專題30 圓錐曲線與四心問題4種常見考法歸類（原卷版）

專題30圓錐曲線與四心問題4種常見考法歸類從近幾年圓錐曲線的命題風格看，既注重知識又注重能力，既突出圓錐曲線的本質(zhì)特征．而現(xiàn)在圓錐曲線中面積、弦長、最值等幾乎成為研究的常規(guī)問題．“四心”問題進入圓錐曲線，讓我們更是耳目一新．因此在高考數(shù)學復習中，通過讓學生研究三角形的“四心”與圓錐曲線的結(jié)合問題，快速提高學生的數(shù)學解題能力，增強學生的信心，備戰(zhàn)高考．一、三角形的重心1、三角形重心的定義三角形的重心：三角形三條邊上的中線交于一點，這一點就是三角形的重心．2、三角形重心常見結(jié)論（1）是△的重心；重心坐標：；（2）為△的重心，P為平面上任意點，則；（3）重心是中線的三等分點；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比是2：1；（4）重心與三角形的3個頂點組成的3個三角形的面積相等，即重心到3條邊的距離與3條邊的長成反比．（5）焦點三角形重心軌跡方程：①設點為橢圓的焦點三角形的重心，則點的軌跡方程為．②設點為雙曲線的焦點三角形的重心，則點的軌跡方程為．二、三角形的外心1、三角形外心的定義三角形的外心：三角形外接圓的圓心，稱為外心，三角形三條邊的垂直平分線的交點，就是三角形的外心．2、三角形外心重要結(jié)論（1）O是的外心（或）；（2）若點O是的外心，則=0．（3）若O是的外心，則；（4）斜三角形外心坐標：；（5）多心組合：的外心、重心、垂心共線，即∥；（6）焦點三角形外心軌跡方程：①動點為橢圓上異于橢圓頂點的一點，為橢圓的左、右焦點，設焦點三角形的外心為，則外心的軌跡方程為（或）．②動點為雙曲線上異于雙曲線頂點的一點，為雙曲線的左、右焦點，設焦點三角形的外心為，則外心的軌跡方程為．三、三角形的內(nèi)心1、三角形內(nèi)心的定義三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心，稱為內(nèi)心，三角形三條內(nèi)角平分線的交點，就是內(nèi)心．2、三角形內(nèi)心常見結(jié)論設的內(nèi)切圓為圓，切邊于，則有如下重要結(jié)論：（1）是的內(nèi)心（其中a、b、c為的三條邊）；（2）；（3）；（4）內(nèi)心點的坐標為；（5）三角形內(nèi)切圓的半徑求法：①任意三角形：（其中為的周長，為的面積）；②直角三角形：（其中a，b為直角邊，c為斜邊）；（6）焦點三角形內(nèi)心軌跡方程：①設點為橢圓的焦點三角形的內(nèi)心，則點的軌跡方程為：，其中．②設點為雙曲線的焦點三角形的內(nèi)心，則有：（1）當在雙曲線右支上時，點的軌跡方程為；（2）當在雙曲線左支上時，點的軌跡方程為．四、三角形的垂心1、三角形垂心的定義三角形的垂心：三角形三條邊上的高交于一點，這一點就是三角形的垂心．2、三角形垂心重要結(jié)論設分別是的外心、重心、垂心，則（1）；（2）三點共線，且（歐拉線）；（3）斜三角形垂心坐標：；（4）H是△的垂心；（5）垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離得2倍；（6）焦點三角形垂心軌跡方程：①橢圓的焦點三角形的垂心的軌跡方程為；②雙曲線的焦點三角形的垂心的軌跡方程為．考點一圓錐曲線與重心問題考點二圓錐曲線與外心問題考點三圓錐曲線與內(nèi)心問題考點四圓錐曲線與垂心問題考點一圓錐曲線與重心問題1．（2023下·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，已知，為原點，則重心的縱坐標為．2．（2023·福建莆田·統(tǒng)考一模）已知為坐標原點，為拋物線的焦點，過作直線與交于兩點．若，則重心的橫坐標為A． B．2 C． D．33．（2023·甘肅·校聯(lián)考一模）已知、分別是雙曲線的左、右頂點，為上一點，且在第一象限．記直線，的斜率分別為，，當取得最小值時，的重心坐標為（

