人教A版選擇性必修第一冊251第1課時直線與圓的位置關(guān)系課件

第1課時直線與圓的位置關(guān)系第二章2023內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)課標定位素養(yǎng)闡釋1.理解直線與圓的三種位置關(guān)系.2.能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓的位置關(guān)系.3.能解決有關(guān)直線與圓的位置關(guān)系的問題.4.培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法大海上初升的紅日,在冉冉升起的過程中,展現(xiàn)出迷人的風(fēng)采,同時也體現(xiàn)了直線與圓的三種位置關(guān)系:相交、相切、相離.1.怎樣用幾何法即用圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系?提示:利用圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷它們之間的位置關(guān)系如下:若d>r,則直線與圓相離;若d=r,則直線與圓相切;若d<r,則直線與圓相交.2.直線l:Ax+By+C=0(A,B不同時為0),圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),如何用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系?當(dāng)方程組無解,即Δ<0時,直線與圓相離;當(dāng)方程組有一組解,即Δ=0時,直線與圓相切;當(dāng)方程組有兩組解,即Δ>0時,直線與圓相交.3.直線Ax+By+C=0(A,B不同時為0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置關(guān)系及判斷4.(1)直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系是(

)A.相切

B.相交但直線不經(jīng)過圓心C.直線經(jīng)過圓心 D.相離(2)過原點作圓x2+y2-2x-2y+1=0的切線,切線方程為

.

∵直線y=x+1不經(jīng)過圓心(0,0),∴直線與圓相交但不經(jīng)過圓心.(2)∵圓的方程可化為(x-1)2+(y-1)2=1,∴圓與x軸、y軸都相切.∴所求切線方程為x=0或y=0.答案:(1)B

(2)x=0或y=0【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系,只能用圓心到直線的距離d與圓的半徑的大小關(guān)系判斷.(×)(2)過圓外一點作圓的切線有兩條.(√)(3)當(dāng)直線與圓相離時,可求圓上的點到直線的最大距離和最小距離.(√)(4)若直線與圓有公共點,則直線與圓相交.(×)合作探究釋疑解惑探究一直線與圓的位置關(guān)系的判斷【例1】

已知直線方程mx-y-m-1=0,圓的方程x2+y2-4x-2y+1=0.當(dāng)m為何值時,直線與圓(1)有兩個公共點;(2)只有一個公共點;(3)沒有公共點.分析:直線與圓有兩個公共點?直線與圓相交;直線與圓只有一個公共點?直線與圓相切;直線與圓沒有公共點?直線與圓相離.解法一:將直線方程y=mx-m-1代入圓的方程,化簡整理得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0,則Δ=4m(3m+4).解法二:圓的方程可化為(x-2)2+(y-1)2=4,即圓心C(2,1),半徑r=2.反思感悟

直線與圓的位置關(guān)系反映在三個方面:一是圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系;二是直線與圓的公共點的個數(shù);三是兩方程組成的方程組解的個數(shù).因此,若給出圖形,可根據(jù)公共點的個數(shù)判斷;若給出直線與圓的方程,可選擇用幾何法或代數(shù)法,幾何法計算量小,代數(shù)法可一同求出交點.解題時可根據(jù)條件作出恰當(dāng)?shù)倪x擇.【變式訓(xùn)練1】

直線(a+1)x+(a-1)y+2a=0(a∈R)與圓x2+y2-2x+2y-7=0的位置關(guān)系是(

)A.相切 B.相交

C.相離 D.不確定解析:由題意得,直線(a+1)x+(a-1)y+2a=0恒過定點(-1,-1).∵(-1)2+(-1)2-2×(-1)+2×(-1)-7<0,∴定點(-1,-1)在圓內(nèi),∴直線與圓相交.答案:B探究二直線與圓相切【例2】

若直線l經(jīng)過點P(2,3),且與圓(x-1)2+(y+2)2=1相切,求直線l的方程.分析:可以利用幾何法和代數(shù)法兩種思路求切線方程.解:∵(2-1)2+(3+2)2>1,∴點P在圓外.(方法一)①若直線l的斜率存在,設(shè)l:y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.∵直線l與圓(x-1)2+(y+2)2=1相切,②若直線l的斜率不存在,則直線l:x=2,經(jīng)驗證,符合題意.因此,直線l的方程為12x-5y-9=0或x=2.(方法二)①若直線l的斜率存在,設(shè)l:y-3=k(x-2),即y=k(x-2)+3.與圓的方程聯(lián)立消去y,得(x-1)2+[k(x-2)+3+2]2=1,整理得(k2+1)x2-(4k2-10k+2)x+4k2-20k+25=0.②若直線l的斜率不存在,則直線l:x=2,經(jīng)驗證,符合題意.因此,直線l的方程為12x-5y-9=0或x=2.若本例點P的坐標改為P(2,-2),其他條件不變,求直線l的方程.解:∵(2-1)2+(-2+2)2=1,∴點P在圓上.∴過點P的圓的切線有一條.∵圓心(1,-2),點P(2,-2),∴過圓心與點P的直線平行于x軸.∴切線方程為x=2,即直線l的方程為x=2.反思感悟

