新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講講練學(xué)案 等差數(shù)列的判定與證明（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第第頁參考答案：1．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）將原遞推關(guān)系式變形即可證明；（2）先求得，再用累加法即可求解.(1)由題，即，是公差為4的等差數(shù)列.(2)，累加可得，當(dāng)時(shí)也滿足上式.2．（1）證明見解析；（2），證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推公式，得到，即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，先求出，再由等差數(shù)列的求和公式，得到，根據(jù)放縮法，化，再由裂項(xiàng)求和，即可得出結(jié)論成立.【詳解】（1）證明：∵，∴，化簡(jiǎn)得，即，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）知，所以，．因此．【點(diǎn)睛】本題主要考查證明數(shù)列是等差數(shù)列，考查裂項(xiàng)相消的方法求數(shù)列的和，屬于?？碱}型.3．(1)證明見詳解；(2)【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義可證得數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得出，再利用等比數(shù)列的求和公式可求得.(1)證明：，，所以，，即，又所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列；(2)由（1）可得：，所以，整理可得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，所以，則，所以①②①－②得．．4．（1），，；（2）存在，；（3）．【解析】【分析】（1）賦值法，可求出數(shù)列的前三項(xiàng)；（2）不妨先假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列定義去計(jì)算，如果能算出來，則存在這樣的實(shí)數(shù)，否則不存在；（3）利用上一問得到的遞推關(guān)系容易得出答案.【詳解】（1）由題意知，∴．同理可得，．（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足題意，則必是與無關(guān)的常數(shù)，而，∴．∴存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列，且．（3）由（2）知數(shù)列是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為2，公差為1，則，∴．5．(1)，(2)證明見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推式，分別令n=1,n=2，可求得結(jié)果；（2）根據(jù)可得，然后證明等于常數(shù)，繼而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.(1)由，，，,，;(2)證明：由已知得，∵，又∵，∴是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴，解得：6．(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）由已知得，，兩式相除整理得，從而可證得結(jié)論，（2）由（1）可得，再利用累乘法求，從而，然后利用放縮法可證得結(jié)論（1）因?yàn)?，所以，所以，兩式相除，得，整理為，再整理得，．所以?shù)列為以2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列．（2）因?yàn)椋?，由?）知，，故，所以．所以．又因?yàn)?，所以?．(1)證明見解析，；(2)不存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定遞推公式，結(jié)合“當(dāng)時(shí)，”建立與的關(guān)系即可推理作答.（2）由（1）求出，利用反證法導(dǎo)出矛盾，推理作答.(1)依題意，正項(xiàng)數(shù)列中，，即，當(dāng)時(shí)，，即，整理得，又，因此，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則，因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，即，所以.(2)不存在，當(dāng)時(shí)，，又，即，都有，則，假設(shè)存在滿足要求的連續(xù)三項(xiàng)，使得構(gòu)成等差數(shù)列，則，即，兩邊同時(shí)平方，得，即，整理得：，即，顯然不成立，因此假設(shè)是錯(cuò)誤的，所以數(shù)列中不存在滿足要求的連續(xù)三項(xiàng).8．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）要證明{bn}是等差數(shù)列，即證明－等于一個(gè)常數(shù)即可.（2）由（1）知bn＝n＋，又因?yàn)閎n＝，即可求出{an}的通項(xiàng)公式.(1)證明：∵(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)－＝＝，∴bn＋1－bn＝，∴{bn}是以首項(xiàng)為b1＝＝＝1，公差為的等差數(shù)列．(2)由(1)及b1＝＝＝1，知bn＝n＋，∴an－1＝，∴an＝.9．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由來證得數(shù)列為等差數(shù)列；（2）利用并項(xiàng)求和法求得.(1)依題意，，兩邊除以得，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.所以.(2)，所以.10．（1）；；（2）存在；．【解析】【分析】（1）代入，進(jìn)入，結(jié)合，即得解；（2）利用等差數(shù)列定義，要使為等差數(shù)列，則為常數(shù)，分析即得解【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，∴．∴，解得．（2）當(dāng)時(shí)，．要使為等差數(shù)列，則為常數(shù)，即，即存在，使為等差數(shù)列．11．（1）證明見解析；（2）()．【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，整理得，根據(jù)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，可得，從而證明為等差數(shù)列；（2）根據(jù)，分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，結(jié)合奇偶并項(xiàng)即可求解.