高等代數(shù)-多項(xiàng)式課件

第五章 多項(xiàng)式1Polynomial概述_12代數(shù)角度代數(shù)運(yùn)算:加、減、乘、除(帶余除法)及性質(zhì)最大公因式、互素、不可約、標(biāo)準(zhǔn)分解式、重因式函數(shù)角度根及其性質(zhì)，余數(shù)定理二者關(guān)聯(lián)兩多項(xiàng)式函數(shù)相等充要條件為這兩多項(xiàng)式代數(shù)相等概述_23與數(shù)域擴(kuò)大無(wú)關(guān)的多項(xiàng)式性質(zhì)整除、最大公因式、互素、余數(shù)定理等與數(shù)域擴(kuò)大有關(guān)的多項(xiàng)式性質(zhì)不可約、因式分解、根理論等4§5.1

目的與要求掌握一元多項(xiàng)式形式的準(zhǔn)確描述;理解K[x]對(duì)于多項(xiàng)式的加法,數(shù)乘,乘法構(gòu)成K代數(shù);掌握用多項(xiàng)式的次數(shù)來(lái)解題的方法.一元多項(xiàng)式_1定義K:數(shù)域,

ai∈K,

0≤i≤n;

n≥0,

x:

未定元,

形如稱(chēng)為K上關(guān)于x的一元多項(xiàng)式.aixi:

稱(chēng)為第i

次項(xiàng),ai:

第i

次項(xiàng)系數(shù).n

次多項(xiàng)式:當(dāng)an

≠0時(shí),次數(shù)記為degf

(x)=n.anxn:首項(xiàng),

an:首項(xiàng)系數(shù).

a0:常數(shù)項(xiàng).K上一元多項(xiàng)式全體記為K[x]5一元多項(xiàng)式_2注1

零多項(xiàng)式:f

(x)=0,此時(shí)規(guī)定:

degf(x)=－∞f

(x)=0

deg

f(x)=－∞

注2

零次多項(xiàng)式(常數(shù)多項(xiàng)式):

f(x)=a0

≠0.f

(x)=a0

≠0

deg

f(x)=0

ai=0,i

>0注3

f

(x)≠0

degf(x)≥0

ai=0,

i≥0例6多項(xiàng)式的相等定義兩個(gè)多項(xiàng)式稱(chēng)為相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的次數(shù)相同且

各次項(xiàng)的系數(shù)相等即若則f

(x)=g(x)當(dāng)且僅當(dāng)m=

n,ai

=

bi

,

0≤i≤n.7多項(xiàng)式的運(yùn)算_加法1設(shè)f

(x),

g(x)∈

K[x],

適當(dāng)增加幾個(gè)系數(shù)為0的項(xiàng),

可設(shè)定義加法:則f(x)+g(x)∈K[x].8多項(xiàng)式的運(yùn)算_加法29K[x]對(duì)加法構(gòu)成加群,

即滿足如下性質(zhì)(

f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+

(g(x)+h(x))f(x)+g(x)=g(x)+f(x)0+f(x)=f(x)f(x)+

(－f(x))=

0多項(xiàng)式的運(yùn)算_數(shù)乘1設(shè)定義c與f(x)的數(shù)乘為:則

cf(x)∈K[x].10多項(xiàng)式的運(yùn)算_數(shù)乘2K[x]對(duì)加法與數(shù)乘構(gòu)成K上的線性空間,

即

滿足(1)

~

(4)且滿足如下性質(zhì)(5)(6)(7)(8)11多項(xiàng)式的運(yùn)算_乘法設(shè)定義f(x)與g(x)的乘積:f(x)g(x)=h(x)其中12K[x]對(duì)加法,數(shù)乘和乘法構(gòu)成K-代數(shù),

即滿足(1)

~

(8)且滿足性質(zhì):(

f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x))f(x)g(x)=g(x)f(x)(f(x)+g(x))h(x)=f(x)h(x)+g(x)h(x)c

(f(x)g(x))=(c

f(x))g(x)=f(x)(c

g(x))1·f(x)=f(x).注1:因?yàn)?9),

(10),

(13),

K[x]稱(chēng)為K上存在單位元1的

結(jié)合交換代數(shù).注2:因?yàn)?1)

~

(4),

(9)

~

(11),

(13),

K[x]對(duì)加法和乘法構(gòu)成有單位元的結(jié)合交換環(huán).13多項(xiàng)式的次數(shù)引理

deg

f

(x)g(x)=degf

(x)

+

deg

g(x) deg

f(x)

=

degcf(x)

,0

≠c∈Kdeg

(f

(x)+

g(x))≤

max{deg

f(x)

,degg(x)}注degf(x)g(x)=0

f(x)=a0≠0且g(x)=

b0≠0命題f

(x),

g(x)∈K[x].

f

(x)≠0,

g(x)≠0,則f(x)g(x)≠0.推論

若f(x)≠0,f(x)g(x)=f(x)h(x),則g(x)=h(x).例

f

(x),

g(x)∈R[x]且f

(x)2+g(x)2=0,

則f

(x)=g(x)

=0.14§5.2

目的與要求掌握帶余除法的內(nèi)容和證明方法;熟練用帶余除法、待定系數(shù)法、湊項(xiàng)法解答有關(guān)整除問(wèn)題.15整除_定義定義:設(shè)f(x),g(x)∈

