專題30 圓錐曲線與四心問題4種常見考法歸類（原卷版）

專題30圓錐曲線與四心問題4種常見考法歸類從近幾年圓錐曲線的命題風(fēng)格看，既注重知識又注重能力，既突出圓錐曲線的本質(zhì)特征．而現(xiàn)在圓錐曲線中面積、弦長、最值等幾乎成為研究的常規(guī)問題．“四心”問題進(jìn)入圓錐曲線，讓我們更是耳目一新．因此在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，通過讓學(xué)生研究三角形的“四心”與圓錐曲線的結(jié)合問題，快速提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，增強(qiáng)學(xué)生的信心，備戰(zhàn)高考．一、三角形的重心1、三角形重心的定義三角形的重心：三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就是三角形的重心．2、三角形重心常見結(jié)論（1）是△的重心；重心坐標(biāo)：；（2）為△的重心，P為平面上任意點(diǎn)，則；（3）重心是中線的三等分點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比是2：1；（4）重心與三角形的3個頂點(diǎn)組成的3個三角形的面積相等，即重心到3條邊的距離與3條邊的長成反比．（5）焦點(diǎn)三角形重心軌跡方程：①設(shè)點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)三角形的重心，則點(diǎn)的軌跡方程為．②設(shè)點(diǎn)為雙曲線的焦點(diǎn)三角形的重心，則點(diǎn)的軌跡方程為．二、三角形的外心1、三角形外心的定義三角形的外心：三角形外接圓的圓心，稱為外心，三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，就是三角形的外心．2、三角形外心重要結(jié)論（1）O是的外心（或）；（2）若點(diǎn)O是的外心，則=0．（3）若O是的外心，則；（4）斜三角形外心坐標(biāo)：；（5）多心組合：的外心、重心、垂心共線，即∥；（6）焦點(diǎn)三角形外心軌跡方程：①動點(diǎn)為橢圓上異于橢圓頂點(diǎn)的一點(diǎn)，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，設(shè)焦點(diǎn)三角形的外心為，則外心的軌跡方程為（或）．②動點(diǎn)為雙曲線上異于雙曲線頂點(diǎn)的一點(diǎn)，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，設(shè)焦點(diǎn)三角形的外心為，則外心的軌跡方程為．三、三角形的內(nèi)心1、三角形內(nèi)心的定義三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心，稱為內(nèi)心，三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，就是內(nèi)心．2、三角形內(nèi)心常見結(jié)論設(shè)的內(nèi)切圓為圓，切邊于，則有如下重要結(jié)論：（1）是的內(nèi)心（其中a、b、c為的三條邊）；（2）；（3）；（4）內(nèi)心點(diǎn)的坐標(biāo)為；（5）三角形內(nèi)切圓的半徑求法：①任意三角形：（其中為的周長，為的面積）；②直角三角形：（其中a，b為直角邊，c為斜邊）；（6）焦點(diǎn)三角形內(nèi)心軌跡方程：①設(shè)點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)三角形的內(nèi)心，則點(diǎn)的軌跡方程為：，其中．②設(shè)點(diǎn)為雙曲線的焦點(diǎn)三角形的內(nèi)心，則有：（1）當(dāng)在雙曲線右支上時，點(diǎn)的軌跡方程為；（2）當(dāng)在雙曲線左支上時，點(diǎn)的軌跡方程為．四、三角形的垂心1、三角形垂心的定義三角形的垂心：三角形三條邊上的高交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就是三角形的垂心．2、三角形垂心重要結(jié)論設(shè)分別是的外心、重心、垂心，則（1）；（2）三點(diǎn)共線，且（歐拉線）；（3）斜三角形垂心坐標(biāo)：；（4）H是△的垂心；（5）垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對邊距離得2倍；（6）焦點(diǎn)三角形垂心軌跡方程：①橢圓的焦點(diǎn)三角形的垂心的軌跡方程為；②雙曲線的焦點(diǎn)三角形的垂心的軌跡方程為．考點(diǎn)一圓錐曲線與重心問題考點(diǎn)二圓錐曲線與外心問題考點(diǎn)三圓錐曲線與內(nèi)心問題考點(diǎn)四圓錐曲線與垂心問題考點(diǎn)一圓錐曲線與重心問題1．（2023下·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，已知，為原點(diǎn)，則重心的縱坐標(biāo)為．2．（2023·福建莆田·統(tǒng)考一模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，過作直線與交于兩點(diǎn)．若，則重心的橫坐標(biāo)為A． B．2 C． D．33．（2023·甘肅·校聯(lián)考一模）已知、分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且在第一象限．記直線，的斜率分別為，，當(dāng)取得最小值時，的重心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．（2023上·重慶·高二重慶一中?？计谥校┮阎且詾榻裹c(diǎn)的雙曲線上的動點(diǎn)，則的重心的軌跡方程為（）A． B．C． D．5．（2023上·河北石家莊·高二統(tǒng)考期中）已知是雙曲線（，）的左頂點(diǎn)，、分別為左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，是的重心，若，則雙曲線的離心率為A． B． C．D．與的取值有關(guān)6．（2023上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，分別為橢圓的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，，為橢圓短軸的兩個端點(diǎn)，若點(diǎn)恰為的重心，則橢圓的離心率的值為.7．（2023·貴州貴陽·高三階段練習(xí)）在雙曲線：的右支上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)與雙曲線的左、右焦點(diǎn)，形成的三角形的內(nèi)切圓的半徑為，若的重心滿足，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．8．（2023下·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，的橢圓上一點(diǎn)（左右頂點(diǎn)除外），為恒成立，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（2023上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且滿足，若是的內(nèi)心，是的重心，記與的面積分別為，，則（

