高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽之歷年真題分類匯編(2015-2021)：專題40排列組合與圖論第三緝（原卷版）

備戰(zhàn)2022年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽之歷年真題分類匯編(2015-2021)專題40排列組合與圖論第三緝1．【2020年吉林預(yù)賽】若(1+x+x2)1010則a0+a3+A.3670 B.3669 C.31009 2．【2019年貴州預(yù)賽】在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=15,BC=20.則頂點(diǎn)B與斜邊各點(diǎn)的連線中(含邊AB,BC)長度為整數(shù)的線段的條數(shù)是( )A.9 B.10 C.11 D.123．【2019年吉林預(yù)賽】將1,2,3,…,9這9個數(shù)全部填入下圖的3x3方格內(nèi),每個格內(nèi)填一個數(shù),則使得每行中的數(shù)從左至右遞增,每列中的數(shù)從上至下遞減的不同填法共有( )種(A)12 (B)24 (C)42 (D)484．【2017年四川預(yù)賽】在x+y+z8的展開式中,所有形如x(A)112 (B)448 (C)1792 (D)143365．【2017年黑龍江預(yù)賽】形如45132這樣的數(shù)稱為“波浪數(shù)”,即十位數(shù)字,千位數(shù)字均比與它們各自相鄰的數(shù)字大,則由1、2,3、(A)20 (B)18 (C)16 (D)116．【2017年貴州預(yù)賽】將1,2,?,9這九個數(shù)字填在如圖所示的九個空格中,要求每一行從左到右,每一列從上到下分別依次增大.當(dāng)5固定在圖中中央位置時,則填寫空格的方法種數(shù)為((A)12 (B)15 (C)16 (D)187．【2016年遼寧預(yù)賽】將2、3、4、6、8、9、12、15共八個數(shù)排成一行,使得任意相鄰兩個數(shù)的最大公約數(shù)均大于1.則所有可能的排法共有()種A．720B．1014C．576D．12968．【2016年湖南預(yù)賽】在某次乒乓球單打比賽中，原計(jì)劃每兩名選手各比賽一場，但有三名選手各比賽兩場之后就退出了，這樣全部比賽只進(jìn)行了50場.則上述三名選手之間比賽的場數(shù)為（）A．0B．1C．2D．39．【2015年四川預(yù)賽】已知n為正整數(shù)，二項(xiàng)式x2+1A．4B．5C．6D．710．【2021年廣西預(yù)賽】某校n名同學(xué)通過選拔進(jìn)入學(xué)校的數(shù)學(xué)討論班，在一次討論班上他們討論A、B和C三個問題.已知壽位同學(xué)都和班里的其他所有同學(xué)討論了其中的一個問題.每兩位同學(xué)只討論一個問題.若至少有3名同學(xué)互相之間討論的是同一個問題，求n的最小值，并給出證明.11．【2020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第02試）】給定凸20邊形P.用P的17條在內(nèi)部不相交的對角線將P分割成18個三角形,所得圖形稱為P的一個三角剖分圖.對P的任意一個三角剖分圖T,P的20條邊以及添加的17條對角線均稱為T的邊.T的任意10條兩兩無公共端點(diǎn)的邊的集合稱為T的一個完美匹配.當(dāng)T取遍P的所有三角剖分圖時,求T的完美匹配個數(shù)的最大值.12．【2020年福建預(yù)賽】將一個2020×2020方格表的每個格染黑、白兩種顏色之一，滿足以下條件：方格表中的任意一個格A，它所在的行與列的所有格中，與A異色的格多于與A同色的格.證明：染色后，方格表中每行每列兩種顏色的格一樣多13．【2019年上海預(yù)賽】設(shè)n為正整數(shù),稱n×n的方格表Tn的網(wǎng)格線的交點(diǎn)(共(n+1)2個交點(diǎn))為格點(diǎn).