K[x].若存在h(x)∈

K[x].使得f(x)=g(x)h(x),則稱(chēng)g(x)整除f(x),或f(x)被g(x)整除,或g(x)是f(x)的因式.記為g(x)|f(x).否則記g(x)

f(x).注1:

g(x)|f

(x),問(wèn)是否必有deg

g(x)≤

degf(x)?f

(x)g(x)≠0時(shí),

成立;

g(x)|0;

當(dāng)f

(x)≠0,

0

f(x);0|0.注2:

deg

g(x)≤

degf

(x)是否必有g(shù)(x)|f(x)?注3:7|11?注4:f(x)|f(x)16整除_性質(zhì)性質(zhì):

f

(x),g(x),

h(x)∈

K[x],0≠c∈K

,則f(x)|g(x),則cf(x)|g(x)f(x)|g(x),g(x)|h(x),則f(x)|h(x)f(x)|g(x),f(x)|h(x),則

u(x),

v(x)∈

K[x],

有f

(x)|u(x)g(x)+v(x)h(x)f

(x)

|

g(x),

g(x)

|

f(x),則存在c

≠0∈K,

使f(x)=cg(x).17帶余除法_1帶余除法定理設(shè)f(x),g(x)∈

K[x]

,

g(x)≠

0,則存在唯一q(x)、

r(x)

∈

K[x]

,

且deg

r(x)

＜

deg

g(x),

使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)注1:定理結(jié)論可敘述為：f

(x)=g(x)q(x)+r(x),這里或者

r(x)=

0，或者0≤

deg

r(x)

<

deg

g(x).q(x)稱(chēng)為g(x)除f(x)的商式,r(x)稱(chēng)為g(x)除f(x)

的余式.注2:條件deg

r(x)

＜

deg

g(x)保證了唯一性.18帶余除法_2推論:

f(x),g(x)∈

K[x]

,

g

(x)≠

0,則g(x)|

f(x)當(dāng)且僅當(dāng)g(x)除f(x)的余式為0.注1整除關(guān)系不因數(shù)域擴(kuò)大而改變.

注2若g|f+h且g|f,則g|h.例1

x|f(x)則x2|f2(x)例2

f(x)=3x4-4x3+5x-1,

g(x)=x2-x+1.求q(x),

r(x).1920§5.3

目的與要求熟練掌握最大公因式的概念、性質(zhì)與結(jié)論;熟練掌握互素的概念和充要條件;了解中國(guó)剩余定理的內(nèi)容和思想方法.最大公因式_定義定義:設(shè)f

(x),

g

(x)∈

K[x]

,

若d(x)

∈

K[x]使得d(x)|f(x)且d(x)|g(x)若h(x)

|f(x)且h(x)|g(x),則有h(x)|d(x)則稱(chēng)d(x)是f(x)與g(x)的最大公因式.注1

d(x)是f(x),g(x)的公因式,且次數(shù)最高.注2f(x)與0的最大公因式;7與6的最大公因式.21最大公因式_唯一性設(shè)

d(x),d1(x)是f(x)和g(x)的最大公因式,據(jù)定義有d(x)|d1(x)且d1(x)|d(x),故存在c∈K,

使得d(x)

=

cd1

(x).

即f

(x),

g(x)的最大公因式最多差一個(gè)非零常數(shù)。規(guī)定

f(x),g(x)的最大公因式的首項(xiàng)系數(shù)為1,

則f(x),g(x)的最大公因式唯一確定,記為

d(x)=

(f(x),g(x)).注

(0,0);

(f(x),

0),

(7,6)22最大公因式_存在性引理

設(shè)f(x),g(x),h(x)∈K[x]若g(x)|f(x),

則(f(x),g(x))=cg(x);若g(x)|f(x),

g(x)|h(x),則g(x)|f(x)－h(huán)(x);對(duì)任意h(x)

∈K[x],

成立(f

(x),g(x))=

(f(x)－h(huán)(x)g(x),g(x))定理設(shè)f

(x),

g(x)∈K[x]

,則存在d(x)∈

K[x],

使得(f(x),g(x))

=d(x),

且存在u(x),v(x)∈

K[x],使d(x)

=u(x)f(x)+v(x)g(x).證明用Euclidean輾轉(zhuǎn)相除法.23最大公因式_存在性注1證明方法即是計(jì)算方法.注2最大公因式與數(shù)域擴(kuò)大無(wú)關(guān).注3

設(shè)f(x),g(x),d(x)∈

K[x]

,且d(x)的首

項(xiàng)系數(shù)為1.

