理論力學(xué)03空間力系的簡(jiǎn)化和平衡

1第三章空間力系的簡(jiǎn)化和平衡2靜力學(xué)

工程中常常存在著很多各力的作用線不在同一平面內(nèi)的力系，即空間力系，空間力系是最一般的力系。

(a)圖為空間匯交力系；(b)圖為空間任意力系；

(b)圖中去了風(fēng)力為空間平行力系。迎面風(fēng)力側(cè)面風(fēng)力b3第五章空間力系§5–1空間匯交力系

§5–2空間力偶系

§5–3力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)軸的矩

§5–4空間一般力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化

§5–5空間一般力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論

§5–6空間一般力系的平衡方程及應(yīng)用

§5–7平行力系的中心與物體的重心習(xí)題課4靜力學(xué)一、空間力的投影（與力的分解）：

1.力在空間的表示： 力的三要素：大小、方向、作用點(diǎn)(線)

大小： 作用點(diǎn)：在物體的哪點(diǎn)就是哪點(diǎn)

方向：由、、g三個(gè)方向角確定 由仰角

與俯角

來(lái)確定。bgqFxyO§3-1空間匯交力系5靜力學(xué)2、一次投影法〔直接投影法〕由圖可知：3、二次投影法〔間接投影法〕當(dāng)力與各軸正向夾角不易確定時(shí)，可先將F投影到xy面上，然后再投影到x、y軸上，即6靜力學(xué)4、力沿坐標(biāo)軸分解：若以 表示力沿直角坐標(biāo)軸的正交分量，則：而：所以：FxFyFz7靜力學(xué)

1、幾何法：與平面匯交力系的合成方法相同，也可用力多邊形方法求合力。 即：合力等于各分力的矢量和2、解析法： 由于 代入上式 合力 由 為合力在x軸的投影，∴二、空間匯交力系的合成與平衡：8靜力學(xué)3、合力投影定理：空間力系的合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。9靜力學(xué)

稱為平衡方程空間匯交力系的平衡方程∴解析法平衡充要條件為：∴幾何法平衡充要條件為該力系的力多邊形封閉?？臻g匯交力系平衡的充要條件是：力系的合力為零，即：10靜力學(xué)

在平面中：力對(duì)點(diǎn)的矩是代數(shù)量。在空間中：力對(duì)點(diǎn)的矩是矢量。

[例]汽車反鏡的球鉸鏈§3-2空間力矩理論一、力對(duì)點(diǎn)的矩的矢量表示如果r表示A點(diǎn)的矢徑，那么：11靜力學(xué)即：力對(duì)點(diǎn)的矩等于矩心到該力作用點(diǎn)的矢徑與該力的矢量積。兩矢量夾角為O力矩矢在直角坐標(biāo)中的三個(gè)投影12靜力學(xué)定義： 它是代數(shù)量，方向規(guī)定+–二、力對(duì)軸的矩結(jié)論：力對(duì)//它的軸的矩為零。即力F與軸共面時(shí)，力對(duì)軸之矩為零。[證]力對(duì)空間點(diǎn)之矩在該軸上的投影13靜力學(xué)力對(duì)軸之矩的計(jì)算方法：1、先將力向該軸的正交平面分解，再計(jì)算該分力對(duì)軸的平面力矩。2、力矩關(guān)系定理

定理：力對(duì)軸之矩等于該力對(duì)軸上任意一點(diǎn)之矩在該軸上的投影。這就是力對(duì)點(diǎn)之矩與對(duì)通過(guò)該點(diǎn)軸之矩的關(guān)系。

即：需要證明設(shè)轉(zhuǎn)軸為Z軸，其上任一點(diǎn)為原點(diǎn)O，到力作用線上任一點(diǎn)之距離為下式表達(dá)r14靜力學(xué)比較即得：前述有：一般推導(dǎo)時(shí)各量均應(yīng)設(shè)為正值15靜力學(xué)力對(duì)任意軸之矩的求法：先求出力對(duì)該軸上任意一點(diǎn)之矩，再在該軸的方向做投影---與該軸矢量做點(diǎn)積。等于這力對(duì)于該軸的矩。兩平面的法矢分別為：軸線方程：軸方向矢：對(duì)任意軸的矩16靜力學(xué)17靜力學(xué)§3-3空間力偶理論

