新教材同步輔導2023年高中數(shù)學第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.2一元線性回歸模型及其應用分層演練新人教A版選擇性必修第三冊

8.2一元線性回歸模型及其應用A級基礎鞏固1.多選題(2023·深圳二模)為了研究y關于x的線性相關關系,收集了5組樣本數(shù)據(jù)如下表:x12345y0.50.811.21.5假設經(jīng)驗回歸方程為y＾=b＾x+0.28,則(A.b^=0.B.當x=8時,y的預測值為2.2C.樣本數(shù)據(jù)y的40%分位數(shù)為0.8D.去掉樣本點(3,1)后,x與y的樣本相關系數(shù)r不變解析:由題意,可得x=(1+2+3+4+5)×15=y=(0.5+0.8+1+1.2+1.5)×15=1,所以樣本點的中心坐標為(3,1),代入y＾=b＾x+0.28,得b＾=1-0.28經(jīng)驗回歸方程為y＾=0.24x+0.28,取x=8,得y＾=0.24×8+0.28=2.2,故選項B樣本數(shù)據(jù)y的40%分位數(shù)為0.8+12=0.9,故選項由相關系數(shù)公式可知,去掉樣本點(3,1)后,x與y的樣本相關系數(shù)r不變,故選項D正確.答案:ABD2.在大學生建模比賽中,編號為1,2,3,4的4名同學對得到的數(shù)據(jù)進行分析,其中對變量x,y進行回歸分析,得到的結果如表所示.編號1234殘差平方和12.3713.989.81714.32決定系數(shù)R20.87340.93020.95920.7665則這4名同學中建立的經(jīng)驗回歸方程的擬合效果最好的是()A.1號B.2號C.3號D.4號解析:根據(jù)回歸分析的思想,殘差平方和越小,模型擬合效果越好,決定系數(shù)R2越接近于1,經(jīng)驗回歸方程的擬合效果越好,所以由表格中的數(shù)據(jù)得出3號同學的經(jīng)驗回歸方程擬合效果最好.答案:C3.根據(jù)表中的樣本數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗回歸方程為y＾=b＾x+a＾,若a＾=7.9,則x每增加1,估計yx34567y42.5-0.50.5-2A.增加1.4 B.減少1.4 C.增加1 D.減少1解析:由題意可得,x=5,y=0.9.因為經(jīng)驗回歸方程為y＾=b＾x+a＾,a＾且經(jīng)驗回歸直線過點(5,0.9),所以0.9=5b＾+7.9,解得b＾=-1所以x每增加1,估計y減少1.4.答案:B4.多選題下列關于回歸分析的說法中正確的是()A.回歸直線一定過樣本中心(x,y)B.殘差圖中殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中,說明選用的模型比較合適C.甲、乙兩個模型的R2分別約為0.98和0.80,則模型乙的擬合效果更好D.兩個模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好解析:對于A選項,回歸直線一定過樣本中心(x,y),A選項正確;對于B選項,殘差圖中殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中,說明選用的模型比較合適,B選項正確;對于C選項,甲、乙兩個模型的R2分別約為0.98和0.80,則模型甲的擬合效果更好,C選項錯誤;對于D選項,兩個模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好,D選項正確.答案:ABD5.四張殘差圖如圖所示,其中模型的擬合效果最好的是()ABCD解析:四張殘差圖中,只有選項A,B中的殘差圖中的殘差是均勻地分布在以橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi),且選項B中的殘差分布集中在更狹窄的范圍內(nèi),所以選項B中模型的擬合效果最好.答案:BB級能力提升6.已知一組觀測數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)之間滿足yi=bxi+a+ei(i=1,2,…,n),若ei恒為0,則R2的值為1.解析:由ei恒為0,知yi=y＾i,即yi-y＾i=0,故R2=1-∑i=1n7.某考察團對全國十個城市居民人均工資水平x(單位:千元)與居民人均消費水平y(tǒng)(單位:千元)進行統(tǒng)計調(diào)查,調(diào)查發(fā)現(xiàn)y與x具有線性相關關系,經(jīng)驗回歸方程為y＾=0.66x+1.562.若其中某城市居民人均消費水平為7.675千元,則該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為83%解析:將y=7.675代入經(jīng)驗回歸方程y＾=0.66x+1.