如果存在

u(x),

v(x)∈

K[x],使得d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)d(x)|f(x),d(x)|g(x)則

d(x)=

(f(x),g(x)).特別提示

若沒(méi)有條件(2),

則(1)不能保證結(jié)論

成立(作業(yè)).24最大公因式_多個(gè)多項(xiàng)式定義

對(duì)m個(gè)多項(xiàng)式

fi(x)

∈K[x]

,

1

≤i≤

m

,若存在

首項(xiàng)系數(shù)為1的d(x)∈

K[x]

,

使得d(x)

|fi(x),1≤i≤

m(2)

若h(x)|fi(x),1≤i≤m

,則h(x)|

d(x)則稱(chēng)

d(x)是fi(x),1≤i≤m的最大公因式,

記做d(x)

=

(f1(x)

,f2(x)

,

…

,fm(x)

)命題設(shè)f(x),g(x),h(x)∈

K[x],則(f

(x),g(x),h(x))=

((f(x),g(x)),h(x))=

(f(x),(g(x),h(x)))25互素_1定義:設(shè)

f(x),g(x)∈

K[x],若(f(x),g(x))=

1,則稱(chēng)f(x)與g(x)互素.定理設(shè)

f(x),g(x)∈

K[x],則f(x),

g(x)互素當(dāng)

且僅當(dāng)存在

u(x),v(x)使得u(x)f(x)+v(x)g(x)

=

1.26互素_227性質(zhì):設(shè)

f1(x)

|g(x),

f2(x)

|

g(x),且

(f1(x),

f2(x))

=

1,

則f1(x)

f2(x)

|

g(x).設(shè)(f(x),g(x))=

1,且f

(x)|g(x)h(x),則f

(x)|h(x).設(shè)(f(x),g(x))=d(x)≠0,

且f

(x)

=

f1(x)d(x),g(x)=g1(x)d(x),

則(

f1(x)

,g1(x)

)

=

1.設(shè)(

f1(x),g(x)

)=

1,(

f2(x),g(x))

=

1,則(

f1(x)

f2(x),

g(x))

=

1.中國(guó)剩余定理_1引理

設(shè)

p1(x),

p2(x),…,

pn(x)是數(shù)域K上兩兩互素的

多項(xiàng)式,證明對(duì)于每個(gè)i,

1≤i≤n,存在多項(xiàng)式fi(x),使得中國(guó)剩余定理

設(shè)p1(x),

p2(x),…,

pn(x)是數(shù)域K上兩

兩互素的多項(xiàng)式,degpi(x)=mi,1≤

i≤n,則對(duì)任意n個(gè)多項(xiàng)式f1(x),

f2(x),…,

fn(x),存在唯一多項(xiàng)式

f(x),使得

deg

f(x)<m1+m2+…+mn,且對(duì)任意i,1≤i≤n,有f(x)

≡fi(x)(mod

pi(x)).28中國(guó)剩余定理_2Language插值公式設(shè)a1,a2,…,an是數(shù)域K上n個(gè)不同的數(shù),則對(duì)

任意n個(gè)數(shù)b1,b2,…,bn,存在唯一次數(shù)小于

n的多項(xiàng)式適合條件L(ai)=bi,1≤i≤n.2930§5.4

目的與要求熟練掌握不可約因式的基本性質(zhì);掌握因式分解定理的存在性與唯一性的證明方法;熟練利用標(biāo)準(zhǔn)分解式解決相關(guān)問(wèn)題;理解重因式的概念與判定方法.不可約多項(xiàng)式_定義定義

設(shè)

f(x)∈K[x],

且deg

f(x)≥1,

若

f(x)不能表

為兩個(gè)次數(shù)較小的多項(xiàng)式之積,

則稱(chēng)

f(x)是不可約多項(xiàng)式,否則稱(chēng)為可約多項(xiàng)式.注1

多項(xiàng)式的可約不可約與數(shù)域

K有關(guān).例如

x2－2在Q[x]上是不可約多項(xiàng)式,

但在R[x]上

是可約多項(xiàng)式.注2

K上不可約多項(xiàng)式f(x)的因式只能是K上非零

常數(shù)c及c

f(x).注3

多項(xiàng)式分為:可約多項(xiàng)式,不可約多項(xiàng)式,0次

多項(xiàng)式和0多項(xiàng)式.31不可約多項(xiàng)式_性質(zhì)性質(zhì)1

f(x),

p(x)∈

K[x],

且p(x)是不可約多項(xiàng)式,則或p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=

1.性質(zhì)2設(shè)f(x),

g(x),p(x)∈

K[x],且

p(x)是不可約多項(xiàng)式,若p(x)|f(x)g(x),則或p(x)|f(x)或p(x)|g(x).注1

設(shè)p(x)∈

K[x],degp(x)>0,滿足以下性質(zhì):對(duì)任意

f(x)∈K[x]或

p(x)|

f(x)

或

(

f(x),p(x))=1,則p(x)是不可約多項(xiàng)式.注2設(shè)p(x)∈

K[x],degp(x)>0,滿足以下性質(zhì):對(duì)

任意

f(x),

g(x)∈

K[x],如果p(x)|f(x)g(x)必有p(x)|f(x)或p(x)|g(x),則p(x)是不可約多項(xiàng)式.32因式分解基本定理_1定理設(shè)f(x)∈

K[x],且degf(x)≥1,則f(x)

=

p1(x)

p2(x)…

ps(x),

其中

pi(x)

是不可約多項(xiàng)

式,1≤i≤s;若f(x)

=

p1(x)

p2(x)…

ps(x)