）A． B． C． D．與大小不確定10．（2023·河北衡水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上三點(diǎn)，當(dāng)時，稱為“和諧三角形”，則“和諧三角形”有A．0個 B．1個 C．3個 D．無數(shù)個11．（2023·吉林長春·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)、、在上，且的重心為，則的取值范圍為A． B． C． D．12．（2023下·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線（），F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為拋物線上的兩點(diǎn)，A，B的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為5，的重心為F，則（

）A．1 B．2 C．3 D．413．（2023下·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)校考期中）拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上兩點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的重心為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．414．（2023上·湖南·高三階段練習(xí)）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)，若的重心在軸右側(cè)，則的取值范圍是．15．（2023·高二課時練習(xí)）已知為雙曲線：上一點(diǎn)，，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，分別為的重心、內(nèi)心．若軸，則內(nèi)切圓的半徑為．16．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)為，，直線:與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，，的重心分別為，，若以為直徑的圓過原點(diǎn)，則（

）A．2 B． C． D．17．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線上有三個不同的點(diǎn)直線的斜率分別為.若滿足：.且的重心在直線（

）A． B． C． D．18．（2023·吉林·統(tǒng)考三模）設(shè)點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且的重心為點(diǎn)，如果，那么的面積為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二圓錐曲線與外心問題19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，過且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若的重心為，且，則直線的方程為．20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過作軸的垂線交橢圓與另一點(diǎn)（不與重合）．設(shè)的外心為，則的值為．21．（2023上·湖南益陽·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）F1，F(xiàn)2分別為雙曲線（a，b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，滿足0，若△PF1F2的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑之比為，則該雙曲線的離心率為.22．（2023上·湖南長沙·高三寧鄉(xiāng)一中階段練習(xí)）,分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，滿足，若的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑之比為，則該雙曲線的離心率為.23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中直線與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn)．若D為直線外一點(diǎn)，且的外心M在C上，則M的坐標(biāo)為．24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，在軸上，且，則外心的軌跡的方程；25．（2023·湖北·高三競賽）已知點(diǎn)在離心率為的雙曲線上，為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，且，則的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑之比為.26．（2023·浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的下頂點(diǎn)為，若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，則當(dāng)時，外心的橫坐標(biāo)最大．27．（2023上·上海金山·高二上海市金山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓和雙曲線其中若兩者圖像在第二象限的交點(diǎn)為A，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為B、C，T為△ABC的外心，則的值為.28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，過且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若的重心為，且，則直線的方程為．29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與相交于兩點(diǎn)．設(shè)過點(diǎn)作軸的垂線交于另一點(diǎn)，若是的外心，則的值為．30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，橢圓，拋物線，設(shè)、相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若的外心在橢圓上，則實(shí)數(shù)的值；31．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考一模）設(shè)為雙曲線的右焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，的外心為，且滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．32．（2023上·上海金山·高二上海市金山中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓和雙曲線其中若兩者圖像在第二象限的交點(diǎn)為A，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為B、C，T為△ABC的外心，則的值為.33．（2023·湖北宜昌·高二校聯(lián)考期末）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線，已知的頂點(diǎn)，，若其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo).34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在圓：上，直線與圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)為的外心，則線段長度的最大值為，當(dāng)線段長度最大時，則外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．考點(diǎn)三圓錐曲線與內(nèi)心問題35．（2023上·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，I是的內(nèi)心，且，則（

