口方向向下，對(duì)稱軸右側(cè)函數(shù)隨自變量的增大而減小，故選C.

【總結(jié)】考查二次函數(shù)的增減性，由開(kāi)口方向和對(duì)稱軸共同決定.

將拋物線y=向下平移2個(gè)單位得到的拋物線,再向右平移3個(gè)單位得到的拋物線的解析

式為()

A.y=*+3)?+2B.y=g(x+3)2-2

C.y=-(x-3)2+2D.y=4-3)2-2

【難度】★

【答案】D

【解析】根據(jù)平移原則，先得到y(tǒng)=；『-2,再平移即得y=」(x-3)2—2.

【總結(jié)】考查函數(shù)圖像的平移，遵循“上加下減，左加右減”的原則.

例8.已知二次函數(shù)y=(〃?l)x"J"5+W-3)x+4,則m的值為()

A.1或3B.3C.1D.以上都不對(duì)

【難度】★★

【答案】B

【解析】根據(jù)二次函數(shù)定義，可得［病一4"+5=2,解得帆=3,故選B.

—1w0

【總結(jié)】考查二次函數(shù)的定義，自變量最高次數(shù)為2,同時(shí)注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.

[\]例9.給出下列四個(gè)函數(shù)：（J）y=-x；@y-x；（3）y=-；@y=x2.當(dāng)x<0時(shí);y隨著x的增大而

減小的函數(shù)個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

【難度】★★

【答案】C

【解析】x<0即可確定函數(shù)所在象限，根據(jù)函數(shù)增減性知識(shí)，可知在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x值增大而減小

的是①③④，故選C.

【總結(jié)】考查目前為止所學(xué)函數(shù)的增減性，一次函數(shù)^=丘+久及片0）增減性只與左值正負(fù)相關(guān)，需要注意

反比例函數(shù)有兩支，每?個(gè)象限內(nèi)有獨(dú)立增減性，二次函數(shù)與其開(kāi)口方向和對(duì)稱軸相關(guān)，開(kāi)口方向向上,

對(duì)稱軸左側(cè)y隨x值增大而減小.

10.若拋物線y=，￡+6x+c?經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和第一、二、三象限，則（）

A.a>0,b>0,c=0B.a>0,b<0,c=0

C.a<01b>0,c=0D.avO,Z?<0,c=0

【難度】★★

【答案】A

【解析】函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，可知c=0,畫(huà)出函數(shù)大致圖像，函數(shù)過(guò)一、二、三象限，必有函數(shù)開(kāi)口方向向下，

Q>0

且對(duì)稱軸在原點(diǎn)左側(cè)，由此可得Ib，故a>o，b>0,故選A.

——<0

.2a

【總結(jié)】考查根據(jù)二次函數(shù)大致圖像確定相關(guān)系數(shù)取值范圍知識(shí)點(diǎn)，注意觀察二次函數(shù)的相關(guān)特征量，開(kāi)

口方向、對(duì)稱軸等.

f例11.將拋物線y=3x2-6x+2先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，所得的拋物線是（）

A.y=3x2+6x+4B.y=3x2-3x+4

C.y=3x2-12x+13D.y=3x2+12x-13

【難度】★★

【答案】C

【解析】將y=3--6x+2化作頂點(diǎn)式，即為y=3（x-l）2-l,根據(jù)二次函數(shù)的平移法則，平移后得到的函

數(shù)解析式即為y=3（x-l-l）2-l+2,整理成一般形式即為y=3/-i2x+13,故選C.

【總結(jié)】考查函數(shù)圖像的平移，遵循“上加下減，左加右減”的原則，前提是將二次函數(shù)化作頂點(diǎn)式，左

右平移改變x,上下平移改變y.

12.若拋物線y=or2-6x經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,0）,則拋物線頂點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為)

A.x/10B.C.V14D.>/15

【難度】★★

【答案】A

【解析】函數(shù)過(guò)點(diǎn)（2,0）,代入即得2Z.4—6x2=。，解得。=3,函數(shù)即為y=3*2-6x,化作頂點(diǎn)式為

y=3（x-l）2-3,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-3）,根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可求得頂點(diǎn)到原點(diǎn)距離為獷不^^而，

故選A.