=

q1(x)

q2(x)…

qt(x)其中

pi(x),

qj(x)是不可約多項(xiàng)式,

1≤i≤s,

1≤j≤t,則必有s

=

t且經(jīng)過(guò)適當(dāng)調(diào)換因子順序后,qj(x)=ci

pi(x),1≤i≤s,

其中ci是K中非零常數(shù).多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式其中pi(x)是兩兩互素首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式,ei≥1.33最小公倍式定義:設(shè)f(x),

g(x),

c(x)∈

K[x],且c(x)的首項(xiàng)系數(shù)為1，c(x)稱(chēng)為f(x),

g(x)的最小公倍式,如果f(x)|c(x),且g(x)|c(x)若f(x)|h(x),g(x)|h(x),則c(x)|h(x)記為c(x)=

[f(x),g(x)]34因式分解基本定理_2定理設(shè)ai≥0,

bi≥0,ai+bi＞0,1≤i≤m,pi(x)是兩兩互素首項(xiàng)

系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式,則35重因式_1多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)設(shè)

f(x)

=

anxn

+

an-1xn-1

+…+

a1x

+

a0,

則其導(dǎo)數(shù)為f

’(x)

=

nanxn-1

+

(n-1)an-1xn-2

+…+

a1(f(x)+

g(x))’=f’(x)+g’(x)(f(x)g(x))’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)(cf(x))’

=cf

’(x)(f

m(x))’=mfm-1(x)f’(x).36定義

不可約多項(xiàng)式p(x)稱(chēng)為f(x)的ei重因式(ei＞1),如果 并且

.定理

f(x)無(wú)重因式當(dāng)且僅當(dāng)(f(x),

f

’(x))=1.定理

設(shè)d(x)=(f(x),

f’(x)),

f(x)

=f1(x)d(x),

則

f1(x)是一個(gè)無(wú)重因式的多項(xiàng)式,

且此多項(xiàng)式的每一個(gè)不可約因式與f(x)的不可約因式相同.是證明思路:設(shè)

標(biāo)準(zhǔn)分解式,則而重因式_237§5.5

目的與要求理解多項(xiàng)式可作為函數(shù)的根的性質(zhì);理解兩個(gè)多項(xiàng)式相等

作為函數(shù)相等;了解多項(xiàng)式的性質(zhì)與數(shù)域擴(kuò)大的關(guān)系;能應(yīng)用多項(xiàng)式的函數(shù)性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題.38多項(xiàng)式函數(shù)_1設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,

對(duì)任意b

∈K,

定義f(b)=anbn+an-1bn-1+…+a1b+a0,

則定義了數(shù)域K上的函數(shù).定義

設(shè)f(x)∈K[x],

b∈K,

且f(b)=0,

則稱(chēng)b為f(x)的一個(gè)根或零點(diǎn).余數(shù)定理

設(shè)f(x)∈K[x],

b∈K,

則存在唯一的g(x)∈K[x],使得

f(x)=(x-b)

g(x)+

f(b).

特別地,

b

是f(x)的根當(dāng)且僅當(dāng)(x-b)|

f(x).39多項(xiàng)式函數(shù)_2定理

設(shè)f(x)∈K[x],且degf(x)=n,

則f(x)在K內(nèi)至多有n個(gè)不同的根.推論

設(shè)f(x),

g(x)∈K[x],且degf(x),

degg(x)≤n,且存在不同的n+1個(gè)數(shù)

b1,

b2,

…,

bn+1∈K,使得f(

bi)=g(bi

),1≤i≤n+1,則f(x)=g(x).定理

設(shè)f(x),

g(x)∈K[x],

則f(x),

g(x)作為多項(xiàng)

式相等(即次數(shù)和各次項(xiàng)系數(shù)相等)當(dāng)且僅當(dāng)f(x),

g(x)作為多項(xiàng)式函數(shù)相等:

即對(duì)任意b∈K,有f(b)=g(b).40例例1

sinx不是R上多項(xiàng)式.例2

設(shè)degf(x)>0,

n是正整數(shù).

又若f(x)|f(xn),則f(x)的根或?yàn)?或?yàn)閱挝桓?41多項(xiàng)式函數(shù)_3定義

b∈K,

若(x－b)k

|

f(x),

但則稱(chēng)b為f(x)的一個(gè)k重根.

若k=1,

則稱(chēng)b為單根.注1

f(x)有重根,則必有重因式;反之未必.命題設(shè)f(x)∈K[x],且degf(x)=n,則f(x)在K內(nèi)至多有n個(gè)根.42例子例3設(shè)b是f(x)的k重根,則b是f’(x)的k-1重根.反之未必.例4

設(shè)b是(f(x),f’(x))的k-1重根,則b必是f(x)的k重根.43多項(xiàng)式性質(zhì)與數(shù)域擴(kuò)大的關(guān)系多項(xiàng)式的整除、帶余除法、最大公因式、互素與數(shù)域擴(kuò)大無(wú)關(guān)定理設(shè)F,K是數(shù)域,

且

.

