2023年湖北省黃崗市浠水實驗高中高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.在棱長為a的正方體ABC?！狝4GA中，E、/、M分別是43、AD.A4的中點，又尸、。分別在線段4片、

49上，且AP=AQ=加（0＜加＜4），設(shè)平面ME/n平面MPQ=/，則下列結(jié)論中不成立的是（）

A.///平面8。，片B.l±MC

C.當(dāng)根=3時，平面D.當(dāng)機變化時，直線/的位置不變

2

2.在AABC中，E,F分別為AB,AC的中點，P為EF上的任一點，實數(shù)X，，'滿足⑸+x而+y斤=6,設(shè)

s

\ABC.\PBC.APC4、AE4B的面積分別為S、5、邑、S3,記」=＜（i=l,2,3）,則取到最大值時，

S

2x+）＞的值為（）

33

A.-1B.1C.——D.-

22

3.某中學(xué)2019年的高考考生人數(shù)是2016年高考考生人數(shù)的1.2倍，為了更好地對比該?？忌纳龑W(xué)情況，統(tǒng)計了該

校2016年和2019年的高考情況，得到如圖柱狀圖：

A.與2016年相比，2019年不上線的人數(shù)有所增加

B.與2016年相比，2019年一本達線人數(shù)減少

C.與2016年相比，2019年二本達線人數(shù)增加了0.3倍

D.2016年與2019年藝體達線人數(shù)相同

4.一個頻率分布表（樣本容量為30）不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數(shù)據(jù)在［20,60）上的頻率為0.8,則估計

樣本在［40,50）、［50,60）內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)共有（）

分組110.20)[20,30)(30.40)

頻數(shù)345

A.14B.15C.16D.17

5.已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=l-，（i為虛數(shù)單位），則;乙的虛部為（)

A.-iB.iC.1D.-1

6.已知｛4｝為等比數(shù)列,%+仆二—3,=-]8,則%+41=()

21_21

A.9B.-9C.—D.

2

7.費馬素數(shù)是法國大數(shù)學(xué)家費馬命名的，形如22"+1（〃eN）的素數(shù)（如：24+1=3）為費馬索數(shù)，在不超過30的正偶

數(shù)中隨機選取一數(shù)，則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是（）

8.若不等式aln（x+l）-丁+2/>0在區(qū)間（（）,+8）內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是（）

932'<932、

A.B

_21n2，ln5.-(2In2'In5,

(932'

c.D.

Uln2，ln5_L21112J

（、fa”+3,為奇數(shù)

9.已知數(shù)列｛4｝滿足:%=1，"陵+1"為偶數(shù)，則繪=（）

B.25C.28D.33

10.數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物,

曲線C:（/+/）3=J6x2y2恰好是四葉玫瑰線.

給出下列結(jié)論：①曲線C經(jīng)過5個整點（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）；②曲線C上任意一點到坐標(biāo)原點。的距離都

不超過2；③曲線C圍成區(qū)域的面積大于4萬；④方程（Y+y2）3=i6x2y2（?。?）表示的曲線c在第二象限和第四

象限其中正確結(jié)論的序號是（）

A.①③B.②④C.①②③D.②③④

COSX

函數(shù)/（X）■7的部分圖像大致為（

2、+2」

B.

在平面直角坐標(biāo)系xOv中，已知點4（0,-2）,N（l,o）,若動點M滿足舞1=3,則訴.而的取值范圍

12.

是（）

A.[°，2]B.

C.卜2,2]D.[-2V2,2V2]

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2Ko11

13.若函數(shù)/（幻=logxx〉0，則/[3/（l°g43）]的值為

14.給出下列四個命題，其中正確命題的序號是.（寫出所有正確命題的序號）

①因為si〃x+?卜sinx、所以g不是函數(shù)y=sinx的周期;

3

②對于定義在R上的函數(shù)/（X）,若/（-2）。/（2）,則函數(shù)不是偶函數(shù);

③“M>N”是“/ogzM'/ogzN”成立的充分必要條件；

④若實數(shù)“滿足/?4,則。42.