【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，又?jǐn)?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則，化簡(jiǎn)得，即，∵數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，，∴數(shù)列為首項(xiàng)是，公差為的等差數(shù)列，∴；（2）解：由（1）可知：，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，綜上所述，()．12．（1），，，，（2）【解析】【分析】（1）分別令n=1,2,3,能得到，，，的值，分n為奇數(shù)偶數(shù)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由知，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和即可.【詳解】（1），，且，則，解得，，解得，，解得，，解得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，.即有（）；（2）由于為奇數(shù)，則，由于為偶數(shù)，則.因此，.，，兩式相減得，，化簡(jiǎn)可得，.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的求值、求解通項(xiàng)公式的方法和用錯(cuò)位相減法求解通項(xiàng)公式的方法，解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意公式的靈活運(yùn)用，屬于中檔題.13．(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】【分析】（1）由整理得，進(jìn)而得，由等差數(shù)列定義得證；（2）先求出，進(jìn)而得到，，按照裂項(xiàng)相消求和求出即可得證.(1)由得，，即，又，故數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；(2)由（1）知：，化簡(jiǎn)得，故，.14．（1）證明見解析，；（2）最小值為1.【解析】【分析】（1）根據(jù)，可得，從而可得，即可得出結(jié)論，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），即，設(shè)，利用作差法證明數(shù)列單調(diào)遞減，從而可得出答案.【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.，∴.（2）解：∵，∴，即對(duì)任意的恒成立，而，設(shè)，∴，，∴，∴數(shù)列單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，，∴.∴p的最小值為1.15．(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】(1)對(duì)條件進(jìn)行代數(shù)變換，即可證明是等差數(shù)列；(2)對(duì)裂項(xiàng)求和即可.(1)因?yàn)?，所，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差等于1的等差數(shù)列，∴，即；(2)，則；綜上，，.16．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列的定義即可證明；（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，從而得到，再結(jié)合基本不等式求解即可.（1）由已知①∴②由①-②，得即∴，且∴是以2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）可得，∵，，成等比數(shù)列，∴即，解得∴∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最小值為17．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列定義和可得答案；（2）由可構(gòu)成三角形的三邊可得，利用又，根據(jù)的范圍可得答案.（1）（1）因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，時(shí)，，即，所以，又，所以，所以是等差數(shù)列.（2）因?yàn)榭蓸?gòu)成三角形的三邊，所以，即，又，且，所以.18．（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項(xiàng)的遞推關(guān)系,進(jìn)而證明數(shù)列是等差數(shù)列;（2）由（1）可得的表達(dá)式,由此得到的表達(dá)式,然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得.【詳解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列;[方法二]【最優(yōu)解】：由已知條件知

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．[方法三]：

由，得，且，，．又因?yàn)?，所以，所以．在中，?dāng)時(shí)，．故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．[方法四]：數(shù)學(xué)歸納法

由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，且．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)時(shí)顯然成立．假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即．那么當(dāng)時(shí)，．綜上，猜想對(duì)任意的都成立．即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，,,當(dāng)n=1時(shí)，,當(dāng)n≥2時(shí),,顯然對(duì)于n=1不成立,∴.【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一從得，然后利用的定義，得到數(shù)列的遞推關(guān)系，進(jìn)而替換相除消項(xiàng)得到相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，從而證得結(jié)論；方法二先從的定義，替換相除得到，再結(jié)合得到，從而證得結(jié)論，為最優(yōu)解；方法三由，得，由的定義得，進(jìn)而作差證得結(jié)論；方法四利用歸納猜想得到數(shù)列，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證得結(jié)論．（2）由（1）的結(jié)論得到，求得的表達(dá)式,然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得的通項(xiàng)公式；19．（1）證明見解析，；（2）；（3）答案見解析.【解析】【分析】（1）由已知得，可得可得答案；（2）由（1）得，兩式