江蘇省南京市鼓樓區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

PAGEPAGE1江蘇省南京市鼓樓區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槿?，集合，所?故選：B.2.已知函數(shù)則（）A. B. C.35 D.53【答案】C【解析】由題意知，所以.故選：C.3.是的（）A充分且不必要條件 B.必要且不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)?，且，所以，所以是的充要條件.故選：C.4.學(xué)校宿舍與辦公室相距.某同學(xué)有重要材料要送交給老師，從宿舍出發(fā)，先勻速跑步來(lái)到辦公室，停留，然后勻速步行返回宿含.在這個(gè)過(guò)程中，這位同學(xué)行進(jìn)的速度和行走的路程都是時(shí)間的函數(shù)，則速度函數(shù)和路程函數(shù)的示意圖分別是下面四個(gè)圖象中的（）②③④A.①② B.③④ C.①④ D.②③【答案】A【解析】設(shè)行進(jìn)的速度為m/min，行走的路程為Sm，則，且，由速度函數(shù)及路程函數(shù)的解析式可知，其圖象分別為①②.故選：A.5.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，因此AB錯(cuò)，C表達(dá)方式錯(cuò)，D正確．故選：D．6.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則（）A. B.C. D.在上單調(diào)遞減【答案】B【解析】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，取，滿足條件，但，故A錯(cuò)誤；由偶函數(shù)及單調(diào)性知成立，故B正確；因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，故無(wú)意義，故不成立，故C錯(cuò)誤；取，滿足題意，但在上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.故選：B.7.已知：當(dāng)時(shí)，成立，若是的小數(shù)部分，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，由于，所以，故.故選：C.8.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對(duì)于，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，即；對(duì)于，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即；對(duì)于，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即；綜上所述，故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合通目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.若，，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】選項(xiàng)A，時(shí)，左邊為正，右邊為負(fù)，錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，由根式的定義知正確；選項(xiàng)C，由冪的乘法法則知正確；選項(xiàng)D，由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，一般不等于，錯(cuò)誤.故選：BC．10.若，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由題，對(duì)于A，，所以A正確；對(duì)于B，，所以B正確；對(duì)于C，令滿足，但，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以不同時(shí)為0，則，所以D正確.故選：ABD.11.在教材的“閱讀”材料中談到如下內(nèi)容.德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾根據(jù)人們?cè)谟?jì)數(shù)時(shí)運(yùn)用的“一一對(duì)應(yīng)”思想給出了兩個(gè)集合“等勢(shì)”的概念：若兩個(gè)無(wú)限集的元素之間能建立起一一對(duì)應(yīng)，則稱這兩個(gè)集合等勢(shì).由此，下列四組無(wú)限集合中等勢(shì)的有（）A.和 B.和 C.和 D.和【答案】AC【解析】對(duì)于A，對(duì)任意，可建立到的一一對(duì)應(yīng)；所以A正確；對(duì)于C，對(duì)任意時(shí)對(duì)應(yīng)中的，時(shí)對(duì)應(yīng)中的，可建立一一對(duì)應(yīng)；所以C正確；對(duì)于，整數(shù)集與實(shí)數(shù)集，自然數(shù)集與實(shí)數(shù)集，之間都無(wú)法建立一一對(duì)應(yīng)，所以錯(cuò)誤.故選：AC.12.關(guān)于函數(shù)的下列四個(gè)說(shuō)法中，正確的是（）A.若對(duì)一切實(shí)數(shù)成立，則是增函數(shù)B.若對(duì)一切實(shí)數(shù)成立，則C.若對(duì)一切實(shí)數(shù)成立，則的圖象關(guān)于軸對(duì)稱D.若對(duì)一切實(shí)數(shù)成立，其中且，則是奇函數(shù)或偶函數(shù)【答案】BC【解析】若，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，顯然，即對(duì)一切實(shí)數(shù)成立，但不是增函數(shù)，故A錯(cuò)；由可得，所以，故B正確；由可得，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故C正確；若，滿足，但函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.