圓的切線方程的兩種求解方法:(1)幾何法:設(shè)出切線的方程,利用圓心到直線的距離等于半徑,求出未知量的值,此種方法需要注意斜率不存在的情況,要單獨驗證,若符合題意則直接寫出切線方程.一般地,求圓的切線方程或與切線有關(guān)的問題常用此方法.(2)代數(shù)法:設(shè)出直線的方程后與圓的方程聯(lián)立消元,利用Δ=0求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程,則說明要求的兩條切線中有一條直線的斜率不存在,可直接寫出切線的方程.提醒:過一點求圓的切線方程,一定要判斷該點是在圓上還是在圓外,在圓上只有一條切線方程,在圓外有兩條切線方程.【變式訓(xùn)練2】

(1)直線3x+4y=b與圓x2+y2-2x-2y+1=0相切,則b=(

)A.-2或12 B.2或-12C.-2或-12 D.2或12(2)過點P(2,1)引圓x2+(y-2)2=1的切線,則切線長為

.

解析:(1)易知圓心坐標為(1,1),半徑r=1,∵直線與圓相切,答案:(1)D

(2)2探究三直線與圓相交【例3】

已知圓C:x2+y2-2y-4=0,直線l:mx-y+1-m=0.(1)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系;(2)若直線l與圓C交于不同的兩點A,B,且|AB|=3,求直線l的方程.分析:(1)利用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判斷或利用直線的定點與圓的位置關(guān)系判斷.(2)利用半徑、弦的一半和弦心距的關(guān)系,求出圓心到直線的距離,再由此求m值,即得l的方程.所以直線l與圓C相交.解法二:由題意得,直線mx-y+1-m=0恒過定點(1,1).∵12+12-2×1-4<0,∴定點(1,1)在圓內(nèi),∴直線l與圓C相交.(2)設(shè)圓心到直線l的距離為d,解得m=±1,所以所求直線為x-y=0或x+y-2=0.反思感悟

求直線與圓相交時弦長的兩種方法:【變式訓(xùn)練3】

若過點M(-3,-3)的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為4,則直線l的方程為

.

解析:將圓的方程寫成標準形式,得x2+(y+2)2=25,則圓心坐標為(0,-2),半徑為5.若直線l的斜率不存在,則直線方程為x=-3.圓心到該直線的距離為3,又圓的半徑為5,所以弦長為8,不符合題意,舍去.若直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.即x+2y+9=0或2x-y+3=0.答案:x+2y+9=0或2x-y+3=0【易錯辨析】

忽略直線斜率不存在的情況致誤【典例】

已知圓M:(x-1)2+(y-1)2=4,直線a過點P(2,3)且與圓M交于A,B兩點,且|AB|=2,求直線a的方程.錯解:設(shè)直線a的方程為y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.以上解題過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯解忽略了直線a的斜率不存在的情況.正解:①當(dāng)直線a的斜率存在時,設(shè)直線a的方程為y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.如錯解中的圖所示,作MC⊥AB交AB于點C,所以,直線a的方程為3x-4y+6=0.②當(dāng)直線a的斜率不存在時,直線方程為x=2,圓心M(1,1)到此直線的距離也是1,符合題意.綜上,直線a的方程為3x-4y+6=0或x=2.防范措施

點斜式方程并不能表示直線斜率不存在的情況,故在求直線方程時,若設(shè)點斜式方程,根據(jù)條件求得斜率后,應(yīng)注意驗證斜率不存在的情況是否滿足題意.本題錯解就是忽略了直線斜率不存在的情況而出錯的.【變式訓(xùn)練】

已知圓C的方程為x2+y2=4.(1)求過點P(1,2),且與圓C相切的直線的方程;(2)若直線l過點P(1,2),與圓C交于A,B兩點,且|AB|=2,求直線l的方程.解:(1)畫出圓C與點P的大致圖象(圖略)知切線的斜率存在,設(shè)切線方程為y-2=k(x-1).故所求的切線方程為y=2或4x+3y-10=0.(2)當(dāng)直線l垂直于x軸時,直線l的方程為x=1,故直線l的方程為3x-4y+5=0.綜上所述,直線l的方程為3x-4y+5=0或x=1.隨堂練習(xí)1.直線x-y-4=0與圓x2+y2-2x-2y-2=0的位置關(guān)系是(

)A.相交

B.相切C.相交且過圓心 D.相離解析:圓的方程可化為(x-1)2+(y-1)2=4.答案:D答案:C3.直線x-y-5=0截圓x2+y2-4x+4y+