）A． B． C． D．4．（2023上·重慶·高二重慶一中校考期中）已知是以為焦點的雙曲線上的動點，則的重心的軌跡方程為（）A． B．C． D．5．（2023上·河北石家莊·高二統(tǒng)考期中）已知是雙曲線（，）的左頂點，、分別為左、右焦點，為雙曲線上一點，是的重心，若，則雙曲線的離心率為A． B． C．D．與的取值有關6．（2023上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習）設，分別為橢圓的右頂點和右焦點，，為橢圓短軸的兩個端點，若點恰為的重心，則橢圓的離心率的值為.7．（2023·貴州貴陽·高三階段練習）在雙曲線：的右支上存在點，使得點與雙曲線的左、右焦點，形成的三角形的內(nèi)切圓的半徑為，若的重心滿足，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．8．（2023下·浙江·高二校聯(lián)考階段練習）已知、為橢圓的左、右焦點，的橢圓上一點（左右頂點除外），為恒成立，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（2023上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習）已知，，是第一象限內(nèi)的點，且滿足，若是的內(nèi)心，是的重心，記與的面積分別為，，則（

）A． B． C． D．與大小不確定10．（2023·河北衡水·統(tǒng)考模擬預測）已知為拋物線的焦點，為拋物線上三點，當時，稱為“和諧三角形”，則“和諧三角形”有A．0個 B．1個 C．3個 D．無數(shù)個11．（2023·吉林長春·高三校聯(lián)考階段練習）拋物線的焦點為，點、、在上，且的重心為，則的取值范圍為A． B． C． D．12．（2023下·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知拋物線（），F(xiàn)為拋物線的焦點，O為坐標原點，，為拋物線上的兩點，A，B的中點到拋物線準線的距離為5，的重心為F，則（

）A．1 B．2 C．3 D．413．（2023下·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學?？计谥校佄锞€的焦點為，是拋物線上兩點，且，為坐標原點，若的重心為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．414．（2023上·湖南·高三階段練習）設直線與橢圓相交于，兩點，為橢圓的左頂點，若的重心在軸右側(cè)，則的取值范圍是．15．（2023·高二課時練習）已知為雙曲線：上一點，，為雙曲線的左、右焦點，，分別為的重心、內(nèi)心．若軸，則內(nèi)切圓的半徑為．16．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知雙曲線：的左、右焦點為，，直線:與雙曲線相交于，兩點，，的重心分別為，，若以為直徑的圓過原點，則（

）A．2 B． C． D．17．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知拋物線上有三個不同的點直線的斜率分別為.若滿足：.且的重心在直線（

）A． B． C． D．18．（2023·吉林·統(tǒng)考三模）設點為橢圓上一點，、分別是橢圓的左、右焦點，且的重心為點，如果，那么的面積為（

）A． B． C． D．考點二圓錐曲線與外心問題19．（2023·全國·高三專題練習）在直角坐標系中，已知橢圓C：的左右焦點分別為，，過且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點，若的重心為，且，則直線的方程為．20．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，過的直線交橢圓于兩點，過作軸的垂線交橢圓與另一點（不與重合）．設的外心為，則的值為．21．（2023上·湖南益陽·高三統(tǒng)考階段練習）F1，F(xiàn)2分別為雙曲線（a，b>0）的左、右焦點，點P在雙曲線上，滿足0，若△PF1F2的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑之比為，則該雙曲線的離心率為.22．（2023上·湖南長沙·高三寧鄉(xiāng)一中階段練習）,分別為雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上，滿足，若的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑之比為，則該雙曲線的離心率為.23．（2023·全國·高三專題練習）在直角坐標系xOy中直線與拋物線C：交于A，B兩點．若D為直線外一點，且的外心M在C上，則M的坐標為．24．（2023·全國·高三專題練習）已知點，在軸上，且，則外心的軌跡的方程；25．（2023·湖北·高三競賽）已知點在離心率為的雙曲線上，為雙曲線的兩個焦點，且，則的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑之比為.26．（2023·浙江·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓的下頂點為，若直線與橢圓交于不同的兩點、，則當時，外心的橫坐標最大．27．（2023上·上海金山·高二上海市金山中學校考階段練習）已知橢圓和雙曲線其中若兩者圖像在第二象限的交點為A，橢圓的左右焦點分別為B、C，T為△ABC的外心，則的值為.28．（2023·全國·高三專題練習）在直角坐標系中，已知橢圓C：的左右焦點分別為，，過且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點，若的重心為，且，則直線的方程為．29．（2023·全國·高三專題練習）設橢圓的右焦點為，過的直線與相交于兩點．設過點作軸的垂線交于另一點，若是的外心，則的值為．30．（2023·全國·高三專題練習）如圖，橢圓，拋物線，設、相交于、兩點，為坐標原點．若的外心在橢圓上，則實數(shù)的值；31．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考一模）設為雙曲線的右焦點，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，線段的中點為，的外心為，且滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．32．（2023上·上海金山·高二上海市金山中學?？茧A段練習）已知橢圓和雙曲線其中若兩者圖像在第二象限的交點為A，橢圓的左右焦點分別為B、C，T為△ABC的外心，則的值為.33．（2023·湖北宜昌·高二校聯(lián)考期末）數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線，已知的頂點，，若其歐拉線方程為，則頂點的坐標.34．（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，點在圓：上，直線與圓交于，兩點（點在軸上方），點是拋物線上的動點，點為的外心，則線段長度的最大值為，當線段長度最大時，則外接圓的標準方程為．考點三圓錐曲線與內(nèi)心問題35．（2023上·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習）雙曲線的左、右焦點分別為，，P為雙曲線右支上一點，I是的內(nèi)心，且，則（