現(xiàn)將數(shù)1,2,…,(n+1)2分配給Tn的所有格點(diǎn),使不同的格點(diǎn)分到不同的數(shù)稱Tn的一個1×1格子S為“好格”:若從S的某個頂點(diǎn)起按逆時針方向讀出的四個頂點(diǎn)上的數(shù)依次遞增(例如,圖中是將數(shù)1,2,…,9分配給T2的格點(diǎn)的一種方式,其中,B、C為好格,而A、D不為好格)設(shè)Tn中好格個數(shù)的最大值為f(n).(1)求f(2)的值;(2)求f(n)關(guān)于正整數(shù)n的表達(dá)式14．【2019年貴州預(yù)賽】我們知道,目前最常見的骰子是六面骰,它是一顆正立方體,上面分別有一到六個洞(或數(shù)字),其相對兩面之?dāng)?shù)字和必為七.顯然,擲一次六面骰,只能產(chǎn)生六個數(shù)之一(正上面)。現(xiàn)欲要求你設(shè)計(jì)一個“十進(jìn)制骰”,使其擲一次能產(chǎn)生0~9這十個數(shù)之一,而且每個數(shù)字產(chǎn)生的可能性一樣。請問:你能設(shè)計(jì)出這樣的骰子嗎?若能,請寫出你的設(shè)計(jì)方案;若不能,寫出理由。15．【2019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第02試）】將一個凸2019邊形的每條邊任意染為紅、黃、藍(lán)三種顏色之一，每種顏色的邊各673條.證明:可作這個凸2019邊形的2016條在內(nèi)部互不相交的對角線將其剖分成2017個三角形，并將所作的每條對角線也染為紅、黃、藍(lán)三種顏色之一，使得每個三角形的三條邊或者顏色全部相同或者顏色互不相同.16．【2018年安徽預(yù)賽】在正2018邊形的每兩個頂點(diǎn)之間均連一條線段，并把每條線段染成紅色或藍(lán)色.求此圖形中三邊顏色都相同的三角形的最小個數(shù).17．【2018年浙江預(yù)賽】如圖所示將同心圓環(huán)均勻分成n(n≥3)格.在內(nèi)環(huán)中固定數(shù)字1~n.問能否將數(shù)字1~n填入外環(huán)格內(nèi)，使得外環(huán)旋轉(zhuǎn)任意格后有且僅有一個格中內(nèi)外環(huán)的數(shù)字相同？18．【2017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第02試）】將33×33方格紙中每個小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個數(shù)相等.若相鄰兩個小方格的顏色不同，則稱它們的公共邊為“分隔邊”試求分隔邊條數(shù)的最小值.19．【2017年山東預(yù)賽】求最大的正整數(shù)n,將正整數(shù)1到400任意填人20×20的400個方格中,則總有一行或一列,其中兩數(shù)之差不小于20．【2017年江蘇預(yù)賽】平面上2n個點(diǎn)n>1,n∈21．【2017年新疆預(yù)賽】有9個人參加乒乓球單打比賽,每2個人之間最多比賽1場.已知比賽共舉辦了28場.求證：必然有4個人,他們之間都互相比賽過.22．【2016年全國】給定空間中十個點(diǎn)，其中任意四點(diǎn)不在一個平面上，將某些點(diǎn)之間用線段相連，若得到的圖形中沒有三角形也沒有空間四邊形，試確定所連線段數(shù)目的最大值.23．【2016年吉林預(yù)賽】一次競賽共有n道判斷題，統(tǒng)計(jì)八名考生的答題后發(fā)現(xiàn)：對于任意兩道題，恰有兩名考生答“T，T”；恰有兩名考生答“F，F(xiàn)”；恰有兩名考生答“T，F(xiàn)”；恰有兩名考生答“F，T”.求n的最大值.24．【2016年浙江預(yù)賽】設(shè)正整數(shù)n≥2，對2×n格點(diǎn)鏈中的2n個結(jié)點(diǎn)用紅（R）、黃（Y）、藍(lán)（B）三種顏色染色，左右端點(diǎn)中的三個結(jié)點(diǎn)已經(jīng)染好色，如圖。若對剩余的2n?3個結(jié)點(diǎn)，要求每個結(jié)點(diǎn)恰染一種顏色，相鄰結(jié)點(diǎn)異色，求不同的染色方法數(shù)。25．【2016年湖南預(yù)賽】已知互異的正實(shí)