由于空間力偶除大小、轉(zhuǎn)向外，還必須確定力偶的作用面，所以空間力偶矩必須用矢量表示。 一、力偶矩用矢量表示：力偶的轉(zhuǎn)向?yàn)橛沂致菪敲?。從力偶矢末端看去，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正?？臻g力偶是一個(gè)自由矢量。18[證]①作平面II//Ⅰ，線段cd//ab ②各作一對(duì)平衡力作用在c、d點(diǎn)并使其與F1平行和相等 ③由ad、bc點(diǎn)平行力合成得-R=R' ④在I內(nèi)的力偶〔F1，F(xiàn)1‘〕等效變成II內(nèi)的〔F2，F(xiàn)2'〕靜力學(xué)力偶等效定理作用在同一剛體的兩平行平面的兩個(gè)力偶，假設(shè)它們的轉(zhuǎn)向相同，力偶矩的大小相等，那么兩個(gè)力偶等效。 19靜力學(xué)空間力偶系的合成與平衡由于空間力偶系是自由矢量，只要方向不變，可移至任意一點(diǎn)，故可使其滑至匯交于某點(diǎn)，由于是矢量，它的合成符合矢量運(yùn)算法那么。合力偶矩=分力偶矩的矢量和顯然空間力偶系的平衡條件是：20靜力學(xué)

把研究平面一般力系的簡(jiǎn)化方法拿來(lái)研究空間一般力系的簡(jiǎn)化問(wèn)題，但須把平面坐標(biāo)系擴(kuò)充為空間坐標(biāo)系?！?-4空間任意力系的簡(jiǎn)化和平衡

設(shè)作用在剛體上有空間一般力系向O點(diǎn)簡(jiǎn)化〔O點(diǎn)任選〕一、空間任意力系向指定點(diǎn)簡(jiǎn)化21靜力學(xué)①根據(jù)力線平移定理，將各力平行搬到O點(diǎn)得到一空間匯交力系：和附加力偶系

[注意] 分別是各力對(duì)O點(diǎn)的矩。②由于空間力偶是自由矢量，總可匯交于O點(diǎn)。22靜力學(xué)③合成 得主矢即 〔主矢過(guò)簡(jiǎn)化中心O， 且與O點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)〕合成 得主矩即： 〔主矩與簡(jiǎn)化中心O有關(guān)〕23靜力學(xué)假設(shè)取簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么：主矢大小主矢方向根據(jù)力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩的關(guān)系:那么主矩大小為：主矩方向： 24靜力學(xué)

二、空間任意力系的平衡條件：所以空間任意力系的平衡方程為：

還有四矩式，五矩式和六矩式， 同時(shí)各有一定限制條件。25靜力學(xué)空間匯交力系的平衡方程為： 因?yàn)楦髁€都匯交于一點(diǎn)，各軸都通過(guò) 該點(diǎn)，故各力矩方程都成為了恒等式。空間平行力系的平衡方程，設(shè)各力線都//z軸。

因?yàn)? 均成為了恒等式。26靜力學(xué)

空間一般力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化得一主矢和主矩，下面針對(duì)主矢、主矩的不同情況分別加以討論。三空間一般力系簡(jiǎn)化結(jié)果的分析1、若 ,則該力系平衡（下節(jié)專門討論）。2、若 則力系可合成一個(gè)合力偶，其矩等于原力系對(duì)于簡(jiǎn)化中心的主矩MO。此時(shí)主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。3、若 則力系可合成為一個(gè)合力，主矢等于原力系合力矢，合力通過(guò)簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)。（此時(shí)與簡(jiǎn)化中心有關(guān)，換個(gè)簡(jiǎn)化中心，主矩不為零）

27靜力學(xué)

4、若 此時(shí)分兩種情況討論。即：①

②

①若 時(shí)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化，將MO變成(

R'',R)使R'與R''抵消只剩下R。28靜力學(xué)②若 時(shí)，——為力螺旋的情形（新概念，又移動(dòng)又轉(zhuǎn)動(dòng)）[例]①擰螺絲

