八年級數(shù)學 暑假同步講義 第19講 證明舉例(學生版)

(^TO證明舉例

內(nèi)容分析

幾何證明是八年級數(shù)學上學期第十九章第一節(jié)內(nèi)容，主要對演繹證明和命題、

公理、定理的概念進行講解，重點是真假命題的判定，難點是改寫出已知命題.通

過這節(jié)課的學習一方面為我們后面學習垂直平分線和角平分線等幾何內(nèi)容提供

依據(jù)，另一方面也為后面學習直角三角形性質(zhì)奠定基礎(chǔ).

知識結(jié)構(gòu)

模塊一：演繹證明

知識精講

1、演繹證明的概念

演繹證明：演繹推理的過程就是演繹證明.也就是說演繹證明是指：從已知的概念、條

件出發(fā)，依據(jù)已被確認的事實和公認的邏輯規(guī)則，推導出某結(jié)論為正確的過程.

演繹推理是數(shù)學證明的一種常用的、完全可靠的方法.演繹證明是一種嚴格的數(shù)學證明,

是我們現(xiàn)在要學習的證明方式，簡稱為證明.

班假暑級年八

例題解析

【例1】填空:

（1）如圖，因為4=60。（已知）,N2=60。（已知），

所以//（）.

（2）如圖，因為AB||C￡）（已知），

所以+ZD=（）,

因為AD||8C（已知），

所以+=（），

【例2】已知：如圖，ZVIBC中，AB=AC,A。是外角NCAE的平分線.

求證：ADIIBC.

【例3】已知：如圖，AO_LBC于。，EF1.BC于F,交所_L3CAB于G,交C4延長

線于E,Z1=Z2.

求證：4）平分NBAC,填寫分析和證明中的空白.

分析：要證明45平分NR4C,只要證明尸――

而已知N1=N2,所以應聯(lián)想這兩個角分別和N1=N2的關(guān)系，由已知BC的兩條垂線可

推出//,這時再觀察這兩對角的關(guān)系已不難得到結(jié)論.

證明：?/AD±BC,EFlBC（已知）

，//（）,

=（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

=（兩直線平行，同位角相等），

__________（已知），

即4）平分NBAC（）.

知識精講

1、命題：能界定某個對象含義的句子叫作定義；對某一件事情做出判斷的句子叫作命題；

其判斷為正確的命題叫作真命題；其判斷為錯誤的命題叫作假命題.

數(shù)學命題通常由假設(shè)、結(jié)論兩部分組成，可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”

開始的部分是題設(shè)，“那么”開始的部分是結(jié)論.

2、公理：人們從長期的實踐中總結(jié)出來的真命題.它們可以作為判斷其他命題真假的原始

依據(jù).

3、定理：從公理或其他真命題出發(fā)，用推理方法證明為正確的，并進一步作為判斷其他命

題定理真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理.

班假暑級年八

例題解析

【例4】判斷下列語句是不是命題？

（1）畫NAO8的角平分線；

（2）兩條直線相交，有幾個交點？

（3）直角大于銳角；

（4）直角大于鈍角；

（5）今天可能要下雨；

（6）幾何多有樂趣??！

【例5】判斷下列命題的真假.

（1）平行于同一條直線的兩直線平行;

（2）垂直于同一條直線的兩直線平行;

（3）同角的余角相等；

（4）異號的兩數(shù)相加得負數(shù)；

（5）乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù).

【例6】下列描述不屬于定義的是（）.

A.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

B.正三角形是特殊的三角形；

C.在同一平面內(nèi)三條線段首尾相連得到的圖形是三角形;

D.含有未知數(shù)的等式叫做方程.

【例7】把下列命題改寫成“如果……，那么……”的形式：

(1)直角三角形的兩個銳角互余；

如果，那么

(2)角平分線上點到角兩邊的距離相等；

如果,那么:

(3)線段垂直平分線上點到線段兩端點的距離相等；

如果，那么

【例8】舉出下列假命題的反例：

(1)兩個角是銳角的三角形是銳角三角形；

(2)相等的角是對頂角；

(3)一個角的補角大于這個角；

(4)若/＞從，則a＞》；

(5)若已知直線b＞c,若a工b,bLc,貝l]a_Lc.

【例9】下列說法中，正確的是().

A.命題一定是正確的；B.不正確的判斷就不是命題;

C.公理都是真命題；D.真命題都是定理.

【例10】下列命題是假命題的是().

A.有兩角及其中一角的角平分線對應相等的兩個三角形全等；

B.有兩角及其中一角的對邊上的高對應相等的兩個三角形全等;

C.有兩邊及其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等；

D.有兩邊及其中一邊上的中線對應相等的兩個三角形全等.