15.如圖，在直四棱柱ABC。-44GA中，底面ABC。是平行四邊形，點E是棱8片的中點，點F是棱CC靠近

G的三等分點，且三棱錐A-的體積為2,則四棱柱ABCD-ABCR的體積為.

16.已知向量滿足￡用=一1，a?2a-B）=3,則卜卜.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.（12分）已知耳耳為橢圓石：,+我=l（a〉b>0）的左、右焦點，離心率為:，點尸（2,3）在橢圓上.

（1）求橢圓E的方程;

1,1

（2）過片的直線^分別交橢圓于A、C和B、。，且4，/2,問是否存在常數(shù)2,使得南，％兩成等差數(shù)列?

若存在，求出4的值；若不存在，請說明理由.

18.（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，P4_L底面ABC。，AD±AB,AB//DC,AD=DC=AP=2,

A3=l,點E為棱PC的中點.

（1）證明：BE1DC：

（2）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；

（3）若尸為棱PC上一點，滿足BE_LAC,求二面角E—AB—P的余弦值.

TT

19.（12分）已知AABC是等腰直角三角形,NACB=5，AC=2.。,后分別為AC,A8的中點，沿將小4￡火折起,

得到如圖所示的四棱錐A-5CDE.

(I)求證：平面平面ABC.

(II)當(dāng)三棱錐ABE的體積取最大值時,求平面\CD與平面A.BE所成角的正弦值.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=e"'—x(awR,e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)=lnx+/nx+l.

(1)若/(x)有兩個零點，求實數(shù)”的取值范圍；

(2)當(dāng)a=l時，％[/(%)+1]28(力對任意的工€(0,”)恒成立，求實數(shù)〃？的取值范圍.

21.(12分)已知函數(shù),y(x)=ar2+cosx(aeR)

(1)當(dāng)a=g時，證明/'(力20,在2,+A)恒成立；

(2)若/(x)在x=0處取得極大值，求。的取值范圍.

22.(10分)我國在2018年社保又出新的好消息，之前流動就業(yè)人員跨地區(qū)就業(yè)后，社保轉(zhuǎn)移接續(xù)的手續(xù)往往比較繁

瑣，費時費力.社保改革后將簡化手續(xù)，深得流動就業(yè)人員的贊譽.某市社保局從2018年辦理社保的人員中抽取300人,

得到其辦理手續(xù)所需時間(天)與人數(shù)的頻數(shù)分布表：

時間[0,2)[24)[46)[6,8)[8,10)[10,12)

人數(shù)156090754515

(1)若300名辦理社保的人員中流動人員210人，非流動人員90人，若辦理時間超過4天的人員里非流動人員有60

人，請完成辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“辦理社保手續(xù)所需時間

與是否流動人員”有關(guān).

列聯(lián)表如下

流動人員非流動人員總計

辦理社保手續(xù)所需

時間不超過4天

辦理社保手續(xù)所需

60

時間超過4天

總計21090300

（2）為了改進工作作風(fēng)，提高效率，從抽取的300人中辦理時間為［8,12）流動人員中利用分層抽樣，抽取12名流動

人員召開座談會，其中3人要求交書面材料，3人中辦理的時間為［10,12）的人數(shù)為另求出J分布列及期望值.

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a4-c)(b+d)

P(K2"o)0.100.050.0100.005

%）2.7063.8416.6357.879

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

根據(jù)線面平行與垂直的判定與性質(zhì)逐個分析即可.

【詳解】

因為AP=\Q=機，所以PQ//4A，因為E、尸分別是48、AO的中點，所以EF//BD,所以PQ//EF，因為面MEFQ

面MPQ=/,所以尸Q〃EF7〃.選項A、D顯然成立；

因為BD//EF//1,3。，平面ACGA,所以/_L平面ACC,4,因為MCu平面ACQ4,所以/_LMC,所以B項成

立；

易知AC,1平面MEF,AC1平面MP0,而直線AG與\C不垂直，所以C項不成立.