可計算得x≈9.262,所以該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為7.67598.多選題(2023·湛江一模)某服裝生產(chǎn)商為了解青少年的身高和體重的關系,在15歲的男生中隨機抽測了10人的身高和體重,數(shù)據(jù)如下表所示:編號12345678910身高/cm165168170172173174175177179182體重/kg55896165677075757880由表中數(shù)據(jù)制作成的散點圖如圖所示.由最小二乘法計算得到經(jīng)驗回歸直線l1的方程為y＾=b＾1x+a＾1,相關系數(shù)為r1,決定系數(shù)為R12;經(jīng)過殘差分析確定(168,89)為離群點(對應殘差過大),把它去掉后,再用剩下的9組數(shù)據(jù)計算得到經(jīng)驗回歸直線l2的方程為y＾=b＾2x+a＾2,A.a＾1>B.b＾1C.r1<r2 D.R12解析:由題意知,身高的平均數(shù)為(165+168+170+172+173+174+175+177+179+182)×110=173.5,因為離群點(168,89)的橫坐標168小于平均值173.5,縱坐標89相對過大,所以去掉離群點后經(jīng)驗回歸直線的截距變小而斜率變大,所以a＾1>a＾2,b＾1<b＾2,所以選項A正確,選項B錯誤;去掉離群點后成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度更強,擬合效果會更好,所以r1<r2,R12答案:AC9.某車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此進行了四次試驗,所得數(shù)據(jù)如下表所示:加工零件的數(shù)量x/個2345加工的時間y/h2.5344.5(1)求y關于x的經(jīng)驗回歸方程.(2)預測加工10個零件需要多少時間?參考公式:b＾=∑i=1n(xi-x解:(1)由已知可得,x=3.5,y=3.5,∑i=14xiyi=2×2.5+3×3+4×4+5×4.5=52.5,∑i=14xi2=所以b＾=∑i=14(x所以a＾=3.5-0.7×3.5=1.所以所求經(jīng)驗回歸方程為y＾=0.7x+1.05(2)當x=10時,y＾=0.7×10+1.05=8.所以預測加工10個零件需要8.05h.C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新10.已知函數(shù)模型y=sin2α+2sinα+1,若將y轉(zhuǎn)化為關于t的經(jīng)驗回歸方程,則需作變換t=(sinα+1)2.

解析:因為要轉(zhuǎn)化為y關于t的經(jīng)驗回歸方程,實際上就是y關于t的一次函數(shù).由y=(sinα+1)2,若令t=(sinα+1)2,則可得y與t的函數(shù)關系式為y=t,此時變量y與變量t呈現(xiàn)出線性相關關系.11.某共享單車企業(yè)在A城市就“每天一輛單車平均成本y(單位:元)與租用單車數(shù)量x(單位:千輛)之間的關系”進行了調(diào)查,并將相關數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表所示.x23458y3.22.421.91.5根據(jù)以上數(shù)據(jù),研究人員設計了兩種不同的回歸分析模型,得到兩個擬合函數(shù):模型甲:y＾(1)=4模型乙:y＾(2)=6.(1)為了評價兩種模型的擬合效果,完成以下任務:①完成下表(計算結果精確到0.1元);②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和Q1及Q2,并通過比較Q1,Q2的大小,判斷哪個模型擬合效果更好.xy模型甲模型乙y殘差ey殘差e23.232.42.402.30.1422.002.0051.91.80.11.9081.51.40.1(2)這家企業(yè)在A城市投放共享單車后,受到廣大市民的熱烈歡迎并供不應求,于是該企業(yè)決定增加單車的投放量.根據(jù)市場調(diào)查,市場投放量達到1萬輛時,平均每輛單車一天能收入8元、6元的概率分別為0.6,0.4;市場投放量達到1.2萬輛時,平均每輛單車一天能收入8元、6元的概率分別為0.4,0.6.若按(1)中擬合效果較好的模型計算一天中一輛單車的平均成本,則該企業(yè)投放量選擇1萬輛還是1.2萬輛能獲得更多利潤?(利潤=收入-成本)請說明理由.解:(1)①經(jīng)計算,可得下表:xy模型甲模型乙y殘差ey殘差e23.23.203.2032.42.402.30.1422.002.0051.91.80.11.9081.51.40.11.7-0.2②由①中數(shù)據(jù),得Q1=0.12+0.12=0.02,Q2=0.12+(-0.2)2=0.05.因為Q1<Q2,所以模型甲的擬合效果更好.(2)若投放量為1萬輛,由(1)中模型甲可知,每天一輛單車平均成本約為4.810+0.8=