設(shè)f(x),

g(x)

∈K[x],

則在K[x]上,

g(x)

|

f(x)

在F[x]上,

g(x)

|

f(x);在K[x]上,

f(x)

=g(x)

q(x)

+r(x)

在F[x]上,

f(x)=g(x)

q(x)

+

r(x)在K[x]上,

(f(x),

g

(x)

)

=

d

(x)

在F[x]上,

(f(x),

g

(x)

)

=

d

(x)在K[x]上,

(f(x),

g

(x)

)

=1

在F[x]上,

(f(x),

g

(x)

)

=

1多項(xiàng)式的根、不可約、標(biāo)準(zhǔn)分解式與數(shù)域擴(kuò)大有關(guān)44例子例5

討論f(x)=x2+1在R、C上的根與可約性.例6f(x)在K上不可約,則必在任何數(shù)域上無(wú)

重根.例7

f(x),p(x)是K上多項(xiàng)式,p(x)在K上不可

約,

且f(x)與p(x)在C上有公共根,則p(x)|f(x).例8f(x)=x3m+x3n+1+x3p+2,

m,n,p是正整數(shù),

則x2+x+1|x3m+x3n+1+x3p+2.例9

f(x)∈Q[x],

若a+ib,

a,

b

∈Q是f(x)的根,證明:

a-ib也是f(x)的根.例10

求正整數(shù)m,使x2+x+1|(x+1)m–

xm–1.4546§5.6

目的與要求理解代數(shù)基本定理與C[x]上多項(xiàng)式標(biāo)準(zhǔn)分解式;熟練掌握Vieta定理;了解一元三次、四次方程的根式解法以及Galois在根式解問(wèn)題的重大貢獻(xiàn).復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式代數(shù)基本定理

每個(gè)次數(shù)大于0的復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式都至少有一個(gè)根.推論

復(fù)數(shù)域上的一元n次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域內(nèi)恰好有n個(gè)根.推論

復(fù)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式都是一次的.復(fù)數(shù)域上非常數(shù)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式:其中ai∈C且兩兩互異,ei>0,1≤i≤m,47Vieta定理_根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)f(x)=

xn

+p1xn-1

+…+

pn-1x+

pn∈K[x]在K中有n個(gè)根x1,

x2,…,xn

,則48一元三次方程的公式解_Cardan公式考慮一元三次方程式

f(x)=x3+ax2+bx+c=0

.作變換

,化為缺二次項(xiàng)方程

y3+py+q=0.考慮方程

f(x)=x3+px+q=0 (*)

的根.若q=0,則 是方程的根.若p=0,則 是方程的根,其中若p≠0,q≠0,令x=u+v,得x3-3uvx-(u3+v3)=0.

比較(*)式,得

或49一元三次方程的公式解_Cardan公式由Vieta定理知,

u3,v3是 的兩個(gè)根.

所以令 可得式(*)的三個(gè)根為50一元四次方程的公式解_Ferrari解法設(shè)f

(x)=x4+ax3+bx2+cx+d,作變換

，

問(wèn)題歸結(jié)為解下面方程:

x4+ax2+bx+c=0

(*)引入新的未知量u,得若中括號(hào)內(nèi)是一個(gè)完全平方，則可化為兩個(gè)二次方程來(lái)解．而中括號(hào)是完全平方當(dāng)且僅當(dāng)

解出u，則(**)變?yōu)榉纸庖蚴胶蟮玫絻蓚€(gè)二次方程：,注:高于四次以上的方程一般是沒(méi)有公式解．51用根公式解代數(shù)方程的歷史_152一元二次方程：公元前2000年，古巴比倫

人，類(lèi)似配方法一元三次方程：S.del.Ferro(1465-1526)和N.Fontan

Linebreak(即Tartaglia)(1499-1557)，根式解一元四次方程：L.Ferrari(1522-1565)，根式解以上解法收入G.Cardano(1501-1576)

在1545

年出版的《Ars

Magna（大術(shù)）》中用根公式解代數(shù)方程的歷史_2挑戰(zhàn)：找出五次方程的根式解1545年來(lái)近300年努力，

中間應(yīng)該提到Lagrange,Gauss,

P.

Ruffini等名字。1824年，挪威青年數(shù)學(xué)家Abel（

-1828）證明了一般五次方程根式解的不可能性。但證明有漏洞，且未解

決一元n次方程何時(shí)可用根式求解，何時(shí)不可用根式求解。1830年，法國(guó)天才的青年數(shù)學(xué)家Galois借助于他創(chuàng)立的群的理論徹底解決這個(gè)問(wèn)題。用域論、群論語(yǔ)言刻

劃了f(x)可用根式解的充要條件。Galois的工作更重要的是開(kāi)創(chuàng)了代數(shù)學(xué)的新紀(jì)元。一門(mén)全新的并在代數(shù)學(xué)中起極其重要的數(shù)學(xué)分支——抽象代數(shù)從此誕生了。53例子例1設(shè)f(x)=anxn+…+a0的n個(gè)根x1,x2,…,xn兩兩互異,

且xi≠0,

1≤i≤n,

求以 為根的多項(xiàng)式.例2設(shè) 是x3+px2+qx+r的根.

求多項(xiàng)式,

使得其根為例3

設(shè)f(x)∈C[x].

若對(duì)于任意的c∈R,

f(c)

∈R.