故選：C

【點睛】

本題考查直線與平面的位置關(guān)系.屬于中檔題.

2.D

【解析】

根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得尸到的距離等于△A8C的3c邊上高的一半，從而得到，=1s=S2+S3,由

此結(jié)合基本不等式求最值，得到當(dāng)4?4取到最大值時，P為瓦■的中點，再由平行四邊形法則得出

—1—1一—1

+=根據(jù)平面向量基本定理可求得x=y=從而可求得結(jié)果.

222

【詳解】

如圖所示：

因為E尸是AABC的中位線，

所以P到BC的距離等于△ABC的邊上高的一半,

所以E=1s=s2+s3,

,S2+S2.2

由此可得:九=Ei*邑=Sfs<2=J_?

2y~~s不~16

當(dāng)且僅當(dāng)S?=S3時，即P為EF的中點時，等號成立,

所以方+而=。，

由平行四邊形法則可得麗+而=2而，PA+PC=2PF>

將以上兩式相加可得2萬+而+定=2（而+而）=0,

所以序+'P與+,定=0,

22

又已知麗+x而+y斤=。，

根據(jù)平面向量基本定理可得x=>=；，

13

從而2%+>=1+—=一.

22

故選：D

【點睛】

本題考查了向量加法的平行四邊形法則，考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，考查了基本不等式求最值，屬于中檔題.

3.A

【解析】

設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x,則2019年高考人數(shù)為L2x,通過簡單的計算逐一驗證選項A、B、C、D.

【詳解】

設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x,則2019年高考人數(shù)為L2x,2016年高考不上線人數(shù)為0.3x,

2019年不上線人數(shù)為L2xx0.28=O.336x>O.3x,故A正確；

2016年高考一本人數(shù)（）.3x,2019年高考一本人數(shù)1.2xx0.26=0.312x>0.3x,故B錯誤;

2019年二本達線人數(shù)L2xxO.4=O.48x,2016年二本達線人數(shù)0.34x,增加了

0.48x—0.34x

a0.41倍，故C錯誤;

0.34%

2016年藝體達線人數(shù)0.06x,2019年藝體達線人數(shù)L2xx0.06=0.072x,故D錯誤.

故選：A.

【點睛】

本題考查柱狀圖的應(yīng)用，考查學(xué)生識圖的能力，是一道較為簡單的統(tǒng)計類的題目.

4.B

【解析】

計算出樣本在［20,60）的數(shù)據(jù)個數(shù)，再減去樣本在［20,40）的數(shù)據(jù)個數(shù)即可得出結(jié)果.

【詳解】

由題意可知，樣本在［20,60）的數(shù)據(jù)個數(shù)為30x0.8=24,

樣本在［20,40）的數(shù)據(jù)個數(shù)為4+5=9,

因此，樣本在［40,50）、［50,60）內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)為24-9=15.

故選：B.

【點睛】

本題考查利用頻數(shù)分布表計算頻數(shù)，要理解頻數(shù)、樣本容量與頻率三者之間的關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.D

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=l-i,利用復(fù)數(shù)的除法求得二，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念求解.

【詳解】

因為復(fù)數(shù)Z滿足z(l+i)=l—i,

l-z_(I-/)-

所以z

l+z-(l+z)(l-z)

所以z的虛部為-1.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.C

【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可求出生，小,便可得出等比數(shù)列的公比，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出+4「

【詳解】

4=-6%=3

V4+9=5+8,/.449=一18,又4+。8=-3,可解得＜或，

6=36=一6

設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為。，則

C143-6r21

=-6時,"f+3x

當(dāng)~2；

=3d2"——

2

f二時，＞%-2,...4+%=》+詞*+（_6）《2）號

當(dāng)

故選：C.

【點睛】

本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力,屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【解析】

基本事件總數(shù)〃=15,能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和只有8=3+5,20=3+17,22=5+17,共有3個，根據(jù)古

典概型求出概率.

