2023年高考數(shù)學(xué)母題題源解密（全國(guó)通用）：圓錐曲線(xiàn)（原卷版）

專(zhuān)題16圓錐曲線(xiàn)-備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)母題題源解密(全國(guó)通用)

考向一橢圓

【母題來(lái)源】2022年高考全國(guó)乙卷(文科)

【母題題文】已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x軸、y軸，且過(guò)/(0,-兩點(diǎn).

(1)求E的方程;

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)尸(1,-2)的直線(xiàn)交E于N兩點(diǎn)，過(guò)加且平行于x軸的直線(xiàn)與線(xiàn)段交于點(diǎn)T,點(diǎn)〃滿(mǎn)足

MT=TH-證明：直線(xiàn)HN過(guò)定點(diǎn).

【試題解析】【小問(wèn)1詳解】

解:設(shè)橢圓片的方程為加x?+即2=1過(guò)4(0,_2),3(|,一1

4n=1

則＜9/解得加=:,〃=］，

—〃？+〃=134

14

所以橢圓E的方程為：^+―=1.

43

【小問(wèn)2詳解】

32

力(0,-2),8(5，-1),所以/B:y+2=]X,

22

①若過(guò)點(diǎn)P(L-2)的直線(xiàn)斜率不存在，直線(xiàn)x=1.代入二+匕=1,

34

可得〃(1,一半)，N(1,半)，代人方程y=|x—2,可得

T(―-^6+3,-----)1由MT=TH得,到H(―25/6+5,—.求得HV方程:

y=(2+半口一2,過(guò)點(diǎn)(0,-2).

②若過(guò)點(diǎn)尸(1,-2)的直線(xiàn)斜率存在，設(shè)Ax-y-6+2)=0,"(X］，M),N(X2，%).

kx-y-（k+2）=0

聯(lián)立x2y2，得（3/+4）》2—6%（2+左）x+3左/+4）=0,

—+—=1

34

66（2+〉）一8（2+左）

X+X

12-3左2+4一二寸7

可得

3左（4+左）4（4+4左一2左2）'

3左2+4"2=..3^+4

—24%..

且再必+尤2弘=T7I-T（*）

3K?4

y=yt

。，可得（學(xué)+必）,〃（七,必）.

聯(lián)"273,3M+6—

y=-x-22

3

可求得此時(shí)初"一%=3乂+",：：—々(a%)'

將(0,-2)，代入整理得2($+x2)-6(必+y2)+xiy2+x2y{-3yly2T2=0.

將(*)代入，得24k+12左2+96+48k-24(-48-48左+24廿一36/—48=0,

顯然成立，

綜上，可得直線(xiàn)"N過(guò)定點(diǎn)(0,-2).

【命題意圖】

本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及

直線(xiàn)垂直關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

【命題方向】

這類(lèi)試題在考查題型上主要以解答題的形式出現(xiàn)，屬于中檔題，當(dāng)看到題目中出現(xiàn)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位

置關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，要想到聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程.

【得分要點(diǎn)】

求定點(diǎn)、定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；

（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.

考向二雙曲線(xiàn)

【母題來(lái)源】2022年高考浙江卷

【母題題文】已知雙曲線(xiàn)5-《=1（〃＞。力＞。）的左焦點(diǎn)為凡過(guò)/且斜率為9的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)

A（xt,y｝）,交雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)于點(diǎn)6（%,必）且玉＜0＜々.若|F5|=3|E4|,則雙曲線(xiàn)的離心率是

國(guó)題隔圈

【試題解析】過(guò)戶(hù)且斜率為2的直線(xiàn)Z3：_y=2（x+c）,漸近線(xiàn)/2：y=2x,

4a4aa

U—_b_fy_i_?

聯(lián)立，4a，得5你當(dāng),由I旗1=3典I，得I，給，

b\33a）\99aJ

y=-x

a

而I五加H仲！-工口25c2b2c2,c281的“由、夕376

而人1、A在雙曲線(xiàn)上，J'/u---------――=1,解得：—=—,所以離心個(gè)e=-----

2

81/81/〃a244

故答案為：巫.