求

證f(x)∈R[x].例4

f(x)=anxn+…+a1x+a0在K上可約,

其中ana0≠0,

證明g(x)=a0xn+…+an-1x+an在K上也可約.5455§5.7

目的與要求熟練掌握實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式;學(xué)會(huì)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的實(shí)根的上下界的估計(jì);掌握計(jì)算實(shí)根個(gè)數(shù)的Sturm方法;學(xué)習(xí)一些解決實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式問(wèn)題的方法和技巧.實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式定理:設(shè)f

(x)

=

anxn

+

an-1xn-1

+…+

a1x

+

a0

是實(shí)系數(shù)多

項(xiàng)式.若復(fù)數(shù)a+

bi(b≠0,

a,b

∈R)是f(x)的根,

則a－bi也是f(x)的根.推論:實(shí)數(shù)域上不可約多項(xiàng)式或?yàn)橐淮位驗(yàn)槎味囗?xiàng)式ax2+bx+c,

其中b2－4ac<0.實(shí)數(shù)域上非常數(shù)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式:j56其中ai,

bj,

cj∈R,

ei,

lj

>0,

bj2－4cj<0,

ai兩兩互異,

且x2+bjx+cj兩兩互素,

1≤i≤m,

1≤j≤r.實(shí)多項(xiàng)式根的上下界估計(jì)_1定理:設(shè)f

(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

是R上n

次多項(xiàng)式,其中an>0,an-1≥0,

…,

an-k-1≥0.

但an-k<0.并設(shè)b是負(fù)系數(shù)絕對(duì)值中的最大者.(注意b>0),則對(duì)f

(x)的任一正根c(如果存在),有:注:

求負(fù)根的下界,只需求正根的上界即可.57實(shí)多項(xiàng)式根的上下界估計(jì)_2證明:反證法.若

則因此c不可能是f(x)的零點(diǎn)。58實(shí)多項(xiàng)式的實(shí)根個(gè)數(shù)的估計(jì)_1Sturm序列:設(shè)f

(x)沒(méi)有重根,記

g0(x)=f

(x),

g1(x)=f

’

(x).則(f

(x),f

’

(x))=1.

對(duì)f

(x)與f’(x)作輾轉(zhuǎn)相除：g0(x)

=

g1(x)q1(x)

－

g2(x)g1(x)

=

g2(x)q2(x)

－

g3(x)…gs-2(x)

=

gs-1(x)qs-1(x)

－

gs(x)其中g(shù)s(x)為非零常數(shù)多項(xiàng)式，我們稱(chēng):g0(x),

g1(x),

…,

gs(x)是一個(gè)Sturm序列.59實(shí)多項(xiàng)式的實(shí)根個(gè)數(shù)的估計(jì)_2對(duì)任意實(shí)數(shù)c,

得到實(shí)數(shù)列:

g0(c),

g1(c),…,

gs(c),

劃去其中零,

從左往右看,

相鄰兩個(gè)數(shù)符號(hào)相反,

則稱(chēng)有一個(gè)變號(hào)數(shù).

變號(hào)數(shù)的總和稱(chēng)為該數(shù)列的變號(hào)數(shù),記為V(c)．引理

上述Sturm序列有下列性質(zhì)：相鄰的兩個(gè)多項(xiàng)式gi(x)與gi+1(x)無(wú)公共根；若gi(c)

=

0,

則gi－1(c)

=

－gi+1(c);,3)

若c是g0(x)的根,

則存在 使當(dāng)時(shí),g0(x)與g1(x)異號(hào);

當(dāng) 時(shí),

g0(x)與g1(x)同號(hào).60實(shí)多項(xiàng)式的實(shí)根個(gè)數(shù)的估計(jì)_3Sturm定理

設(shè)f(x)是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式且無(wú)重根,a<b,a,b都不是f

(x)的根,且在(a,b)間有根,則V(a)>V(b),且f

(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)等于V(a)－V(b).

特別,若a,

b分別是f(x)的實(shí)根的下上界,則V(a)－V(b)等于f(x)的實(shí)根總數(shù)．證明思路:

1)

當(dāng)

x

增大且不經(jīng)過(guò)上述Sturm序列中每個(gè)多項(xiàng)式

的零點(diǎn)時(shí),變號(hào)數(shù)不變;當(dāng)

x

增大且經(jīng)過(guò)Sturm序列中除g0(x)外的某些多

項(xiàng)式的零點(diǎn)時(shí),它們的總變號(hào)數(shù)不變;當(dāng)

x

增大且經(jīng)過(guò)Sturm序列中含g0(x)

的多項(xiàng)式的零點(diǎn)時(shí),它們的總變號(hào)數(shù)恰好減1.61例子例1

求x4-4x3+12x+9的實(shí)根的上下界.例2實(shí)數(shù)列1,0,-3,4,0,2,-1,2,1,0,1的變號(hào)數(shù).例3

求f(x)=

x4-4x3+12x+9的實(shí)根個(gè)數(shù).例4

設(shè)f(x)∈R{x},

deg

f(x)為奇數(shù),

則f

(x)必有實(shí)數(shù)根.例5

方程x8+5x6+4x2+2x2+1=0無(wú)實(shí)根.例6

設(shè)f(x)∈R{x},

則在

f(x)的兩個(gè)實(shí)根之間

至少存在f’(x)的一個(gè)根.62例子例7已知,

ci∈R,

0≤i≤n.

證明f(x)=c0+c1x+c2x2+…+cnxn至少有一個(gè)實(shí)根.例8

設(shè)f(x)∈R[x],

若f(x)只有實(shí)根.