【詳解】

在不超過3（）的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù)，基本事件總數(shù)〃=15

能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的只有8=3+5,20=3+17,22=5+17,共有3個

31

則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是P=-=5

本題正確選項：B

【點睛】

本題考查概率的求法，考查列舉法解決古典概型問題，是基礎(chǔ)題.

8.C

【解析】

由題可知，設(shè)函數(shù)/(x)=aln(x+l),g(x)=x3—2f,根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出g(x)的極值點，得出單調(diào)性，根據(jù)

aln(x+l)-x3+2x2>0在區(qū)間(0,+oo)內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，轉(zhuǎn)化為/(x)>g(x)在區(qū)間(0,+(功內(nèi)的解集

中有且僅有三個整數(shù)，結(jié)合圖象，可求出實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

設(shè)函數(shù)/(x)=aln(x+l),g(x)=x3-2x2,

因為g'(x)=3%2-4x,

所以g'(x)=0,

4

因為0<x<5時，g'(x)<0,

/(3)>g(3)

當(dāng)a>0時，/(x)>g(x)在(0,+oo)內(nèi)的解集中僅有三個整數(shù)，只需1,八/八

/(4)?g(4)

?ln4>33-2x32

一aln5,,43-2x4?'

932

所以-------<6,-----?

21n2In5

故選：C.

【點睛】

本題考查不等式的解法和應(yīng)用問題，還涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象，同時考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.

9.C

【解析】

依次遞推求出得解.

【詳解】

n=l時，出=1+3=4,

n=2時，/=2X4+1=9,

n=3時，%=9+3=12,

n=4時，a5=2x12+1=25,

n=5時，％=25+3=28.

故選：C

【點睛】

本題主要考查遞推公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

10.B

【解析】

利用基本不等式得F+y2K"可判斷②；/+卜2=4和(/+>;2)3=]6%2V聯(lián)立解得￥2=>2=2可判斷(1)(§)；由

圖可判斷④.

【詳解】

/22、2

(x2+y2)3=16x2y2<16",

解得f+y244(當(dāng)且僅當(dāng)f=y2=2時取等號)，則②正確；

將V+y?=4和(尤2+,2/=]6%2,2聯(lián)立，解得f=^2=2,

即圓V+y2=4與曲線c相切于點(JI拒)，卜夜,夜)，(-V2,-V2),(V2,-V2),

則①和③都錯誤；由沖<(),得④正確.

故選：B.

【點睛】

本題考查曲線與方程的應(yīng)用，根據(jù)方程，判斷曲線的性質(zhì)及結(jié)論，考查學(xué)生邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.

11.A

【解析】

根據(jù)函數(shù)解析式，可知“X)的定義域為xwR,通過定義法判斷函數(shù)的奇偶性，得出/(—x)=/(x),貝！l/(x)為偶

函數(shù)，可排除選項，觀察48選項的圖象，可知代入尤=0,解得/(())>(),排除3選項，即可得出答案.

【詳解】

解：因為/3=1，

所以/(x)的定義域為xeR,

八>2T+2*2'+2T')

.??/(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于>軸對稱，排除選項，

且當(dāng)x=0時，/(0)=1>0,排除3選項，所以A正確.

故選：A.

【點睛】

本題考查由函數(shù)解析式識別函數(shù)圖象，利用函數(shù)的奇偶性和特殊值法進行排除.

12.D

【解析】

設(shè)出M的坐標(biāo)為(x,y),依據(jù)題目條件，求出點M的軌跡方程N+3-2)2=8,

寫出點M的參數(shù)方程，則而?麗=20cos。，根據(jù)余弦函數(shù)自身的范圍，可求得兩■?麗結(jié)果.