【總結(jié)】考查將二次函數(shù)一般式化作頂點(diǎn)式的方法，以及兩點(diǎn)間距離公式.

例13.已知拋物線C：y=V+3x-10,將拋物線C平移得到拋物線C'.若兩條拋物線C、C'關(guān)于

直線x=l對(duì)稱，則下列平移方法中，正確的是（）

A.向右平移9個(gè)單位B.向右平移3個(gè)單位

2

C.向右平移5個(gè)單位D.向右平移6個(gè)單位

【難度】★★

【答案】C

【解析】將C：y=V+3x70化作頂點(diǎn)式，即為尸［+|）其對(duì)稱軸即為直線x=-1,C、。關(guān)

于直線x=l對(duì)稱，則兩個(gè)拋物線對(duì)稱軸關(guān)于直線x=l對(duì)稱，即相應(yīng)的。對(duì)稱軸應(yīng)為直線x=N,由x=-2

22

變到x=N,相當(dāng)于向右平移5個(gè)單位，故選C.

2

【總結(jié)】考查二次函數(shù)的平移，以及函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱，考慮相應(yīng)的對(duì)稱軸即可.

【難度】★★

【答案】D

【解析】由avO,可知二次函數(shù)圖像開(kāi)口方向向下，反比例函數(shù)圖像在二、四象限，即可排除A、B選項(xiàng),

同時(shí)由二次函數(shù)解析式可求得二次函數(shù)對(duì)稱軸為-且=-1，即二次函數(shù)對(duì)稱軸在原點(diǎn)左側(cè)，可知C也錯(cuò)誤，

2a2

應(yīng)選D.實(shí)際上，令丫=0^+6=0,可求得方程兩根分別為內(nèi)=0,x2=-\,即可確定二次函數(shù)與x軸的

兩個(gè)交點(diǎn)，即可排除A、B、C三項(xiàng)，故選D.

【總結(jié)】考查根據(jù)二次函數(shù)相關(guān)特征判斷圖像大致形狀，從以下幾個(gè)角度出手：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、與x軸、

y軸交點(diǎn)，頂點(diǎn)，即可確定二次函數(shù)大致圖像和相關(guān)參數(shù)范圍.

P例15.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.二次函數(shù)y=3/+4中，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大

B.二次函數(shù)y=-2x?+4x中，當(dāng)x=l,時(shí)，y有最大值

C.二次函數(shù)〉='￡+加+,，a越大圖像開(kāi)口越小

D.拋物線>=以2(awO)的頂點(diǎn)一定是坐標(biāo)原點(diǎn)

【難度】★★

【答案】C

【解析】?jī)蓚€(gè)函數(shù)a值相反，開(kāi)口大小相同，即二次函數(shù)開(kāi)口大小與a的大小和正負(fù)都相關(guān)，準(zhǔn)確來(lái)說(shuō)，

即時(shí)越大，函數(shù)圖像開(kāi)口越小，C錯(cuò)誤.

【總結(jié)】考查二次函數(shù)相關(guān)特征量，頂點(diǎn)以及函數(shù)增減性，以及開(kāi)口大小.

考點(diǎn)二：填空題

例1.拋物線y=2(x-3p+l是由拋物線y=2(x+l)?+3先向平移個(gè)單位，再向

平移個(gè)單位得到的.

【難度】★

【答案】右，4,下，2.

【解析】水平方向由x+1變到x-3,相當(dāng)于(x+l)-4,即先向右平移4個(gè)單位，豎直方向由+3變到+1,

相當(dāng)于(+3)-2,即向下平移2個(gè)單位.

【總結(jié)】考查函數(shù)圖像的平移，遵循“上加下減，左加右減”的原則.

(工例2.把函數(shù)丫=-3(》-2f+1的圖像沿*軸翻折，得到的圖像的解析式是.