）A． B． C． D．36．（2023上·湖南衡陽·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)在橢圓：上，、為左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是內(nèi)心，連接并延長交線段于，則的值為A． B． C． D．37．（2023下·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上左支上動點(diǎn)，則三角形PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為G，若與的面積分別為，則取值范圍是38．（2023上·浙江金華·高二校聯(lián)考期末）已知為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上移動時，的內(nèi)心的軌跡方程為．39．（2023上·福建三明·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)是雙曲線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，分別為左、右焦點(diǎn)，為半焦距，的內(nèi)切圓與切于點(diǎn)，則.40．（2023上·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）過雙曲線右焦點(diǎn)的直線交兩漸近線于、兩點(diǎn)，若，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且內(nèi)切圓半徑為，則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．41．（2023·山東·校聯(lián)考一模）點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，分別為左、右焦點(diǎn).的內(nèi)切圓與軸相切于點(diǎn).若點(diǎn)為線段中點(diǎn)，則雙曲線離心率為（

）A． B．2 C． D．342．（2023下·湖北孝感·高二統(tǒng)考期中）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，為的內(nèi)心，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)P是雙曲線的上支上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的上、下焦點(diǎn)，則△PF1F2的內(nèi)切圓圓心M的坐標(biāo)一定適合的方程是（

）A．y=3 B．y=3 C．x2+y2=5 D．y=3x2244．（2023·遼寧·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)為為它的中心，為雙曲線右支上的一點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心為，且圓與軸相切于點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為，若雙曲線的離心率為，則A． B． C． D．與關(guān)系不確定45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若的內(nèi)切圓與軸切于點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．46．（2023·山西·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)，若為的內(nèi)心，且，則的方程可能是A． B．C． D．47．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)P為橢圓上任一點(diǎn)，，為其左右兩焦點(diǎn)，的內(nèi)心為I，則（

）A． B． C． D．48．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？家荒＃E圓的兩焦點(diǎn)是、，為橢圓上與、不共線的任意一點(diǎn)，為的內(nèi)心，延長交線段于點(diǎn)，則的值等于（

）A． B． C． D．49．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線（，）的兩條漸近線與拋物線（）的準(zhǔn)線分別交于A，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線的離心率為，的面積為，則的內(nèi)切圓半徑為（

）A． B． C． D．50．（2023上·河北石家莊·高三辛集中學(xué)階段練習(xí)）已知是橢圓上一點(diǎn)，，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是的內(nèi)心，延長交線段于，則的值為（）A． B． C． D．51．（2023上·云南昆明·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）設(shè)為橢圓:的兩個焦點(diǎn)．為上點(diǎn)，的內(nèi)心I的縱坐標(biāo)為，則的余弦值為.52．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過F2的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，△AF1F2的內(nèi)切圓半徑為r1，△BF1F2的內(nèi)切圓半徑為r2，若r1=2r2，則直線l的斜率為（）A．1 B． C．2 D．53．（2023·江西撫州·統(tǒng)考一模）點(diǎn)、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，則的內(nèi)切圓半徑的取值范圍是A． B． C． D．考點(diǎn)四圓錐曲線與垂心問題54．（2023上·天津和平·高二天津一中?？计谀╇p曲線的漸近線與拋物線相交于，，，若的垂心為的焦點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．55．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知：橢圓的右焦點(diǎn)為為上頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)為的垂心時，則的面積為．56．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在橢圓C：上，過點(diǎn)作直線交橢圓C于點(diǎn)的垂心為，若垂心在y軸上．則實(shí)數(shù)的取值范圍是．57．（2023上·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰為的垂心，則直線的方程為.58．（2023下·江蘇·高一?？计谀┮阎獌?nèi)接于拋物線，其中O為原點(diǎn)，若此內(nèi)接三角形的垂心恰為拋物線的焦點(diǎn)，則的外接圓方程為.59．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若曲線：上一點(diǎn)，是否存在直線與拋物線相交于兩不同的點(diǎn)，使的垂心為．則直線的方程為．60．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)