【詳解】

設(shè)M(x,y),則

.??圈M”2)

...次言±2)2=五

Jx+曠

Ax2+(y+2)2=2(x2+j2)

:.x2+(y-2)2=8為點M的軌跡方程

x=2^2cos0

...點M的參數(shù)方程為廠(。為參數(shù))

y=2+2j2sin6

則由向量的坐標(biāo)表達式有：

OMON=2y/2cos0

又?.?cos。e[-1,1]

:.OMON=2夜cos0e[-272,2亞]

故選：D

【點睛】

考查學(xué)生依據(jù)條件求解各種軌跡方程的能力，熟練掌握代數(shù)式轉(zhuǎn)換，能夠利用三角換元的思想處理軌跡中的向量乘積,

屬于中檔題.求解軌跡方程的方法有：①直接法；②定義法；③相關(guān)點法；④參數(shù)法；⑤待定系數(shù)法

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.--

2

【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式求出了(logdg)的值，進而計算可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，函數(shù)/(x)=：，"'0'八，

log3x,x>0.

貝！J/(log41)=/(-log43)=/(-log26)=6,

則宿/(log,1)]=樗)=log3乎=j

故答案為：一

2

【點睛】

本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)運算法則的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算求解能力.

14.①②④

【解析】

對①,根據(jù)周期的定義判定即可.

對②,根據(jù)偶函數(shù)滿足的性質(zhì)判定即可.

對③,舉出反例判定即可.

對④，求解不等式/<4,再判定即可.

【詳解】

解：因為當(dāng)尸?時，sialx+qlwsinx,

27r

所以由周期函數(shù)的定義知y不是函數(shù)y=S加X的周期，

故①正確；

對于定義在R上的函數(shù)/（X）,

若/（-2）=/（2），由偶函數(shù)的定義知函數(shù)/（X）不是偶函數(shù)，

故②正確；

當(dāng)M=1,N=0時不滿足log2M>log2N,

則“M>N”不是“/og2M>/og2N,”成立的充分不必要條件,

故③錯誤；

若實數(shù)。滿足/44,

貝卜2<aW2,

所以a42成立，

故④正確.

???正確命題的序號是①（D④.

故答案為：①②

【點睛】

本題主要考查了命題真假的判定,屬于基礎(chǔ)題.

15.12

【解析】

由題意，設(shè)底面平行四邊形ABC。的BC=a,且BC邊上的高為如直四棱柱A3CD-A4GR的高為〃，分別表

示出直四棱柱的體積和三棱錐的體積，即可求解。

【詳解】

由題意，設(shè)底面平行四邊形ABCD的且A3邊上的高為〃，直四棱柱ABC。-44G4的高為〃，

則直四棱柱ABCD-4AG。的體積為V=Sh=abh,

又由三棱錐A-AEF的體積為V__AEF=%-AAE=^Sfy=-x^ahxb=yabh=2,

解得必〃=12,即直四棱柱的體積為12。

【點睛】

本題主要考查了棱柱與棱錐的體積的計算問題，其中解答中正確認識幾何體的結(jié)構(gòu)特征，合理、恰當(dāng)?shù)乇硎局彼睦庵?/p>

三棱錐的體積是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，以及空間想象能力，屬于中檔試題。

16.1

【解析】

首先根據(jù)向量的數(shù)量積的運算律求出a＞再根據(jù)問=7?計算可得；

【詳解】

解：因為同24詢=3,

所以27—￡石=3

又=

所以二=1

所以—1

故答案為：1

【點睛】

本題考查平面向量的數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

r2.,27

17.(1)—+-^-=1；(2)存在，—.

161248

【解析】

(1)由條件建立關(guān)于的方程組，可求得。，4c,得出橢圓的方程;

(2)①當(dāng)直線4c的斜率不存在時，可求得|AC|=6,忸。|=8,,求得2,②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，設(shè)

24(公+1)

幾：y=k(x+2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，求出線段再由/口乙得出線段|BD|根

4+3公

據(jù)等差中項可求得4,得出結(jié)論.

