正弦定理教學(xué)設(shè)計

《正弦定理》教學(xué)設(shè)計

姓名：葉覲堯

學(xué)校：順昌一中

職稱：中學(xué)數(shù)學(xué)一級

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電子郵箱：scyzgybaban@163.com

教學(xué)設(shè)計內(nèi)容

設(shè)計主題：人教版/高中數(shù)學(xué)《必修5》第一章《解三角形》第一節(jié)《正弦定理》

1.整體設(shè)計思路：本節(jié)課，學(xué)生在不知正弦定理內(nèi)容和證明方法的前提下，在教師預(yù)設(shè)的思路中，學(xué)生積極主動參與一個個相關(guān)聯(lián)的探究活動過程，通過“觀察——實(shí)驗(yàn)——?dú)w納——猜想——證明”的數(shù)學(xué)思想方法發(fā)現(xiàn)并證明定理，讓學(xué)生經(jīng)歷了知識形成的過程，感受到創(chuàng)新的快樂，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。其次，以問題為導(dǎo)向設(shè)計教學(xué)情境，促使學(xué)生去思考問題，去發(fā)現(xiàn)問題，讓學(xué)生在“活動”中學(xué)習(xí)，在“主動”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新。結(jié)合實(shí)例，激發(fā)動機(jī)數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，從學(xué)生日常生活中的實(shí)際問題引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的知識解決新的問題，方法一通過相似三角形相似比相等進(jìn)行計算，方法二轉(zhuǎn)化解直角三角形。讓學(xué)在解決問題中發(fā)現(xiàn)新知識，提出猜想，使學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理等活動中，逐步形成創(chuàng)新意識。2、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證猜想通過特例檢驗(yàn)，讓學(xué)生動手實(shí)驗(yàn)，提高了學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作、分析思考和抽象概括的能，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲望，體會到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的歸納和演繹推理的兩個側(cè)面。3、證明猜想，得出定理引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生從角度進(jìn)行證明定理，展示自己的知識，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣，愛好，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維，培養(yǎng)推理的意識。2.教學(xué)背景分析

1.教材地位分析《正弦定理》是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修5中第一章《解三角形》的學(xué)習(xí)內(nèi)容，比較系統(tǒng)地研究了解三角形這個課題?！墩叶ɡ怼肪o跟必修4（包括三角函數(shù)與平面向量）之后，可以啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想所學(xué)知識，運(yùn)用平面向量的數(shù)量積連同三角形、三角函數(shù)的其他知識作為工具，推導(dǎo)出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基礎(chǔ)，又是學(xué)生了解向量的工具性和知識間的相互聯(lián)系的的開端，對進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意三角形的求解、體會事物是相互聯(lián)系的辨證思想均起著舉足輕重的作用。通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識和自主、合作、探究能力。2、學(xué)生情況分析：學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的內(nèi)容，在必修4中，又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識和平面向量的有關(guān)內(nèi)容，對解直角三角形、三角函數(shù)、平面向量已形成初步的知識框架，這不僅是學(xué)習(xí)正弦定理的認(rèn)知基礎(chǔ)，同時又是突破定理證明障礙的強(qiáng)有力的工具。正弦定理是關(guān)于任意三角形邊角關(guān)系的重要定理之一，《課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中要重視定理的探究過程，并能運(yùn)用它解決一些實(shí)際問題，可以使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也為學(xué)習(xí)正弦定理提供一種親和力與認(rèn)同感。3.教學(xué)目標(biāo)分析

1.知識與技能：(1)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理的內(nèi)容，探索證明正弦定理的方法；(2)簡單運(yùn)用正弦定理解三角形、初步解決某些與測量和幾何計算有關(guān)的實(shí)際問題2.過程與方法：通過對定理的探究，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的思維方法與能力；通過對定理的證明和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力和體會分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.3.情感、態(tài)度與價值觀：(1)通過對三角形邊角關(guān)系的探究學(xué)習(xí)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究活動的過程，體會由特殊到一般再由一般到特殊的認(rèn)識事物規(guī)律，培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)新意識；(2)通過本節(jié)學(xué)習(xí)和運(yùn)用實(shí)踐，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的思維方式解決問題、認(rèn)識世界,進(jìn)而領(lǐng)會數(shù)學(xué)的人文價值、美學(xué)價值，不斷提高自身的文化修養(yǎng).4.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