②炮彈出膛時(shí)炮彈螺線③R′不平行也不垂直M0，最一般的成任意角

在此種情況下，<1>首先把MO

分解為M//和M

<2>將M//和M

分別按①、②處理。''29靜力學(xué)M

使主矢R'搬家，搬家的矩離：所以在O'點(diǎn)處形成一個(gè)力螺旋。因?yàn)镸//是自由矢量，可將M//搬到O'處M//不變，

結(jié)論：空間力系最終可簡(jiǎn)化成四種情況之一：一力、力偶、力螺旋或平衡。因此空間力系的最簡(jiǎn)力系為一力、或一力偶、或一力螺旋.30靜力學(xué)[注意]力系簡(jiǎn)化中的不變量〔不隨簡(jiǎn)化中心改變〕有：R′，M//簡(jiǎn)化中心為O時(shí)：為M當(dāng)簡(jiǎn)化中心為O′時(shí)，為M′ 但M//總是不變的〔它是原力系中的力偶與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)〕

31靜力學(xué)定理：合力對(duì)任一點(diǎn)的矩，等于各分力對(duì)同一點(diǎn)的矩的矢量和 即：四、合力矩定理以匯交力系為例 [證]

R

x

y

z

O

Fn

F3

F2

F1Ar32靜力學(xué)將向坐標(biāo)軸投影，得定理：合力對(duì)任一軸的矩，等于各分力對(duì)同一軸的矩的代數(shù)和合力矩定理不僅對(duì)匯交力系成立，而且對(duì)一般力系也成立。33靜力學(xué)例3.4在邊長(zhǎng)為a的正方體頂點(diǎn)O、F、C和E上作用有大小都等于P的力，方向如圖。求此力系的最終簡(jiǎn)化結(jié)果。先分解再合成34靜力學(xué)點(diǎn)積為零作用線方程35靜力學(xué)例3.6正方形薄板ABCD，邊長(zhǎng)為a，由6根直桿支撐，板和各桿均在立方體ABCDEFGH的面上；如下圖。在A點(diǎn)沿板邊AD作用水平力P，板和各桿的重量不計(jì)。求各桿內(nèi)力。解：為了畫圖表示更清，我們假設(shè)各桿受壓，各桿對(duì)板的作用力如圖?！颈“錋BCD】36靜力學(xué)僅FN2有矩N5，僅N6未知37靜力學(xué)以上解題過(guò)程并不是唯一的，比方，在求出N5后，可以將力系向AB軸投影求出N2；可以在一開始，將力系向BC軸投影求出N4；等等。通過(guò)上例可見(jiàn)，在空間力系平衡問(wèn)題的求解中，如果將力投影軸和計(jì)算力矩的軸選取適宜、平衡計(jì)算的順序選取適宜，計(jì)算工作可以大大簡(jiǎn)化，希望學(xué)生通過(guò)練習(xí)掌握這種技能38靜力學(xué)

空間平行力系，當(dāng)它有合力時(shí)，合力的作用點(diǎn)C

就是此空間平行力系的中心。而物體重心問(wèn)題可以看成是空間平行力系中心的一個(gè)特例。§3-5平行力系中心與重心一、空間平行力系的中心1、平行力系的中心

由合力矩定理：合力作用線上任一點(diǎn)矢徑為39靜力學(xué)其中e為正方向的單位矢量注意e方向的任意性，即有：rc為合力作用線上一點(diǎn)的矢徑；與平行力系的指向無(wú)關(guān)；由于力系中各力大小一定、相對(duì)剛體有固定作用點(diǎn)，即對(duì)于取定的固定點(diǎn)O，矢徑r為常矢量，它代表剛體內(nèi)一個(gè)確定的點(diǎn)C，無(wú)論平行力系中各力繞各自的作用點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，其合力作用線總是通過(guò)剛體內(nèi)一個(gè)確定的點(diǎn)C，點(diǎn)C就是平行力系中心。40靜力學(xué)如果把物體的重力都看成為平行力系，那么求重心問(wèn)題就是求平行力系的中心問(wèn)題。由合力矩定理：

