2024屆天津市部分區(qū)五區(qū)縣八上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆天津市部分區(qū)（五區(qū)縣)八上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．已知三角形的三邊長(zhǎng)為6,8,10，則這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高為（）A．2.4 B．4.8 C．9.6 D．102．某工廠的廠門(mén)形狀如圖(廠門(mén)上方為半圓形拱門(mén))，現(xiàn)有四輛裝滿(mǎn)貨物的卡車(chē)，外形寬都是2.0米，高分別為2.8米，3.1米，3.4米，3.7米，則能通過(guò)該工廠廠門(mén)的車(chē)輛數(shù)是()(參考數(shù)據(jù)：，，)A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，在第1個(gè)△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個(gè)△A1A2D；在邊A2D上任取一點(diǎn)E，延長(zhǎng)A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3個(gè)△A2A3E，…按此做法繼續(xù)下去，則第n個(gè)三角形中以An為頂點(diǎn)的底角度數(shù)是（）A．（）n?75° B．（）n﹣1?65°C．（）n﹣1?75° D．（）n?85°4．圖①是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的.若AC=6，BC=5，將四個(gè)直角三角形中的邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖②所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”，則這個(gè)風(fēng)車(chē)的外圍周長(zhǎng)是（

）A．51 B．49 C．76 D．無(wú)法確定5．下列各式運(yùn)算不正確的是（）A．a(chǎn)3?a4＝a7 B．（a4）4＝a16C．a(chǎn)5÷a3＝a2 D．（﹣2a2）2＝﹣4a46．下列各式是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．7．下列多項(xiàng)式中能用完全平方公式分解的是()A．x2﹣x+1 B．1﹣2x+x2 C．﹣a2+b2﹣2ab D．4x2+4x﹣18．已知直線(xiàn)，一個(gè)含角的直角三角尺如圖疊放在直線(xiàn)上，斜邊交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．9．如圖，在等腰ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分線(xiàn)與AB的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)O、點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，則∠CEF的度數(shù)是（）A．60° B．55° C．50° D．45°10．已知點(diǎn)，則點(diǎn)到軸的距離是（）A． B． C． D．11．如圖，在中，的垂直平分線(xiàn)分別交于點(diǎn)，則邊的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．12．二次根式中字母x的取值范圍是（）A．x＞2 B．x≠2 C．x≥2 D．x≤2二、填空題（每題4分，共24分）13．滿(mǎn)足的整數(shù)的值__________．14．化簡(jiǎn)的結(jié)果是__________．15．一個(gè)三角形的兩邊的長(zhǎng)分別是3和5，要使這個(gè)三角形為直角三角形，則第三條邊的長(zhǎng)為_(kāi)____．16．閱讀理解:對(duì)于任意正整數(shù)，，∵，∴，∴，只有當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；結(jié)論：在（、均為正實(shí)數(shù)）中，只有當(dāng)時(shí)，有最小值.若，有最小值為_(kāi)_________．17．如圖，已知直線(xiàn)y=3x+b與y=ax﹣2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2，則關(guān)于x的方程3x+b=ax﹣2的解為x=_____．18．已知在中，，，點(diǎn)為直線(xiàn)上一點(diǎn)，連接，若，則_______________．