【難度】★

【答案】y=3x2-12x+13.

【解析】函數(shù)圖像沿X軸翻折，其函數(shù)圖像的形狀，與X軸交點(diǎn)、函數(shù)圖像對(duì)稱軸都不發(fā)生變化，只有函數(shù)

的開(kāi)口方向和頂點(diǎn)縱坐標(biāo)發(fā)生變化，則其二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)樵瘮?shù)二次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)也要關(guān)

于x軸對(duì)稱，即變?yōu)樵v坐標(biāo)相反數(shù)，變化后的函數(shù)即為y=3(x-2p-l,整理成一般形式即為

y=3x2-12x+13.

【總結(jié)】考查二次函數(shù)的翻折變化，主要體現(xiàn)在對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、開(kāi)口方向等相關(guān)特征量的變化，找準(zhǔn)

變化方向，即可進(jìn)行準(zhǔn)確解題，得出結(jié)論.

例3.二次函數(shù)y=-2/-4x-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

【難度】★

【答案】(T，T).

【解析】將二次函數(shù)整理成頂點(diǎn)式，即為y=-2(x+l)2-l,則其頂點(diǎn)坐標(biāo)為

【總結(jié)】考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，也可直接采用公式法，但公式法記憶相對(duì)繁瑣.

[工例4.如果函數(shù)丫=以2+4x-l的圖像的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,則a的值為.

【難度】★

【答案】一2.

4

【解析】一二=1=>。=一2.

2a

【總結(jié)】二次函數(shù)y=狽2+以+c(aw0)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)即為一2.

2a

例5.函數(shù)y=/+2x-3的最(填“小”或“大”)值是.

【難度】★

【答案】小，-4.

【解析】將y=/+2x-3化作頂點(diǎn)式，即為y=(x+l)?-4,由此可知函數(shù)有最小值T.

【總結(jié)】考查二次函數(shù)的最值，根據(jù)開(kāi)口方向判斷，開(kāi)口方向向上有最小值，開(kāi)口方向向下有最大值，將

解析式配方化作頂點(diǎn)式即可得其最值.

例6.把函數(shù)y=f-6x+3的圖像向左平移一個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到的圖像的解析式

是.

【難度】★

【答案】y=x2-4x.

【解析】先將y=V-6x+3配方化作頂點(diǎn)式，即為y=(x-3>-6,根據(jù)平移法則，可知平移后解析式為

y=（工一3+1）~—6+2,化作一般式即為y=x2-4x.

【總結(jié)】查函數(shù)圖像的平移，遵循“上加下減，左加右減”的原則.

例7.二次函數(shù)y=2/+bx+24的最小值是—8,則b等于.

【難度】★

【答案】±16.

【解析】。=2,c=24,根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，即有40°一尸=4x2x24-"2=一8,解得^=±16.

4a4x2

【總結(jié)】考查二次函數(shù)的最值，最值在其取對(duì)稱軸所表示的值處取得，即為其頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，可直接由公式

代值計(jì)算即可得出.

4a

['1例8.若拋物線-x-2與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（m,0）,則代數(shù)式，“2-加+2016的值

為.

【難度】★★

【答案】2018.

【解析】拋物線y=x?-x-2與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（〃[，0）,則有病-加-2=0,可得病-帆=2,故

機(jī)2-機(jī)+2016=2+2016=2018.

【總結(jié)】二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)即二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解，可將二次函數(shù)與相應(yīng)的一元二

次方程關(guān)聯(lián)起來(lái)，同時(shí)考查一元二次方程解的應(yīng)用.

例9.己知二次函數(shù)丫=如2+》+機(jī)（加一2）的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則m的值為.

【難度】★★

【答案】2.

【解析】二次函數(shù)過(guò)原點(diǎn)（0,0）,可得,”（m-2）=0,同時(shí)二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)必不能為0,即機(jī)20,

由此可得m=2.

【總結(jié)】考查根據(jù)二次函數(shù)上的?點(diǎn)確定相關(guān)取值，注意二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)不能為0的隱含條件.