命題“，”的否定是________________.【答案】，【解析】根據(jù)全稱命題的否定可知：命題“，”的否定是命題“，”.故答案為：，.14.函數(shù)的定義域?yàn)開____________.【答案】【解析】要使函數(shù)有意義須，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.15.若正數(shù)，，滿足，，則的最大值是______.【答案】【解析】由題意，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，即的最小值是.故答案為：．16.已知函數(shù)是奇函數(shù)，不等式組的解集為，且，滿足，，則______，______.【答案】0【解析】的定義域?yàn)?，又函?shù)是奇函數(shù)，所以定義域關(guān)于對(duì)稱，從而，即，當(dāng)時(shí)，，，故；，不等式組等價(jià)于，因?yàn)槠浣饧癁椋情_區(qū)間，所以函數(shù)在不單調(diào)，所以；又，所以，因此，是的兩個(gè)正根，即，所以，解得，又因?yàn)?，所以，即，解得或（舍?故答案為：0.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知集合，.（1）若，求；（2）若，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，所以，所?（2），若，則，所以的取值范圍為.18.（1）求值：；（2）已知，用表示式子：.解：（1）.（2），因?yàn)?，所以，所以，所?19.隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)，旅游成了眾多家庭的重要生活方式，A，兩地景區(qū)自2010年開始，采取了不同的政策：A地提高景區(qū)門票價(jià)格到120元/人，地取消了景區(qū)門票.政策實(shí)施后，A地的游客人次近似于直線上升（線性增長(zhǎng)），地的游客人次近似于指數(shù)增長(zhǎng)（如圖所示）.已知：①2011年度，A地的游客人次為600萬(wàn)，地的游客人次為300萬(wàn)；②從2011年度開始，A地游客人次的年增加量近似為10萬(wàn)人次，地游客人次的年增長(zhǎng)率近似為20%；③平均每位游客出游一次可給當(dāng)?shù)貛?lái)500元收入（不含門票）；（1）填空：2014年度，地的年度游客人次近似為______萬(wàn)；（2）從2011年度開始，分別估計(jì)多少年后，A地，地的年度旅游收入開始超過(guò)50億元？（3）結(jié)合（2），談?wù)勀愕目捶?（附參考數(shù)據(jù)：，，，，，）解：（1）2014年度，地的年度游客人次為萬(wàn).（2）設(shè)從2011年度開始，估計(jì)年后，A地的年度旅游收入為（單位：萬(wàn)元），則，得，令，得，解得，所以，估計(jì)21年后，A地的年度旅游收入開始超過(guò)50億元，由題意，年后，地的年度旅游收入為萬(wàn)元，，，，所以，估計(jì)7年后，地的年度旅游收入開始超過(guò)50億元，或者令，得，因?yàn)?，，結(jié)合圖像，所以，估計(jì)7年后，地的年度旅游收入開始超過(guò)50億元.（3）指數(shù)增長(zhǎng)讓地的游客人次增長(zhǎng)很快，取消門票，反而有利于促進(jìn)消費(fèi)，拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)：或者，地景區(qū)的政策更有利于地方經(jīng)濟(jì)的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展；或者，一段時(shí)間后，地景區(qū)的收入明顯超過(guò)A地景區(qū)，不同的政策有不同的結(jié)果．20.已知，命題：，命題：函數(shù)在上存在零點(diǎn).（1）若是真命題，求的取值范圍；（2）若，中有一個(gè)為真命題，另一個(gè)為假命題，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)檎婷}，所以成立，解得.（2）若為真命題，則函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則方程在上有解，因?yàn)?，該方程在有解時(shí)兩解同號(hào)，所以方程在上有兩個(gè)正根，則，得，若為真命題，為假命題，得，若為假命題，為真命題，得，所以的取值范圍為或.21.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求在上的取值范圍；（2）求的函數(shù)關(guān)系式；（3）設(shè)，若對(duì)于任意，都存在，使得，求正數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以在上的值域?yàn)?（2）因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以；設(shè)，則，所以；又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，所以（3）因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏线f增，所以在上遞增，所以，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏线f減，在上遞增，此時(shí)，因?yàn)椋?，所以，所以不符合題意，綜上，.22.已知函數(shù).（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，試運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義判定的單調(diào)性；（3）設(shè)，若在時(shí)有解，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，所?（2