【詳解】

C_1

a2a2=16

4922

(1)由條件得[[7+77=1n〃=12,所以橢圓E的方程為:—I—=1;

6rb21612

c2=4

ci1=b2+c2

(2)片(—2,0),

①當(dāng)直線兒的斜率不存在時，Mq=6，w=&而+而=:+：=(，此時行焉,

’22

廠+2L-1

②當(dāng)直線人的斜率存在且不為。時，設(shè)兒：y=A(x+2),聯(lián)立1612消元得

、y=Z(x+2)

(4k2+3)x2+16%2%+16二—48=0,

皿“、?、16k216公一48

設(shè)4(玉，y),C(x,y),x+x=~~~-,xx=、——

22t-24k~+3t24%-+3

222

\AC\=y/l+k|x,-x2|=\]l+k+x2)-4xtx2=[縱,，，,

241+

2

???直線8。的斜率為-，同理可得忸。卜24g+1)

4+3公

114F+34+3公7(1+A:2)7

----I----------------------------------

|AC|\BD\24(1+A:2)24(公+1)24(1+公)24

77

22=’，所以丸=，

2448

71.1

綜合①②，存在常數(shù)4=也，使得而『4師成等差數(shù)列.

【點睛】

本題考查利用橢圓的離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系中的弦長公式的相關(guān)問題，當(dāng)兩直線的斜率具

有關(guān)系時，可能通過斜率的代換得出另一條線段的弦長，屬于中檔題.

18.(1)證明見解析(2)B(3)亞

310

【解析】

(D根據(jù)題意以4為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個點的坐標(biāo)，并表示出爐，成，由空間向量數(shù)量積

運算即可證明BELOC.

(2)先求得平面PQ的法向量，即可求得直線的與平面法向量夾角的余弦值，即為直線8E與平面PQ所成角的正

弦值；

(3)由尸點在棱PC上，設(shè)C「=4C戶，再由87=83+心升，結(jié)合BE_LAC,由空間向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系求得X

的值.即可表示出麗.求得平面?也和平面ABP的法向量，由空間向量數(shù)量積的運算求得兩個平面夾角的余弦值，再

根據(jù)二面角的平面角為銳角即可確定二面角廠一AB—P的余弦值.

【詳解】

(D證明：24,底面ABC。，AD±AB,

以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

VAD=DC=AP=2,AB=1,點E為棱PC的中點.

.?.8(1,0,0),C(2,2,0),0(020),P(0,0,2),E(l,l,l),

.?.麗=(0,1,1),加=(2,0,0),

-.REDC=Q>

：.BELDC.

(2)BD=(-1,2,0),PB=(1,0,-2),

設(shè)平面P比)的法向量為〃?=(x,y,z，

BD?沆=0,-x+2y=0

則—八，代入可得

PB-771=0x-2z=0

令y=l解得X=2,z=l,即加=(2,1,1),

設(shè)直線班與平面P9所成角為由直線與平面夾角可知

2=立

sina-cos<BE

Ini.BE76x72~3

所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為顯

3

(3)?/BC=(1,2,0),CP=(-2,-2,2),AC=(2,2,0),

由F點在棱PC上，設(shè)#=4麗=(-22,-22,22),(()<A<1),

故前=團+月=(1-242—24,22)(0<2<1),

由BF_LAC,W5F-AC=2(1-22)4-2(2-22)=0,

3

解得力=：,

4

設(shè)平面尸84的法向量為〃=(","c),

n-AB=Q,…

由K八，得〈11,3C，

n-BF-0——a+—h+—c-0

I1222

令c=l,貝！)3=(0,—3,1)

取平面ABP的法向量；=(0,1,0),

則二面角尸——P的平面角a滿足cosa=上”—2,

|/|-|n|VW10

由圖可知，二面角/一AB-P為銳二面角，

故二面角尸-A5-尸的余弦值為題.

10

【點睛】

本題考查了空間向量的綜合應(yīng)用，由空間向量證明線線垂直，求直線與平面夾角及平面與平面形成的二面角大小，計

算量較大，屬于中檔題.

19.(I)見解析.解)亞.

3

【解析】

⑴證明平面4。。得出平面4。。，根據(jù)面面垂直的判定定理得到結(jié)論；(II)當(dāng)平面BCDE時，棱

錐體積最大，建立空間坐標(biāo)系，計算兩平面的法向量，計算法向量的夾角得出答案.