[Y1例二次函數(shù)y=—V+5X-4，當(dāng)X時(shí)，y<0,且V隨X的增大而減小.

【難度】★★

【答案】>4.

【解析】令丫=-丁+5》-4=0,解得％=1,X2=4,函數(shù)開(kāi)口方向向下，由此可知在對(duì)稱軸x=|右側(cè)），

隨的增大x而減小，y<0,可知x對(duì)應(yīng)取值范圍為x>4.

【總結(jié)】考查二次函數(shù)的增減性，同時(shí)函數(shù)值的正負(fù)取決于函數(shù)圖像在X軸上方還是下方即可確定.

對(duì)11.若拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,4）和（5,0）,則該拋物線的解析式為

【難度】★★

【答案】y=-QX?+2x+m.

【解析】拋物線對(duì)稱軸為直線x=2,且與X軸行交點(diǎn)（5,0）,可知二次函數(shù)與x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)

為（-1,0）,可設(shè)拋物線解析式為y="（x+l）（x-5）,拋物線過(guò)點(diǎn)（1,4）,代入則有

（l+l）x（l-5）a=4,解得“=則y=_g（x+1）（》一5）,化作一般式即為y=-^x2+2x+-1.

【總結(jié)】考查二次函數(shù)解析式三種表示方法之間的關(guān)聯(lián)，可利用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化，得出相應(yīng)結(jié)論.

「、口例12.若拋物線y=-3x2+12x+15的頂點(diǎn)為A,與x軸的交點(diǎn)為8、C,則A4BC的面積是.

【難度】★★

【答案】81.

【解析】將拋物線y=-3f+12x+15化作頂點(diǎn)式，即為y=-3（x-2y+27,可知A（2,27）,令

y=-3f+12x+15=0,解得%,=-1,2=5,即,C（5,0）,則BC=6,

SA48c=gBC.M=gx6x27=81.

【總結(jié)】考查二次函數(shù)特征量的綜合應(yīng)用，可用特殊點(diǎn)坐標(biāo)求解相應(yīng)形成圖形面積.

「Yl例13汽車剎車距離5（米）與速度V（千米/時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式是5=+一，在一輛車速

為100千米/時(shí)的汽車前方80米處，發(fā)現(xiàn)停著一輛故障車，此時(shí)剎車（選填"會(huì)”或“不會(huì)”）

有危險(xiǎn).

【難度】★★

【答案】會(huì).

【解析】根據(jù)剎車距離與速度之間函數(shù)關(guān)系式5=—L/,可知時(shí)速1006//1時(shí)對(duì)應(yīng)的剎車距離為

100

—X1002=100w.100>80,可知?jiǎng)x車會(huì)有危險(xiǎn).

100

【總結(jié)】考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，把握題意，根據(jù)題意進(jìn)行相關(guān)計(jì)算得出結(jié)論.

考點(diǎn)三：解答題

f”例1.己知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-1）,且其圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4,1）,求此二次函數(shù)的解析式.

【難度】★

【答案】y=2x2-12x+17.

【解析】設(shè)y="x-3)2-l,函數(shù)過(guò)點(diǎn)(4,1),則有a一1=1,解得a=2,故二次函數(shù)解析式為

y=2(x-3)2-l,整理成一般式即為y=-12x+17.

【總結(jié)】考查二次函數(shù)的三種表示方法，一般式、頂點(diǎn)式、二根式，求解析式時(shí)根據(jù)題目所給條件設(shè)對(duì)應(yīng)

解析式的形式即可.

[Y1例2.已知一拋物線與X軸的交點(diǎn)為A(-1,0)、8(2,0),且過(guò)點(diǎn)C(l,8).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

【難度】★

【答案】(1)y=-4x2+4x4-8；(2)(f).