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，已知E、F在AC上，AD//CB，且，．求證：（1）（2）．20．（8分）根據(jù)以下10個(gè)乘積，回答問(wèn)題：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；1×1．（1）將以上各乘積分別寫(xiě)成“a2﹣b2”(兩數(shù)平方)的形式，將以上10個(gè)乘積按照從小到大的順序排列起來(lái)；（2）用含有a，b的式子表示（1）中的一個(gè)一般性的結(jié)論(不要求證明)；（3）根據(jù)（2）中的一般性的結(jié)論回答下面問(wèn)題：某種產(chǎn)品的原料提價(jià)，因而廠家決定對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行提價(jià)，現(xiàn)有兩種方案方案：第一次提價(jià)p%，第二次提價(jià)q%；方案2：第一、二次提價(jià)均為%，其中p≠q，比較哪種方案提價(jià)最多？21．（8分）把兩個(gè)含有角的直角三角板和如圖放置，點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，點(diǎn)在上，連接，，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)．猜想與有怎樣的關(guān)系？并說(shuō)明理由．22．（10分）如圖，點(diǎn)在上，，且，．求證：（1）；（2）．23．（10分）計(jì)算（1）4（a﹣b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）．（2）先化簡(jiǎn)，再求值（a+2﹣）÷，其中a＝124．（10分）如圖，是等邊三角形，為上兩點(diǎn)，且，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．（1）如圖1，當(dāng)兩點(diǎn)重合時(shí)，求證：；（2）延長(zhǎng)與交于點(diǎn)．①如圖2，求證：；②如圖3，連接，若，則的面積為_(kāi)_____________．25．（12分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l1:yx5與x軸，y軸分別交于A．B兩點(diǎn).直線(xiàn)l2:y4xb與l1交于點(diǎn)D(－3，8)且與x軸，y軸分別交于C、E.(1)求出點(diǎn)A坐標(biāo)，直線(xiàn)l2的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)P為線(xiàn)段AD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接CP，一動(dòng)點(diǎn)Q從C出發(fā)，沿線(xiàn)段CP以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，再沿著線(xiàn)段PD以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止，求點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用最少時(shí)間與點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖3，平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)G(m，2)，使得SCEGSCEB，求點(diǎn)G的坐標(biāo).26．已知在平面直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn)A（﹣2，1）、B（3，1）、C（2，3）．請(qǐng)回答如下問(wèn)題：（1）在坐標(biāo)系內(nèi)描出點(diǎn)A、B、C的位置，并求△ABC的面積；（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出△A′B′C′，使它與△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，并寫(xiě)出△A′B′C′三頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若M（x，y）是△ABC內(nèi)部任意一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出這點(diǎn)在△A′B′C′內(nèi)部的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判定它是直角三角形，再利用直角三角形的面積作為相等關(guān)系求斜邊上的高．【詳解】解：∵62+12=102，