4

【命題意圖】本題考查了雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能

力.

【命題方向】這類(lèi)試題在考查題型上主要以解答題的形式出現(xiàn)，屬于中檔題，當(dāng)看到題目中出現(xiàn)直線(xiàn)與圓

錐曲線(xiàn)位置關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，要想到聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程.

【得分要點(diǎn)】

(1)第一問(wèn)主要利用圓錐曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)解答；

(2)第二問(wèn)聯(lián)立直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)并消元；

考向三拋物線(xiàn)

【母題來(lái)源】2022年高考全國(guó)甲卷(理科)

【母題題文】設(shè)拋物線(xiàn)C：/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為2點(diǎn)。(p,0),過(guò)尸的直線(xiàn)交C于MN兩點(diǎn).當(dāng)

直線(xiàn)"9垂直于x軸時(shí)，|初刊=3.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線(xiàn)A/。,與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為aB,記直線(xiàn)的傾斜角分別為a,￡.當(dāng)a-￡取

得最大值時(shí)，求直線(xiàn)48的方程.

【試題解析】【小問(wèn)1詳解】

拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為x=-5,當(dāng)MD與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p,

W\MF\=p+^=3,所以p=2,所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為/=以；

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)”今，凹，N多%，8，直線(xiàn)MN:x=w+l,

14yV47\47k4J

x=my+1

2可得,2—4加、_4=0,△>0,必先二一4,

y=4x

k_—一%一4―--乂_4

MN

由斜率公式可得~±_yl~yl+y2,'廠(chǎng)一為+”，

4444

x,—2,4（X1—2）

直線(xiàn)〃D:x==——y+2,代入拋物線(xiàn)方程可得y2一一U—Ly-8=0.

乂

k

44“MM

△>°,必先=-8,所以%=2%,同理可得為=2,，所以38=------=77-------?

%+”2（弘+%）~T

乂因?yàn)橹本€(xiàn)的傾斜角分別為Q,尸，所以《s=tan￡=殍=9|q

若要使a—￡最大，則

tan<7-tan/?_k

設(shè)kMN=2k.B=2k>0,則tan(a-￡)=旦

1+tanatan/3l+2k24,

當(dāng)且僅當(dāng)1整即心日時(shí)’等號(hào)成立，所以當(dāng)"0最大時(shí)，左

，設(shè)直線(xiàn)AB:x=6y+n,

AB2

代入拋物線(xiàn)方程可得y2-4〃=0.△＞。,外瑞=-4〃=4凹為=T6,

所以”=4.所以直線(xiàn)45:x=+4.

【命題意圖】本題主要考查拋物線(xiàn)的定義及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道

較難的題目.

【命題方向】這類(lèi)試題在考查題型上主要以選擇題、填空題和解答題的形式出現(xiàn).試題難度較大，多為高

檔題，重點(diǎn)考查拋物線(xiàn)的定義、性質(zhì)及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)等.

【得分要點(diǎn)】

利用拋物線(xiàn)方程對(duì)斜率進(jìn)行化筒，利用韋達(dá)定理得出坐標(biāo)間的關(guān)系.

一、單選題

1.（2022?湖南?周南中學(xué)高二期末）已知橢圓C：與+￥=1的左右焦點(diǎn)分別為B、/2,過(guò)左焦點(diǎn)B,作直

2516

線(xiàn)交橢圓C于4、3兩點(diǎn)，則三角形48巳的周長(zhǎng)為（）

A.10B.15C.20D.25

22

2.（2022?青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知橢圓C：^T+￡=1（〃＞力＞0）,直線(xiàn)1=三與橢圓。交

于4B兩點(diǎn),。為原點(diǎn)，若三角形405是等腰直角三角形，則橢圓。的離心率為（）

A.&B.也C.3D.巫

4224

3.（2022?河南洛陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)（文））已知點(diǎn)尸是雙曲線(xiàn)f-仁=1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸是雙曲線(xiàn)上在第一象限