【詳解】

TT

⑴證明：???ZACB=-：.AC±BC

2

???。，石分別為ACA8的中點:.DE//BC:.DE±AC

:.DELCD,DEL\D,又

.?.￡>￡_L平面A。。

.?.8。_1平面4。。，又BCu平面ABC

/.平面AZ)C_L平面4BC

(II)%-A8E=〃-BCE，S?8CE為定值

.?.當(dāng)4。上平面8CDE時，三棱錐ABE的體積取最大值

以。為原點，以。為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系。-型

則3(1,2,0),￡(0,1,014(0，°，1)

.?.BE=(-1,-1,O),離=(O,T,l)

,八廠/\

設(shè)平面ABE的法向量為丹=(x,y,z),貝時m一-方B才E=0

m?EAj=0

-x-y=0/、

即!令％=1可得萬

DE_L平面\CDn=（0,1,0）是平面\CD的一個法向量

...3<泣萬>=粵=/一=近

\m\\ii\V3xl3

V6

???平面\CD與平面4BE所成角的正弦值為

3

【點睛】

本題考查了面面垂直的判定，二面角的計算，關(guān)鍵是能夠根據(jù)體積的最值確定垂直關(guān)系，從而可以建立起空間直角坐

標(biāo)系，利用空間向量法求得二面角，屬于中檔題.

（1、

20.（1）0,-；（2）

\e7

【解析】

（1）將/（力有兩個零點轉(zhuǎn)化為方程。=地有兩個相異實根，令6（力=.求導(dǎo)，利用其單調(diào)性和極值求解；

XX

（2）將問題轉(zhuǎn)化為竺對一切xe（O,+x））恒成立，令/（%）=/-電二一」（x〉0）,求導(dǎo)，研究單調(diào)性,

XXXX

求出其最值即可得結(jié)果.

【詳解】

（1）/（X）有兩個零點o關(guān)于X的方程=X有兩個相異實根

由-">0,知x>0

.??/（X）有兩個零點=a=—有兩個相異實根.

X

Inx1-lnx

令G（尤）=一^,則G，（x）=一^,

由G'（x）＞0得：0cxee,由G'（x）＜0得：x＞e,

???G（x）在（0,e）單調(diào)遞增，在（e,+a））單調(diào)遞減

C%=C￡，=＞

?■?（）max（）；

又???G⑴=0

二當(dāng)0＜x＜l時，G（x）＜0,當(dāng)X＞1時，G（x）＞0

當(dāng)％f時，G(x)—0

(

???/(x)有兩個零點時，實數(shù)。的取值范圍為0-；

x

(2)當(dāng)a=l時，f(x)=e-x9

二?原命題等價于xe">lnx4-/nx+l對一切%￡(。,+°0)恒成立

u>m工e'---------對一1切xG(0,+oo)恒成立.

xx

令產(chǎn)(1)=ex―電二_J_(x>0)

???利"(力,疝，

l,/、*Inxx2ex4-Inx

(可=，+?=r—

令〃(%)=%2"+1口工，xe(0,-Hx)),則

=2xe+x2ex+—>0

???/z(x)在(0,+e)上單增

又"l)=e>0,=1</一1=0

3x0使72(%))=0即+Inx0=0?

當(dāng)xe(O,元0)時，〃(x)<0,當(dāng)xe(Xo，+8)時，〃(x)>0,

即/(x)在(0,%)遞減,在伍，欣)遞增，

-3*=*/)=*-叱-=

由①知x；e&=—lnXo

/與與I

???函數(shù)夕(%)=旄*在(0,+回單調(diào)遞增

/.x0=In—即x0=-InX0

xo

：.F(x)=-'nx°=1,

、/mineYYYY

人0人0A()Ao

m<\

實數(shù)m的取值范圍為

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值問題，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力和分析能力，是一道難度較大的題目.

21.(1)證明見解析(2)—00，-g

【解析】

(1)根據(jù)/(x)=；x2+cosx,求導(dǎo)尸(x)=x-sinx,令〃(x)=x—sinx,用