∴這個(gè)三角形是直角三角形，

∴邊長(zhǎng)為10的邊上的高為6×1÷10=4.1．

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．2、B【分析】如圖，在直角△COD中，根據(jù)勾股定理求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得CB的長(zhǎng)，然后與四輛車(chē)的車(chē)高進(jìn)行比較即得答案．【詳解】解：∵車(chē)寬是2米，∴卡車(chē)能否通過(guò)，只要比較距廠門(mén)中線(xiàn)1米處高度與車(chē)高即可．如圖，在直角△COD中，∵OC=2，OD=1，∴米，∴CB=CD+BD=1.73+1.6=3.33米．∵2.8<3.33，3.1<3.33，3.4>3.33，3.7>3.33，∴這四輛車(chē)中車(chē)高為2.8米和3.1米的能夠通過(guò)，而車(chē)高為3.4米和3.7米的則不能通過(guò)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用，難度不大，解題的關(guān)鍵是正確理解題意、熟練掌握勾股定理．3、C【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BA1C的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出第n個(gè)三角形中以An為頂點(diǎn)的底角度數(shù)．【詳解】解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得，∠EA3A2＝（）2×75°，∠FA4A3＝（）3×75°，∴第n個(gè)三角形中以An為頂點(diǎn)的底角度數(shù)是（）n﹣1×75°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)這兩個(gè)性質(zhì)求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度數(shù)，探索其規(guī)律．4、C【解析】試題解析：依題意得，設(shè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”中的四個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為x，則x2=122+52=169，解得x=1．故“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”的周長(zhǎng)是：（1+6）×4=2．故選C．5、D【分析】分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，冪的乘方運(yùn)算法則，同底數(shù)冪的除法法則以及積的乘方運(yùn)算法則逐一判斷即可．【詳解】解：A．a(chǎn)3?a4＝a7，故本選項(xiàng)不合題意；B．（a4）4＝a16，故本選項(xiàng)不合題意；C．a(chǎn)5÷a3＝a2，故本選項(xiàng)不合題意；D．（﹣2a2）2＝4a4，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的運(yùn)算，熟練掌握冪的四則運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.6、D【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式是被開(kāi)方數(shù)不含分母，被開(kāi)方數(shù)不含開(kāi)的盡的因數(shù)或因式，可得答案．【詳解】A.==，不是最簡(jiǎn)二次根式，此選項(xiàng)不正確；B.=，不是最簡(jiǎn)二次根式，此選項(xiàng)不正確；C.=，不是最簡(jiǎn)二次根式，此選項(xiàng)不正確；D.是最簡(jiǎn)二次根式，此選項(xiàng)正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握概念是解題的關(guān)鍵．7、B【分析】根據(jù)完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2可得答案．【詳解】A．x2﹣x+1不能用完全平方公式分解，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．1﹣2x+x2=(1-x)2能用完全平方公式分解，故此選項(xiàng)正確；C．﹣a2+b2﹣2ab不能用完全平方公式分解，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．4x2+4x﹣1不能用完全平方公式分解，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查因式分解，解題的關(guān)鍵是熟知完全平方公式的運(yùn)用．8、D【分析】首先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)判定∠A=30°，∠ACB=60°，然后根據(jù)平行的性質(zhì)得出∠1=∠ACB.【詳解】∵含角的直角三角尺∴∠A=30°，∠ACB=60°∵∴∠1=∠ACB=60°故選：D.【點(diǎn)睛】此題主要考查直角三角形以及平行的性質(zhì)，熟練掌握，即可解題.9、C【分析】連接OB，OC，先求出∠BAO=25°，進(jìn)而求出∠OBC=40°，求出∠COE=∠OCB=40°，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，問(wèn)題即可解決．【詳解】如圖，連接OB，∵∠BAC=50°，AO為∠BAC的平分線(xiàn)，∴∠BAO=∠BAC=12×50°=25°.又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°.∵DO是AB的垂直平分線(xiàn)，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=25°，∴∠OBC=∠ABC?∠ABO=65°?25°=40°.∵AO為∠BAC的平分線(xiàn)，AB=AC，∴直線(xiàn)AO垂直平分BC，∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=40°，∵將∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，∴OE=CE.∴∠COE=∠OCB=40°；

在△OCE中,∠OEC=180°?∠COE?∠OCB=180°?40°?40°=100°∴∠CEF=∠CEO=50°.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用、垂直平分線(xiàn)性質(zhì)的運(yùn)用、折疊的性質(zhì)，解答時(shí)運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.10、B【分析】根據(jù)點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離等于橫坐標(biāo)的長(zhǎng)度解答即可．【詳解】點(diǎn)P（-3，5）到y(tǒng)軸的距離是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，熟記點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離等于橫坐標(biāo)的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．11、C【分析】根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)證得AE=E，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠B=∠ACB=72°，求出∠BEC=∠B，推出BC=CE，由AE=EC得出BC=AE=1．【詳解】∵DE垂直平分AC，

∴CE=AE，∴∠A=∠ECD=36°，∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠B=∠ACB=72°，

∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，

∴∠BEC=∠B，

∴BC=EC，

∵EC=AE，

∴BC=1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．12、C【分析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等于0列不等式求解即可．【詳解】由題意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故選：C．【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式中的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無(wú)意義．二、填空題（每題4分，共24分）13、3【分析】根據(jù)與的取值范圍確定整數(shù)x的范圍.【詳解】∵2<<3，3<<4，∴x是大于2小于3的整數(shù)，故答案為：3.【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的大小，正確確定與的大小是解題的關(guān)鍵.14、4【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)直接化簡(jiǎn)即可.【詳解】.故答案為：4.【點(diǎn)睛】此題主要考查了運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，注意：.15、4或【詳解】解：①當(dāng)?shù)谌吺切边厱r(shí)，第三邊的長(zhǎng)的平方是：32+52=34；②當(dāng)?shù)谌吺侵苯沁厱r(shí)，第三邊長(zhǎng)的平方是：52-32=25-9=16=42，故答案是：4或．16、1【分析】根據(jù)（、均為正實(shí)數(shù)），對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)求最小值．【詳解】解：由題中結(jié)論可得即：當(dāng)時(shí)，有最小值為1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確理解閱讀內(nèi)容，靈活運(yùn)用題中結(jié)論，求出代數(shù)式的最小值．17、﹣1．【分析】直線(xiàn)y=3x+b與y=ax-1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，則x=-1就是關(guān)于x的方程3x+b=ax-1的解．【詳解】∵直線(xiàn)y=3x+b與y=ax﹣1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1，∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，3x+b=ax﹣1，∴關(guān)于x的方程3x+b=ax﹣1的解為x=﹣1．故答案為﹣1．18、60°或30°【分析】分點(diǎn)D在線(xiàn)段AC上和點(diǎn)D在射線(xiàn)AC上兩種情況，畫(huà)出圖形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和角的和差計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AC上時(shí)，如圖1，∵，，∴，∵，∴；當(dāng)點(diǎn)D在射線(xiàn)AC上時(shí)，如圖2，∵，，∴，∵，∴．故答案為：60°或30°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，正確分類(lèi)畫(huà)出圖形、熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三、解答題（共78分）19、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠A=∠C，然后利用ASA即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AF=CE，然后根據(jù)等式的基本性質(zhì)即可證出結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵AD∥CB，∴∠A=∠C，∵∠D=∠B，AD=BC∴（ASA），（2）∵∴AF=CE∴AF+FE=CE+FE即AE=CF．【點(diǎn)睛】此題考查的是平行線(xiàn)的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握利用ASA判定兩個(gè)三角形全等是解決此題的關(guān)鍵．20、（1）答案見(jiàn)解析；（2）對(duì)于：ab，當(dāng)|b﹣a|越大時(shí)，ab的值越??；（3）方案2提價(jià)最多．【分析】（1）根據(jù)題目中的式子和平方差公式可以解答本題；（2）根據(jù)（1）中的計(jì)算結(jié)果，可以寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論；（3）根據(jù)題意列出代數(shù)式，根據(jù)（2）中的結(jié)論可以解答本題．【詳解】（1）11×29=(1﹣9)×(1+9)=12﹣92，12×28=(1﹣8)×(1+8)=12﹣82，13×27=(1﹣7)×(1+7)=12﹣72，14×26=(1﹣6)×(1+6)=12﹣6215×25=(1﹣5)×(1+5)=12﹣52，16×24=(1﹣4)×(1+4)=12﹣4217×23=(1﹣3)×(1+3)=12﹣32，18×22=(1﹣2)×(1+2)=12﹣22，19×21=(1﹣1)×(1+1)=12﹣12，1×1=(1+2)×(1﹣2)=12﹣22，11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜1×1；（2）由（1）可得：對(duì)于ab，當(dāng)|b﹣a|越大時(shí)，ab的值越小；（3）設(shè)原價(jià)為a，則方案1：a(1+p%)(1+q%)方案2：a(1)2∵|1+p%﹣(1+q%)|=|(p﹣q)%|，|1(1)|=2．∵p≠q，∴|(p﹣q)%|＞2，∴由（2）的結(jié)論可知：方案2提價(jià)最多．