證明:

若α是f

’(x)

的重根,則f(α)=0.例9

設(shè)f(x)∈R[x],

且對(duì)于任意的r

∈R,

有f(r)≥0,

求

證存在g(x),

h(x)

∈R[x],

使得f(x)=

g2(x)

+h2(x)

.例10

設(shè)f(x)∈R[x],

證明:

f(x)有虛根的充要條件是存

在兩個(gè)次數(shù)不相同的非零多項(xiàng)式g(x),

h(x)

∈R[x],使得f

2(x)=

g2(x)

+h2(x)

.6364§5.8

目的與要求學(xué)會(huì)用綜合除法等方法求一些Q上多項(xiàng)式的有理根;理解Z上多項(xiàng)式在Q上可約性的關(guān)系;熟練應(yīng)用Einsenstein判別法;了解Q上多項(xiàng)式分解問(wèn)題的一些技巧與方法.有理系數(shù)多項(xiàng)式_1定理：設(shè)f

(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是整系數(shù)多項(xiàng)式,

則有理數(shù)p/q是f

(x)的根的必要條件是p|an,

q|a0,其中p,q是互素的整數(shù)．注首一的整系數(shù)多項(xiàng)式其有理根必為整數(shù).定理：設(shè) 是整系數(shù)多項(xiàng)式f

(x)的整數(shù)根,

則都是整數(shù).例1

判斷6,－6是否f(x)=x3+6x2+9x+54的根.65有理系數(shù)多項(xiàng)式_2綜合除法：f

(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x－b)(bn-1xn-1+bn-2xn-2+…+b1x+b0)+f(b)banan-1bn-1ban-2bn-2ban=bn-1bn-2bn-3…a1a0…b1bb0b…b0f(b)例2

證明f(x)=x5－12x3+36x+12沒(méi)有有理根.66有理系數(shù)多項(xiàng)式_3引理:設(shè)f(x)是有理數(shù)域上的多項(xiàng)式.若f(x)=bg(x),

其中b為有理數(shù),g(x)為整系數(shù)多項(xiàng)式,

則f(x)在有理數(shù)域上是否可約與g(x)在有理數(shù)域上是否可約等價(jià).定義:設(shè)多項(xiàng)式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是整系數(shù)多項(xiàng)式,

若an,

an-1,

…,

a0的最大公約

數(shù)為1,則稱(chēng)f(x)為本原多項(xiàng)式．Gauss引理:

兩個(gè)本原多項(xiàng)式之積仍為本原多項(xiàng)式．67有理系數(shù)多項(xiàng)式_4引理:若g(x)是本原多項(xiàng)式,a是非整數(shù)的有理數(shù),

則ag(x)必是非整系數(shù)多項(xiàng)式.定理:整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)在有理數(shù)域上可約充要條

件是其在整數(shù)上可約.注1若整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)在有理數(shù)域上可約,則它

必可分解為兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式之積.注2有理系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的可約問(wèn)題可

以轉(zhuǎn)化為整系數(shù)多項(xiàng)式在整數(shù)上是否可約.68有理系數(shù)多項(xiàng)式_5Eisenstein判別法:設(shè)多項(xiàng)式f

(x)

=anxn+an-1xn-1+

…+a1x+a0是整系數(shù)多項(xiàng)式,

an≠0,

n≥1，p是一個(gè)素?cái)?shù),

若

p|

ai

,

０≤i≤n-1.

但

p不整除

an,

且

p2不整除a0

,則f

(x)在有理數(shù)域上不可約.69例子例3

對(duì)任意n≥1,

xn-2在Q上不可約.例4

對(duì)任意n,

m≥1,

兩兩不同的素?cái)?shù)p1,

p2,

…,

pm,

證

明xn-p1p2…pm在Q上不可約.例5

設(shè)x=ay+b,

a≠0,

a,b∈Z,

f(x)

∈Z[x].

若p(y)≡f(ay+b)在Q上不可約,則f(x)在Q上也不可約.例6

若p為素?cái)?shù),

證明f(x)=xp-1+xp-2+…+x+1在Q上不可約.例7證明當(dāng)n為素?cái)?shù)時(shí),在Q上不可約.70例子例8求的有理根.例9設(shè),其中為兩兩不同的整數(shù).求證f(x)在Q上不可約.例10

設(shè),其中為兩兩不同的整數(shù).求證f(x)在Q上不可約.71一元多項(xiàng)式性質(zhì)小結(jié)與數(shù)域無(wú)關(guān)的性質(zhì):整除,帶余除法,最大公

因式,互素,有否重因式.與數(shù)域有關(guān)的性質(zhì):不可約多項(xiàng)式,標(biāo)準(zhǔn)分

解式,多項(xiàng)式的根.定理:設(shè)p(x),

f(x)∈

K[x]是不可約多項(xiàng)式,

若

p(x)和

f(x)在復(fù)數(shù)域上有公共根,則p(x)|f(x).7273§5.9

目的與要求掌握多元多項(xiàng)式的字典排序法和齊次排序法;理解多元多項(xiàng)式與多元多項(xiàng)式函數(shù)的關(guān)系.多元多項(xiàng)式_1定義

設(shè)K是個(gè)數(shù)域,x1,x2,

…,xn是未定元,形如稱(chēng)為單項(xiàng)式,

a為單項(xiàng)式的系數(shù).

當(dāng)a≠0時(shí),k1+k2+…+kn為單項(xiàng)式的次數(shù).