1.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)分析教學(xué)重點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)正弦定理、用幾何法和向量法證明正弦定理。正弦定理是三角形邊角關(guān)系中最常見、最重要的兩個定理之一，它準(zhǔn)確反映了三角形中各邊與它所對角的正弦的關(guān)系，對于它的形式、內(nèi)容、證明方法和應(yīng)用必須引起足夠的重視。正弦定理要求學(xué)生綜合運(yùn)用正弦定理和內(nèi)角和定理等眾多基礎(chǔ)知識解決幾何問題和實(shí)際應(yīng)用問題，這些知識的掌握，有助于培養(yǎng)分析問題和解決問題能力，所以一向?yàn)閿?shù)學(xué)教育所重視。教學(xué)難點(diǎn)是用向量法證明正弦定理。雖然學(xué)生剛學(xué)過必修4中的平面向量的知識，但是要利用向量推導(dǎo)正弦定理，有一定的困難。突破此難點(diǎn)的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生通過向量的數(shù)量積把三角形的邊長和內(nèi)角的三角函數(shù)聯(lián)系起來。用平面向量的數(shù)量積方法證明這個定理，使學(xué)生鞏固向量知識，突出了向量的工具性，是向量知識應(yīng)用的范例5.教學(xué)過程設(shè)計

1.教學(xué)策略與學(xué)法指導(dǎo)教學(xué)策略：本節(jié)課采用“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”的模式，即由“結(jié)合實(shí)例提出問題——觀察特例提出猜想——數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)深入探究——證明猜想得出定理——運(yùn)用定理解決問題”五個環(huán)節(jié)組成的“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”模式，在教學(xué)中貫徹“啟發(fā)性”原則，通過提問不斷啟發(fā)學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生自主探索與思考；并貫徹“以學(xué)定教”原則，即根據(jù)教學(xué)中的實(shí)際情況及時地調(diào)整教學(xué)方案。學(xué)法指導(dǎo)：教師平等地參與學(xué)生的自主探究活動，引導(dǎo)學(xué)生全員參與、全過程參與。通過啟發(fā)、調(diào)整、激勵來體現(xiàn)主導(dǎo)作用，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知情況和情感發(fā)展來調(diào)整整個學(xué)習(xí)活動的梯度和層次，保證學(xué)生的認(rèn)知水平和情感體驗(yàn)分層次向前推進(jìn)2.教學(xué)媒體選擇與應(yīng)用使用多媒體平臺（包括電腦和投影儀）輔助教學(xué)，讓學(xué)生自己動手進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，借助多媒體快捷、形象、生動的輔助作用，既突出了知識的產(chǎn)生過程，遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生形成體驗(yàn)性認(rèn)識，體會成功的愉悅，同時又可以增加課堂的趣味性，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。3.教學(xué)過程設(shè)計一、創(chuàng)設(shè)問題情景教師：展示情景圖如圖，假如要讓你設(shè)計一座海灣大橋，從海濱達(dá)道立交橋附近B到南油碼頭C,如何測出橋的長度？，如果有測角儀和皮尺【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)起源于生活，運(yùn)用于生活”的思想意識，同時情境問題的圖形及解題思路均為研究正弦定理做鋪墊（二）提出問題

師問：為了確定解決方案，請同學(xué)們思考下是否可以采取下述方案？選擇某地A點(diǎn)，構(gòu)造Rt△BAC，測出∠C與CA的長，即可算出BC的長【設(shè)計意圖】挖掘?qū)W生的原有認(rèn)知，在原有知識和學(xué)習(xí)目標(biāo)之間搭建平臺.師問：如果構(gòu)造出Rt△BAC時，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A在海上（或者由于地形、建筑等因素），無法測出∠C與BD的長，那怎么辦？【設(shè)計意圖】實(shí)際問題要考慮實(shí)際情況，鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力【設(shè)計意圖】通過小組交流，提供一定的研究學(xué)習(xí)與情感交流的時空，培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力；問題源于學(xué)生，突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；問題通過老師的篩選，確定研究的方向，體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用。師生共同探討：①不能構(gòu)造出Rt△，那只能構(gòu)造一般的三角形ABC②這時，我們能夠測出哪些量？學(xué)生分析討論后得出：可以測出∠A、∠C與AC的長③測出這些量后，怎樣求出AB長？④教師引導(dǎo)學(xué)生，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，再來求解⑤可以作輔助線，構(gòu)造Rt△來求解：作BD⊥AC于D點(diǎn)，在Rt△ABD中，AD=ABcos∠BAD,在Rt△BCD中，,這樣我們就可以求出BC的長。師問：人們在實(shí)際中，如測量、航海、機(jī)械設(shè)計、幾何、物理等方面，經(jīng)常碰到有關(guān)三角形的問題，在解決這些問題時，如果每次都通過構(gòu)造直角三角形來求解，顯然有點(diǎn)麻煩！接著提問學(xué)生：在任意三角形中，各邊、角之間是否存在某種數(shù)量關(guān)系呢？若有，那么我們就可以直接利用，快速求解。【設(shè)計意圖】尋求解決問題的簡便方法，符合人們的思維規(guī)律，同時也指出本節(jié)課的探究方向師：請大家思考，上述問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是什么？部分學(xué)生回答：在三角形中，已知兩角和夾邊，求一邊【設(shè)計意圖】將問題數(shù)學(xué)化，有助于加深學(xué)生對問題的理解，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識。（三）解決問題