物體分割的越多，每一小部分體積越小，求得的重心位置就越準(zhǔn)確。在極限情況下，(n-)，常用積分法求物體的重心位置。二、物體的重心：41靜力學(xué)設(shè)

i表示第i個(gè)小部分每單位體積的重量，⊿Vi第i個(gè)小體積，則 代入上式并取極限，可得：式中 ，上式為重心C坐標(biāo)的精確公式。對(duì)于均質(zhì)物體，

=恒量，上式成為：同理對(duì)于薄平面和細(xì)長(zhǎng)桿均可寫出相應(yīng)的公式。42靜力學(xué)

根據(jù)平行力系中心位置與各平行力系的方向無(wú)關(guān)的性質(zhì)，將力線轉(zhuǎn)成與y軸平行，再應(yīng)用合力矩定理對(duì)x軸取矩得：綜合上述得重心坐標(biāo)公式為：若以△Pi=△mig,P=Mg

代入上式可得質(zhì)心公式43靜力學(xué)同理：可寫出均質(zhì)體，均質(zhì)板，均質(zhì)桿的形心〔幾何中心〕坐標(biāo)分別為：44解：由于對(duì)稱關(guān)系，該圓弧重心必在Ox軸，即yC=0。取微段下面用積分法求物體的重心實(shí)例：[例]求半徑為R，頂角為2

的均質(zhì)圓弧的重心。O靜力學(xué)45靜力學(xué)三、重心的求法：①組合法例3.7求出圖示兩種平面圖形〔陰影局部〕的重心坐標(biāo) 解：46靜力學(xué)解：

求：該組合體的重心？已知：47靜力學(xué)簡(jiǎn)單圖形的面積及重心坐標(biāo)公式可由表中查出。②實(shí)驗(yàn)法：

<1>懸掛法 <2>稱重法48

第3章空間力系

3.8〔力偶平衡〕；3.10〔匯交力平衡〕；3.14，3.16〔練習(xí)空間力系取矩方法3.17〔質(zhì)心〕習(xí)題49靜力學(xué)

一、概念及內(nèi)容：

1、空間力偶及空間力對(duì)點(diǎn)之矩是矢量，

2、空間力對(duì)軸之矩和平面力偶、平面力對(duì)點(diǎn)之矩是代數(shù)量。

3、空間力系合力投影定理：

4、空間力系的合力矩定理：

5、空間力對(duì)點(diǎn)之矩與對(duì)軸之矩的關(guān)系：第三章《空間力系》習(xí)題課50靜力學(xué)二、根本方程1、空間力系的平衡方程空間一般力系空間匯交力系空間力偶系空間∥x軸力系空間∥xoy

平面的力系四矩式、五矩式和六矩式的附加條件均為使方程式獨(dú)立。51靜力學(xué)三、解題步驟、技巧與注意問(wèn)題：

1、解題步驟：①選研究對(duì)象

(與平面的相同)②畫受力圖 ③選坐標(biāo)、列方程 ④解方程、求出未知數(shù)2、空間力系的幾個(gè)問(wèn)題：①x,y,z(三個(gè)取矩軸和三個(gè)投影軸可以不重合)可以任選的六個(gè)軸。②取矩方程不能少于三個(gè)〔∵M(jìn)O是矢量〕③空間力系獨(dú)立方程六個(gè)〔∵空間物體六個(gè)自由度〕平面三個(gè)自由度④空間力系中也包括摩擦問(wèn)題。52靜力學(xué)2、解題技巧：①用取矩軸代替投影軸，解題常常方便②投影軸盡量選在與未知力，力矩軸選在與未知力平行或相交

③一般從整體—>局部的研究方法。④摩擦力F=Nf，方向與運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)方向相反。3、注意問(wèn)題：①力偶在投影軸中不出現(xiàn)〔即在投影方程中不出現(xiàn)〕②空間力偶是矢量，平面力偶是代數(shù)量。③求物體重心問(wèn)題常用組合法。對(duì)于均質(zhì)物體，重心、中心、形心為同一點(diǎn)。53例題54靜力學(xué)[例1]:P=20