8

內(nèi)的一點(diǎn)，且尸尸與x軸垂直，點(diǎn)0是雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，則|尸。|的最小值為（）

A0心R）581672.16>/2

A.2V2+—B.Z72--C.1------Dn.1+----

3333

22

4.（2022?江西九江?三模（理））雙曲線(xiàn)二-二」=1（0<〃?<1）的左右焦點(diǎn)分別為耳，B,P為圓/+/=1

與該雙曲線(xiàn)的一個(gè)公共點(diǎn)，則△尸丹瑪?shù)拿娣e為（）

A.\-mB,〃？C.2mD.1

5.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)。:/=22工（2>0）的焦點(diǎn)為尸，且歹與圓加：。+4）2+/=］上的點(diǎn)之

間距離的最小值為4,則〃的值為（）

A.5B.4C.3D,2

6.（2022?貴州?貴陽(yáng)一中模擬預(yù)測(cè)（文））過(guò)拋物線(xiàn)C:必=2px（p>0）的焦點(diǎn)廠(chǎng)的直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)C交于點(diǎn)

4B,若萬(wàn)5=2而,若直線(xiàn)/的斜率為左，則公（）

A.272B,-2yf2C.20或-20D.屈或二

7.（2022?北京市第十二中學(xué)三模）已知點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C:/=4x上，若以點(diǎn)P為圓心的圓與C的準(zhǔn)線(xiàn)相切,

且與x軸相交的弦長(zhǎng)為6,則點(diǎn)尸到y(tǒng)軸的距離為（）

A.4B.4應(yīng)C.5D.5板

22

8.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)6：3-q=1仍>0）,其左、右焦點(diǎn)分別為用F2.點(diǎn)名到G的一

條漸近線(xiàn)的距離為1,若雙曲線(xiàn)G的焦點(diǎn)在V軸上且與G具有相同的漸近線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)G的離心率為（）

A.75B.2C.V3D.好

二、填空題

22

9.（2022?上海普陀?二模）設(shè)橢圓「：二+匕=1的左、右兩焦點(diǎn)分別為4，K,P是「上的點(diǎn)，則使得△尸尸怎

84

是直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為.

10.（2022?上海靜安?二模）已知橢圓一+4=1（a>0）的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,則。=.

a

11.（2022?四川成都?模擬預(yù)測(cè)（文））某雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為4,且經(jīng)過(guò)（1,2忘），則該雙曲線(xiàn)的離心率為

22

12.(2022?上海長(zhǎng)寧?二模)已知雙曲線(xiàn)C:十方=l(a>0力>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳、鳥(niǎo)，過(guò)鳥(niǎo)且斜率

為-當(dāng)?shù)闹本€(xiàn)與雙曲線(xiàn)C的左支交于點(diǎn)A.若(而+即)?即=0,則雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為.

三、解答題

13.(2022?四川成者卜模擬預(yù)測(cè)(理))平面直角坐標(biāo)系中，橢圓￡+￡=1(。>6>0)的焦距為2而，過(guò)焦點(diǎn)

a'h

的最短弦長(zhǎng)為

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)斜率為方的直線(xiàn)與橢圓交于48兩點(diǎn)，P為橢圓上異于48的點(diǎn)，求△尸45的面積的最大值.

22

14.(2022?山東濰坊?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線(xiàn)。］-}=1(4>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳、入，雙曲線(xiàn)

C的右頂點(diǎn)A在圓。:—+_/=3上，且福.麗=-1.

(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；

(2)動(dòng)直線(xiàn)/與雙曲線(xiàn)。恰有1個(gè)公共點(diǎn),且與雙曲線(xiàn)。的兩條漸近線(xiàn)分別交于點(diǎn)M、N,設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn).求

證：△。及W的面積為定值.

15.(2022?黑龍江?雞西市第四中學(xué)三模(理))已知拋物線(xiàn)C：x2=2py(p>0),圓。x2+/=l.

⑴若拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)尸在圓。上，且“為C和圓。的一個(gè)交點(diǎn)，求|力尸

(2)若直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)C和圓。分別相切于點(diǎn)N,求|MN