班假暑級年八

模塊三：證明舉例

例題解析

【例11]已知：如圖，在IBC中，ZACB=90°,于點。，點區(qū)在AC上,

CE=BC,過E點作AC的垂線，交8的延長線于點尸.

求證：AB=FC.

【例12]如圖，已知RsABC中，NAC8=90。，CDYAB^D,AE為NA的角平分線,

交CD于E,過E作BC的平行線，交AB于點F.

求證：AF^AC.A

【例13】己知：如圖，AB=CD,AD=BC,AE=CF.

求證:ZE=ZF.

【例14]如圖，四邊形ABCD中，￡)E平分/ADC,交43于點E,ZBGC=NGBC,

BG平行￡D交A￡＞延長線于點P.

求證：AD//BC.

【例15]如圖，已知△他C中，。是邊3c的中點，E、尸分別在邊48,4c上，且

EFUBC,ED=FD.

求證：ZAEF=ZAFE.

【例16】如圖，點。是AB上的一點，在的同旁做等邊AACD和等邊ABCE,/場與

CD交于點M,8￡)與CE相交于點N.

求證：CM=CN.

hr

ACB

班假暑級年八

【例17]如圖，已知在中，4）平分NB4C,BEHAD,交C4延長線于點E,F

是BE的中點.

求證：AFVBE.

【例18】

求證:

【例19]如圖所示，問/I、N2、N3、/4要滿足什么條件可以證明A8||8?

8/15

【例20]已知：如圖所示，AB=AC,ZA=90°,AE=BF,BD=DC.

求證：FDA.ED.

【例21]如圖，已知銳角“ABC,分別以BC、84為一直角邊，皆以B為直角頂點，向

△A5C內(nèi)側(cè)作等腰ABCD和ASAE延長D4、EC,交于點尸.

求證：DFA.EF.

【例22]如圖，已知￡＞、E兩點分別在鉆、AC上，AD=AE,BD=CE,BE、CD交

于點F.

求證：FB=FC.

F

BC

班假暑級年八

【例23]如圖所示，在AABC中，AB=2AC,。是4?的中點，E是4D的中點.

A

求證：BC=2CE.

【習題1】命題“互余的兩個角一定是銳角”是命題(填“真”或"假").

【習題2】下列命題中，是真命題的有().

A.兩銳角之和是銳角B.鈍角減去銳角得銳角

C.鈍角大于它的補角D.銳角小于它的余角

【習題3】將下列命題改寫成“如果……，那么……”的形式:

(1)同角的余角相等；

(2)直角都相等；

(3)對頂角相等；

(4)在一個三角形中，等角對等邊.

【習題4】求證“三角形內(nèi)角和等于180°”，并說明其中的因果關(guān)系.

【習題5】已知：四邊形ABC。中，AD\\BC,E是線段DC的中點，AE是N3AZ）的

平分線.

求證：班是ZABC的平分線.

【習題6】如圖，已知：在AABC中，AO平分NB4C,BD=CD.

求證：AB^AC.

BDC

【習題7]如圖，已知，A￡＞是AABC的角平分線，NC=2NB,將AABC沿直線49翻

折，點C落在AB的E處.試判斷的形狀，并加以證明.

D

8

班假暑級年八

【習題8]如圖，己知C4_LAB,E為43上一點，CE平分NACO,DE平分NCDB,

NC￡D=90。.

求證：ABLDB.

【習題9】己知：如圖，AABC中，ZC=90°,AC=BC,AD=DB,AE=CF.

求證：DE=DF.

課后作業(yè)

【作業(yè)1】下列語句中，正確的是（）.

A.相等的角是對頂角；

B.三角形的兩銳角互余；

C.判定兩個三角形全等，至少需要一對邊相等;

D.面積相等的兩個三角形全等.

【作業(yè)2】把下列命題改寫成“如果……那么……”的形式，并指出這個命題的題設(shè)和結(jié)

論.

（1）對頂角相等；

（2）同位角相等，兩直線平行;

（3）同角的余角相等.

【作業(yè)3】如圖，已知：ZVIBC中，NB=2NC,BC=2AB.

求證：NA=90。.

【作業(yè)4】已知：如圖，Z1=Z2,AB>AC.

求證：BD>DC.

BDC

班假暑級年八

【作業(yè)5】已知：如圖，AD//BC,AE.BE分別平分卬U3和NC84,0c過點E.

求證：AB^AD+BC.

【作業(yè)6】已知：AB=AC,ZA=108°,Z1=Z2.

求證：BC=AB+CD.

【作業(yè)7】如圖，已知：在四邊形ABCD中，AB//CZ),8E平分