【解析】(1)設(shè)y=a(x+l)(x-2),函數(shù)過(guò)點(diǎn)C(l,8),則有(l+l)x(l-2”=8,解得a=Y,故二

次函數(shù)解析式為y=-4(x+l)(x-2),整理成一般式即為y=-4/+以+8：

(2)將y=-4/+4x+8化作頂點(diǎn)式，即為y=+9,則拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為9

【總結(jié)】考查二次函數(shù)的三種表示方法，一般式、頂點(diǎn)式、二根式，求解析式時(shí)根據(jù)題目所給條件設(shè)對(duì)應(yīng)

解析式的形式即可，同時(shí)可將三種形式進(jìn)行相互.轉(zhuǎn)化.

j例3.已知二次函數(shù)y=(nT-2)x2-4/nr+n的圖像的對(duì)稱軸是直線x=2,且最高點(diǎn)在直線y=gx+1

上，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

【難度】★★

【答案】y=-x2+4x-2.

【解析】二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線x=2,即有—7二、二2,整理即為1-加-2=0,解得帆=-1

2(m2-2)

或加=2,二次函數(shù)有最高點(diǎn)，可知M-2<0,由此可得m=T,二次函數(shù)最高點(diǎn)在其對(duì)稱軸上取

得，且最高點(diǎn)在直線y=gx+l上，由此可得二次函數(shù)最高點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),在二次函數(shù)上，即有

[(-1)2-2]X22-4X(-1)X2+?=2,解得〃=—2,代入即得二次函數(shù)解析式為y=-f+4x—2.

【總結(jié)】二次函數(shù)的最值在其對(duì)稱軸上取得，同時(shí)根據(jù)題目中最大值、最小值即可確定函數(shù)的開(kāi)口方向.

例4.已知拋物線〉=/+法+。與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)為A(2,0).

（1）求b、c的值；

（2）若拋物線與y軸的交點(diǎn)為B,坐標(biāo)原點(diǎn)為。，求AO48的周長(zhǎng).

【難度】★★

【答案】（1）b=Y,c=4；（2）6+2^5.

【解析】（1）拋物線與尤軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即為其頂點(diǎn)，由此可得-^=2,解得b=T,且有

2

22+（-4）x2+c=0,解得c=4；

（2）拋物線解析式為y=￡—4x+4,可知8（0,4）,根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可得AO=2,BO=4,

A8=J（0-2）2+（4-0）2=2石,故CA3B=AO+BO+AB=6+2石.

【總結(jié)】二次函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則這個(gè)交點(diǎn)是這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn).

例5.某商場(chǎng)以800元/套的價(jià)格購(gòu)進(jìn)西服1000套，已知每套售價(jià)為1000元時(shí)，可全部售

出.如果定價(jià)每提高1%,則銷售量就下降0.5%,則如何定價(jià)可使獲利最大（總利潤(rùn)=總收入-總成

本）？

【難度】★★

【答案】定價(jià)1500元時(shí)可使總獲利最大.

【解析】西服定價(jià)每提高1%，則銷量卜降0.5%,即定價(jià)每提高1000xl%=10元，銷量下降

1000x0.535件，設(shè)西服定價(jià)為x元，總利潤(rùn)為y元，依題意則有

y=（1000-5x三臀]1_1000、800,整理即為y=+1500X一800000,化為頂點(diǎn)式

即為y=-；（x-1500『+325000,》=1500時(shí)y有最大值，即利潤(rùn)最大，即定價(jià)為1500元時(shí)可使獲利

最大.

【總結(jié)】利潤(rùn)問(wèn)題，根據(jù)題意找出其銷量與定價(jià)之間的關(guān)系，即可將總利潤(rùn)表示為一個(gè)二次函數(shù)，在符合

題意的定義域求其最大值即可，一般來(lái)說(shuō)即為其頂點(diǎn)坐標(biāo).

例6.某公園要建造一個(gè)圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面建一根石柱，石柱上的A處安裝一

個(gè)圓形噴頭向外噴水，連噴頭在內(nèi)，柱高為0.8米，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，在y軸右側(cè)，水流噴出的

A

高度y（米）與水平距離x（米）之間的函數(shù)關(guān)系式為丫=-/+2X+].