1、正弦定理的引入師：請同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？眾學(xué)生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法?？梢砸灾苯侨切螢樘乩仍谥苯侨切沃性囂揭幌?。師：如果一般三角形具有某種邊角關(guān)系，對于特殊的三角形——直角三角形也是成立的，因此我們先研究特例，請同學(xué)們對直角三角形進(jìn)行研究，尋找一般三角形的各邊及其對角之間有何關(guān)系？同學(xué)們可以參與小組共同研究。（1）學(xué)生以小組為單位進(jìn)行研究；教師觀察學(xué)生的研究進(jìn)展情況或參與學(xué)生的研究。（2）展示學(xué)生研究的結(jié)果?！驹O(shè)計意圖】教師參與學(xué)生之間的研究，增進(jìn)師生之間的思維與情感的交流，并通過教師的指導(dǎo)與觀察，及時掌握學(xué)生研究的情況，為展示學(xué)生的研究結(jié)論做準(zhǔn)備；同時通過展示研究結(jié)論，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)的動機(jī)，增進(jìn)學(xué)生的成功感及學(xué)習(xí)的信心。師：請說出你研究的結(jié)論？生1：師：你是怎樣想出來的？生2：因?yàn)樵谥苯侨切沃校鼈兊谋戎刀嫉扔谛边?。師：有沒有其它的研究結(jié)論？（根據(jù)實(shí)際情況，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析判斷結(jié)論正確與否，或留課后進(jìn)一步深入研究。）師：對一般三角形是否成立呢？眾學(xué)生：不一定，可以先用具體例子檢驗(yàn)，若有一個不成立，則否定結(jié)論：若都成立，則說明這個結(jié)論很可能成立，再想辦法進(jìn)行嚴(yán)格的證明。師：這是個好主意。那么對等邊三角形是否成立呢？生3：成立。師：對任意三角形是否成立，現(xiàn)在讓我們借助于《幾何畫板》做一個數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，……【設(shè)計意圖】以舊引新,打破學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài),刺激學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)根據(jù)問題情境進(jìn)行自我組織,促進(jìn)認(rèn)知發(fā)展.從直角三角形邊角關(guān)系切入,符合從特殊到一般的思維過程引導(dǎo)學(xué)生的思維逐步形成“情境思考”——“提出問題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實(shí)驗(yàn)探究”——“理論探究”——“解決問題”的思維方式，進(jìn)而形成解決問題的能力2、正弦定理的探究