兩個(gè)單項(xiàng)式除系數(shù)外

其余相同,稱(chēng)為同類(lèi)項(xiàng).定義有限個(gè)單項(xiàng)式的和稱(chēng)為n元多項(xiàng)式.

我們總假設(shè)n元多項(xiàng)式表達(dá)式中同類(lèi)項(xiàng)已經(jīng)合并.n元多項(xiàng)式的次數(shù)是指非零的單項(xiàng)式

的次數(shù)中最大的單項(xiàng)式的次數(shù).74多元多項(xiàng)式_275多項(xiàng)式的運(yùn)算:兩個(gè)n元多項(xiàng)式相等當(dāng)且僅當(dāng)它們同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)全部相等．兩個(gè)n元多項(xiàng)式多項(xiàng)式的加法:合并同類(lèi)項(xiàng)n元多項(xiàng)式與數(shù)的數(shù)乘兩個(gè)n元多項(xiàng)式多項(xiàng)式的乘法:各單項(xiàng)乘再求和記K[x1,

x2,…,xn]為數(shù)域K上n元多項(xiàng)式的全

體,

則K(x1,

x2,

…

,

xn]在上面定義的加法,

數(shù)乘,

乘法運(yùn)算構(gòu)成帶單位元的交換的K-代數(shù).多元多項(xiàng)式_3定義每個(gè)單項(xiàng)式 對(duì)應(yīng)n元數(shù)組(i1,i2,

…,in).兩個(gè)n元數(shù)組(i1,i2,

…,in),(j1,j2,…,jn)若滿足:i1=j1,

i2=j2,..,il-1=jl-1,il>jl,則稱(chēng)(i1,i2,

…,in)先于(j1,j2,…,jn),記(i1,i2,…,in)>

(j1,j2,…,jn).這樣就給n元數(shù)組一個(gè)順序,對(duì)應(yīng)地給所有單

項(xiàng)式一個(gè)順序.

這樣的n元多項(xiàng)式排列方法稱(chēng)為字典排列法.76多元多項(xiàng)式_4注1字典排列法的首項(xiàng)的次數(shù)未必最大;末項(xiàng)

次數(shù)未必最小.注2若(i1,i2,…,in)>

(j1,j2,…,jn)且(j1,j2,…,jn)>

(k1,k2,…,kn),則(i1,i2,…,in)>

(k1,k2,…,kn).若(i1,i2,…,in)>

(j1,j2,…,jn)且(p1,p2,…,pn)>

(q1,q2,…,qn),則(i1

+p1,…,in+pn)>

(k1+

q1,…,kn+qn).77例子例1字典排列法重排下列4元多項(xiàng)式:78多元多項(xiàng)式_5定義一個(gè)多項(xiàng)式稱(chēng)為k次齊次多項(xiàng)式,如果它

的每個(gè)單項(xiàng)式都是k次,即其中i1+i2+…+in=k.性質(zhì)1

兩個(gè)次數(shù)相同的齊次多項(xiàng)式之和若非零,必為同次齊次多項(xiàng)式.性質(zhì)2任意兩個(gè)齊次多項(xiàng)式的乘積仍為齊次

多項(xiàng)式.79多元多項(xiàng)式_6定義齊次排列法將多項(xiàng)式各次數(shù)相同的項(xiàng)放

在一起,

用次數(shù)高低表為若干個(gè)齊次多項(xiàng)式之和.注1

當(dāng)n=1時(shí),

不論是字典排列法或齊次排列

法,與一元多項(xiàng)式的次數(shù)排列法一致.注2

一般的,

一個(gè)n元多項(xiàng)式的齊次排列法不唯一.齊次排列法首項(xiàng)不唯一,但其次數(shù)為此

多項(xiàng)式的次數(shù).80例子例2齊次排列法重排下列4元多項(xiàng)式:81多元多項(xiàng)式_7引理若f(x1,x2,…,xn)和g(x1,x2,…,xn)都是K上n元

非零多項(xiàng)式,則按字典排列法,乘積f

(x1,x2,

…,

xn)g

(x1,

x2,…

,xn)的首項(xiàng)等于f(x1,x2,…,xn)與g(x1,x2,…,xn)的首項(xiàng)之積.命題

若f

(x1,

x2,

…,

xn)≠0,

g

(x1,

x2,

…,

xn)≠0,

則f

(x1,

x2,

…,

xn)

g

(x1,

x2,

…,

xn)

≠0．推論

設(shè)h(x1,

x2,

…,

xn)≠0,

若f

(x1,

x2,

…,

xn)

h(x1,

x2,

…,

xn)

=

g(x1,

x2,

…,

xn)

h

(x1,

x2,

…,

xn)則f

(x1,

x2,

…,

xn)

=

g(x1,

x2,

…,

xn)

.82多元多項(xiàng)式_8引理設(shè)f(x1,x2,…,xn)是K上n元非零多項(xiàng)式,

則必存在K上n個(gè)數(shù)a1,a2,…,an使得f(a1,a2,…,an)≠0．命題

K上兩個(gè)n元多項(xiàng)式f(x1,x2,…,xn),

g

(x1,x2,…,xn)相等的充要條件是對(duì)任意a1,a2,…,an∈K都有f(a1,a2,…,an)=g(a1,a2,…,an)．83例子例1

設(shè)f(x1,

x2,

…,xn),

g