（1）求噴出的水流距水平面的最大高度是多少？

（2）水池的半徑至少為多少，才能使噴出的水流都落在水池內(nèi)？

【解析】⑴將y=-x2+2x+g化作頂點(diǎn)式，

即為y=-（x—1J+1.8,由此可知當(dāng)x=l時(shí)，

y有最大值1.8，即水流距水平面的最大高度是1.8m；

（2）令y=0,則-/+21+1=0,解得%=5-y,“5+；石,又1＞（）,即可確定

彳=三竽，即可確定水池半徑至少為［浣叵］機(jī).

【總結(jié)】考查與二次函數(shù)結(jié)合的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，看清題意，找準(zhǔn)題目中的初始位置和末位置與最高點(diǎn)的相互關(guān)

聯(lián)即可解決問(wèn)題，確定好二次函數(shù)相關(guān)特征量在實(shí)際問(wèn)題中所表示的意義.

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

一、單選題

1.（2021?上海九年級(jí)三模）將拋物線y=V向左平移2個(gè)單位后，所得新拋物線的解析式是（）

A.y=X1—2B.y=x2+2C.y=（x-2）2D.y=（x+2）2

【答案】D

【分析】根據(jù)平移的規(guī)律：左加右減，求出得到的拋物線的解析式即可.

【詳解】解：由“左加右減”的原則可知，將拋物線12向左平移2個(gè)單位，

所得拋物線的解析式為：產(chǎn)（X+2）2,

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，卜一加下減.并用規(guī)律求

函數(shù)解析式.

2.（2021?上海九年級(jí)二模）將拋物線y=-N向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位后所得新拋物線的

頂點(diǎn)是()

A.(3,-2)B.(-3,-2)C.(3,2)D.(-3,2)

【答案】A

【分析】根據(jù)平移規(guī)律，可得頂點(diǎn)式解析式.

【詳解】將拋物線y=-V向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位后，

得y=_(x—3)2-2,

二頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-2),

故答案為：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，是解題的關(guān)鍵.

3.(2021.上海九年級(jí)二模)將拋物線y=(x-2>+l向上平移3個(gè)單位，得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(2,4)B.(-1,1)C.(5,1)D.(2,-2)

【答案】A

【分析】根據(jù)平移規(guī)律，上加下減，左加右減，可得頂點(diǎn)式解析式.

【詳解】解：將拋物線y=(x-2)2+1向上平移3個(gè)單位，

得y=(x-2)2+l+3,即y=(x-2>+4,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4),

故選：A.

【點(diǎn)睛】主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減.

4.(2020?上海九年級(jí)期末)上為任意實(shí)數(shù)，拋物線)，=”(x-A)2-&(際0)的頂點(diǎn)總在()

A.直線y=x上B.直線y=-x上C.x軸上D.y軸上

【答案】B

【分析】根據(jù)頂點(diǎn)式寫(xiě)出頂點(diǎn)，再根據(jù)坐標(biāo)的特點(diǎn)即可求解.

【詳解】解：y—a(x-k)2-k(#0),

???拋物線的頂點(diǎn)為(&,-k),

：人為任意實(shí)數(shù)，

二頂點(diǎn)在y=-x直線上，

故選:B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)頂點(diǎn)

式的特點(diǎn).

5.（2020?上海九年級(jí)期末）二次函數(shù)y=ax2+0x+c（4H0）的圖像如圖所示，現(xiàn)有以下結(jié)論：①。<0；

@abc>0：@a-b+c<0-.?h2-4?c<0；其中正確的結(jié)論有（）

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)；拋物線開(kāi)口向下；與y軸的交點(diǎn)；兩根判別式；逐一判定即可.

【詳解】①根據(jù)圖像，開(kāi)口向下，得出正確；

②根據(jù)圖像，對(duì)稱軸為x=—2=1.5,bX），與y軸的交點(diǎn)為（0,c）,cX），Hc<0錯(cuò)誤；

2a

③根據(jù)圖像，以及對(duì)稱軸，b=—3d?。一b+cvO,iE確；

④根據(jù)圖像，頂點(diǎn)坐標(biāo)均大于0,即絲」->0,〃_4ac>0,錯(cuò)誤；

4。

故答案為B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，熟練掌握，即可解題.