（1）實(shí)驗(yàn)探究正弦定理師：借助于電腦與多媒體，利用《幾何畫板》軟件，演示正弦定理教學(xué)課件。邊演示邊引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形形狀的變化與三個比值的變化情況。結(jié)論：對于任意三角形都成立?！驹O(shè)計意圖】通過《幾何畫板》軟件的演示，使學(xué)生對結(jié)論的認(rèn)識從感性逐步上升到理性。師：我們回到情景問題，給定一些數(shù)據(jù)，利用上述結(jié)論解決情境問題中，并檢驗(yàn)與構(gòu)造直角三角形方法的計算結(jié)果是否一致。生4：（通過計算）結(jié)果相同。師：如果上述結(jié)論成立，則在三角形中利用該結(jié)論解決“已知兩角和夾邊，求另一邊”的問題就簡單多了【設(shè)計意圖】與情境設(shè)置中的問題相呼應(yīng)，間接給出了正弦定理的簡單應(yīng)用，并強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)探究、應(yīng)用正弦定理的心理需求。2）點(diǎn)明課題：正弦定理（3）正弦定理的理論探究師：既然是定理，則需要證明，請同學(xué)們與小組共同探究正弦定理的證明。探究方案：直角三角形——已驗(yàn)證；銳角三角形——課堂探究；鈍角三角形——課后證明?！驹O(shè)計意圖】通過分析，確定探究方案。課堂只讓學(xué)生探究銳角三角形的情形，有助于在不影響探究進(jìn)程的同時，為探究銳角三角形的情形騰出更多的時間。鈍角三角形的情形以課后證明的形式，可使學(xué)生鞏固課堂的成果。_a_b_c_D_C_B_A師：請你（生5）到講臺上，講講你的證明思路？生6：（走上講臺），設(shè)法將問題轉(zhuǎn)化成直角三角形中的問題進(jìn)行解決。通過作三角形的高，與生5的辦法一樣，如圖作BC邊上的高AD，則，所以_，同理可得師：因?yàn)橐C明的是一個等式，【設(shè)計意圖】點(diǎn)明此證法的實(shí)質(zhì)是找到一個可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系，為后續(xù)兩種方法的提出做鋪墊，同時適時對學(xué)生作出合情的評價。所以應(yīng)從銳角三角形的條件出發(fā)，構(gòu)造等量關(guān)系從而達(dá)到證明的目的。注意：表示的幾何意義是三角形同一邊上的高不變。這是一個簡捷的證明方法！師：在三角形中還有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系呢？學(xué)生七嘴八舌地說出一些等量關(guān)系，經(jīng)討論后確定如下一些與直角三角形有關(guān)的等量關(guān)系可能有利用價值：①三角形的面積不變；②三角形外接圓直徑不變。在教師的建議下，學(xué)生分別利用這兩種關(guān)系作為基礎(chǔ)又得出了如下兩種證法：_F_E_a_b_c_D_C_B_A_c_b_a_D_C_B_A【設(shè)計意圖】在證明正弦定理的同時，將兩邊及其夾角的三角形面積公式及一并牽出，使知識的產(chǎn)生自然合理。師：前面我們學(xué)習(xí)了平面向量，能否運(yùn)用向量的方法證明呢？師：請你到講臺來給大家講一講。（學(xué)生7上臺板書自己的證明方法。）_a_b_c_D_C_B_A【設(shè)計意圖】利用向量法來證明幾何問題，學(xué)生相對比較生疏，不容易馬上想出來，教師通過設(shè)計一些遞進(jìn)式的問題給予適當(dāng)?shù)膯l(fā)引導(dǎo)，將很難想到的方法合理分解，有利于學(xué)生理解接受。（四）運(yùn)用定理，解決例題

教師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。 學(xué)生：討論正弦定理可以解決的問題類型： ①如果已知三角形的任意兩個角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊， ②如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩角，學(xué)生：反饋練習(xí)（教科書第4頁的練習(xí)）用實(shí)物投影儀展示學(xué)生中解題步驟規(guī)范的解答。設(shè)計意圖：自己解決問題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動力，使學(xué)生體驗(yàn)到成功的愉悅感，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，“我要研究”的主動學(xué)習(xí)。分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內(nèi)角和為求出第三個角∠C，再由正弦定理求其他兩邊。例2的處理，目的是讓學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想，可先讓中等學(xué)生講解解題思路，其他同學(xué)補(bǔ)充交流（五）嘗試小結(jié)：

教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。學(xué)生：思考交流，歸納總結(jié)。師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)，教師及時補(bǔ)充，要體現(xiàn)：（1）正弦定理的內(nèi)容（）及其證明思想方法。（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；②已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角，求其他元素。（3）分類討論的數(shù)學(xué)思想。設(shè)計意圖：通過學(xué)生的總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和語言表達(dá)能力（六）作業(yè)

1、回顧本節(jié)課的整個研究過程，體會知識的發(fā)生過程；2、思考：能否借助向量的坐標(biāo)的方法證明正弦定理？3、當(dāng)三角形為鈍角三角形時，證明正弦定理。4、課本P101、2【設(shè)計意圖】為保證學(xué)生有充足的時間來完成觀察、歸納、猜想、探究和證明，小結(jié)的時間花得少且比較簡單，這將在下一節(jié)課進(jìn)行完善，因此作業(yè)的布置也為下節(jié)課做一些必要的準(zhǔn)備。6.教學(xué)評價設(shè)計

本節(jié)定理教學(xué)課，教師把重