）A． B． C． D．36．（2023上·湖南衡陽·高二統(tǒng)考期中）已知點在橢圓：上，、為左、右焦點，點是內(nèi)心，連接并延長交線段于，則的值為A． B． C． D．37．（2023下·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左，右焦點F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線上左支上動點，則三角形PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為G，若與的面積分別為，則取值范圍是38．（2023上·浙江金華·高二校聯(lián)考期末）已知為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上移動時，的內(nèi)心的軌跡方程為．39．（2023上·福建三明·高二統(tǒng)考期中）已知點是雙曲線上除頂點外的任意一點，分別為左、右焦點，為半焦距，的內(nèi)切圓與切于點，則.40．（2023上·河北·高三校聯(lián)考階段練習）過雙曲線右焦點的直線交兩漸近線于、兩點，若，為坐標原點，且內(nèi)切圓半徑為，則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．41．（2023·山東·校聯(lián)考一模）點是雙曲線右支上一點，分別為左、右焦點.的內(nèi)切圓與軸相切于點.若點為線段中點，則雙曲線離心率為（

）A． B．2 C． D．342．（2023下·湖北孝感·高二統(tǒng)考期中）已知分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上一點，為的內(nèi)心，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．43．（2023·全國·高三專題練習）點P是雙曲線的上支上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的上、下焦點，則△PF1F2的內(nèi)切圓圓心M的坐標一定適合的方程是（

）A．y=3 B．y=3 C．x2+y2=5 D．y=3x2244．（2023·遼寧·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的左右焦點為為它的中心，為雙曲線右支上的一點，的內(nèi)切圓圓心為，且圓與軸相切于點，過作直線的垂線，垂足為，若雙曲線的離心率為，則A． B． C． D．與關系不確定45．（2023·全國·高三專題練習）設是雙曲線的右焦點，為坐標原點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若的內(nèi)切圓與軸切于點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．46．（2023·山西·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左?右焦點分別為，，為上一點，若為的內(nèi)心，且，則的方程可能是A． B．C． D．47．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）如圖所示，點P為橢圓上任一點，，為其左右兩焦點，的內(nèi)心為I，則（

）A． B． C． D．48．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？家荒＃E圓的兩焦點是、，為橢圓上與、不共線的任意一點，為的內(nèi)心，延長交線段于點，則的值等于（

）A． B． C． D．49．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線（，）的兩條漸近線與拋物線（）的準線分別交于A，兩點，為坐標原點，若雙曲線的離心率為，的面積為，則的內(nèi)切圓半徑為（

）A． B． C． D．50．（2023上·河北石家莊·高三辛集中學階段練習）已知是橢圓上一點，，是橢圓的左，右焦點，點是的內(nèi)心，延長交線段于，則的值為（）A． B． C． D．51．（2023上·云南昆明·高三云南師大附中?？茧A段練習）設為橢圓:的兩個焦點．為上點，的內(nèi)心I的縱坐標為，則的余弦值為.52．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左焦點和右焦點，過F2的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點，△AF1F2的內(nèi)切圓半徑為r1，△BF1F2的內(nèi)切圓半徑為r2，若r1=2r2，則直線l的斜率為（）A．1 B． C．2 D．53．（2023·江西撫州·統(tǒng)考一模）點、分別是雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上，則的內(nèi)切圓半徑的取值范圍是A． B． C． D．考點四圓錐曲線與垂心問題54．（2023上·天津和平·高二天津一中?？计谀╇p曲線的漸近線與拋物線相交于，，，若的垂心為的焦點，則（

）A． B． C． D．55．（2023·全國·高三專題練習）已知：橢圓的右焦點為為上頂點，為坐標原點，直線交橢圓于兩點，當為的垂心時，則的面積為．56．（2023·全國·高三專題練習）已知點在橢圓C：上，過點作直線交橢圓C于點的垂心為，若垂心在y軸上．則實數(shù)的取值范圍是．57．（2023上·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的上頂點為，直線與該橢圓交于兩點，且點恰為的垂心，則直線的方程為.58．（2023下·江蘇·高一?？计谀┮阎獌?nèi)接于拋物線，其中O為原點，若此內(nèi)接三角形的垂心恰為拋物線的焦點，則的外接圓方程為.59．（2023·全國·高三專題練習）若曲線：上一點，是否存在直線與拋物線相交于兩不同的點，使的垂心為．則直線的方程為．60．（2023·全國·高三專題練習）已知點在拋物線上，點