【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的代數(shù)式．21、AD=BE，AD⊥BE【分析】根據(jù)△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，可證明△ACD≌△BCE，進(jìn)而得到AD=BE，∠CAD=∠CBE，再根據(jù)對(duì)頂角相等，即可得到∠AFB=∠ACB=90°．【詳解】解：AD=BE，AD⊥BE，理由如下：∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，∵∠ADC=∠BDF∴∠AFB=∠ACB=90°，∴AD⊥BE∴AD=BE，AD⊥BE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是充分利用已知條件，熟練掌握全等三角形的判定定理．22、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．【分析】（1）直接利用HL即可證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，然后通過(guò)等量代換得出,即可證明結(jié)論．【詳解】（1），，，在和中，，．（2）由（1）知．，，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23、（1）﹣8ab+5b2；（2），﹣．【分析】（1）先計(jì)算完全平方式和平方差公式，再去括號(hào)、合并即可得；（2）先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再將x的值代入計(jì)算可得．【詳解】（1）原式＝4（a2﹣2ab+b2）﹣（4a2﹣b2）＝4a2﹣8ab+4b2﹣4a2+b2＝﹣8ab+5b2；（2）原式＝（）÷＝?＝?＝，當(dāng)a＝1時(shí)，原式＝＝﹣．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．24、（1）見(jiàn)解析；（1）①見(jiàn)解析；②1．【分析】（1）當(dāng)D、E兩點(diǎn)重合時(shí)，則AD=CD，然后由等邊三角形的性質(zhì)可得∠CBD的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)可得∠F的度數(shù)，于是可得∠CBD與∠F的關(guān)系，進(jìn)而可得結(jié)論；（1）①過(guò)點(diǎn)E作EH∥BC交AB于點(diǎn)H，連接BE，如圖4，則易得△AHE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和已知條件可得EH=CF，∠BHE=∠ECF=110°，BH=EC，于是可根據(jù)SAS證明△BHE≌△ECF，可得∠EBH=∠FEC，易證△BAE≌△BCD，可得∠ABE=∠CBD，從而有∠FEC=∠CBD，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠BGE=∠BCD，進(jìn)而可得結(jié)論；②易得∠BEG=90°，于是可知△BEF是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)易求得BE和BF的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BF于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥EF于點(diǎn)N，如圖5，則△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)和30°角的直角三角形的性質(zhì)可依次求出BM、MC、CF、FN、CN、GN的長(zhǎng)，進(jìn)而可得△GCN也是等腰直角三角形，于是有∠BCG=90°，故所求的△BCG的面積=，而B(niǎo)C和CG可得，問(wèn)題即得解決．【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，當(dāng)D、E兩點(diǎn)重合時(shí)，則AD=CD，∴，∵，∴∠F=∠CDF，∵∠F+∠CDF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠CBD=∠F，∴；（1）①∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，過(guò)點(diǎn)E作EH∥BC交AB于點(diǎn)H，連接BE，如圖4，則∠AHE=∠ABC=60°，∠AEH=∠ACB=60°，∴△AHE是等邊三角形，∴AH=AE=HE，∴BH=EC，∵，CD=CF，∴EH=CF，又∵∠BHE=∠ECF=110°，∴△BHE≌△ECF（SAS），∴∠EBH=∠FEC，EB=EF，∵BA=BC，∠A=∠ACB=60°，AE=CD，∴△BAE≌△BCD（SAS），∴∠ABE=∠CBD，∴∠FEC=∠CBD，∵∠EDG=∠BDC，∴∠BGE=∠BCD=60°；②∵∠BGE=60°，∠EBD=30°，∴∠BEG=90°，∵EB=EF，∴∠F=∠EBF=45°，∵∠EBG=30°，BG=4，∴EG=1，BE=1，∴BF=，，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BF于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥EF于點(diǎn)N，如圖5，則△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，∴，∵∠ACB=60°，∴∠MEC=30°，∴，∴，，∴，∴，∴，∴∠GCF=90°=∠GCB，∴，∴△BCG的面積=．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形與等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，涉及的知識(shí)點(diǎn)多、難度較大，正確添加輔助線(xiàn)、熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解①題的關(guān)鍵，靈活應(yīng)用等腰直角三角形的性質(zhì)和30°角的直角三角形的性質(zhì)解②題的關(guān)鍵．25、（1）A（5，0），y4x