6.（2020.上海控江中學(xué)附屬民辦學(xué)校九年級(jí)期末）將拋物線y=f向左平移1個(gè)單位，所得拋物線解析式

是（）

A.y-（x-1）2B.y=（x+l/C.y=x2+1D.y=x2-1

【答案】B

【詳解】拋物線y=x2向左平移1個(gè)單位得到y(tǒng)=（x+l）2,

故選B.

二、填空題

7.（2020?上海九年級(jí)期末）寫(xiě)出一個(gè)對(duì)稱軸是直線％=1,且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式.

【答案】答案不唯一（如y=f-2x）

【分析】拋物線的對(duì)稱軸即為頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值，根據(jù)頂點(diǎn)式寫(xiě)出對(duì)稱軸是直線x=l的拋物線表達(dá)式，再化

為一般式，再由經(jīng)過(guò)原點(diǎn)即為常數(shù)項(xiàng)c為0,即可得到答案.

【詳解】解：：對(duì)稱軸是直線x=l的拋物線可為：y=（x—l）2=f-2x+l

又???拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，即C=0,

二對(duì)稱軸是直線％=1,且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式可以為：y^x2-2x,

故本題答案為：y^x2-2x（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的對(duì)稱軸與拋物線解析式的關(guān)系.關(guān)鍵是明確對(duì)稱軸的值與頂點(diǎn)橫坐標(biāo)相同.

8.（2020?上海控江中學(xué)附屬民辦學(xué)校九年級(jí)期末）二次函數(shù)y=2/+5x-l的圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

【答案】（0,-1）

【分析】求出二次函數(shù)y=2/+5x—l,當(dāng)x=0時(shí)y的值，即可得出答案.

【詳解】解：；y=2x'+5x-1,當(dāng)x=0時(shí),y=-l,

.?.二次函數(shù)丁=2/+5乂-1的圖象與丫軸交點(diǎn)坐標(biāo)是（0,-1）.

故答案為：（0,-I）.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，求出二次函數(shù)當(dāng)x=0時(shí)y的值是解題的關(guān)鍵.

9.（2020?上海九年級(jí)期末）拋物線y=-2（x-1了+3在對(duì)稱軸右側(cè)的部分是的.（填“上升”或“下降”）

【答案】下降

【分析】首先根據(jù)拋物線解析式判定開(kāi)口向下，以及對(duì)稱軸，然后即可得解.

【詳解】根據(jù)題意，得拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x=l

，對(duì)稱軸右側(cè)的部分是下降的

【點(diǎn)睛】此題主要考查拋物線圖像的增減性，熟練掌握，即可解題.

10.（2020?上?？亟袑W(xué)附屬民辦學(xué)校九年級(jí)期末）已知點(diǎn)A（玉，x）,B（赴,必）為拋物線y=（x-2『上的

兩點(diǎn)，如果玉<X2<2,那么月y2（填"v”或“=”）

【答案】>

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線y=（x-2）2的開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為直線x=2,則在對(duì)稱軸左側(cè)，y

隨x的增大而減小，所以xi<X2時(shí)，yi>y2.

【詳解】解：Vy=（x-2）2,

/.a>0,

???拋物線開(kāi)口向上，

???拋物線對(duì)稱軸為直線x=2,

*/xx<x2<2,

.\yi>y2.

故答案為：》

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)丫=2*2+6*+。(a#)),當(dāng)a>0,拋物線開(kāi)口向

下；對(duì)稱軸為直線x=，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大.

2a

三、解答題

11.(2018?上海)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=+以+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)、B(0,

-5)、C(2,3).求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并求出其圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸.

【答案】)，=-V+6x-5,函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4),對(duì)稱軸為直線x=3.

【分析】(1)分別把4(1,0),B(0,-5),C(2,3)代入y=ax?+Z?x+c,利用待定系數(shù)法可得a=l,

b=6,c=-