專題7.4 三角形的外角【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（原卷版）

專題7.4三角形的外角【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-1"\h\u【題型1三角形的外角】 1【題型2三角形的外角性質(zhì)（比較角的大?。?2【題型3三角形的外角性質(zhì)（求角）】 3【題型4三角形的外角性質(zhì)（含角平分線）】 4【題型5三角形的外角性質(zhì)（含垂直關(guān)系）】 5【題型6三角形的外角性質(zhì)（含三角板）】 6【題型7三角形的外角性質(zhì)（含平行線）】 7【題型8三角形的外角性質(zhì)（折疊問題）】 8【題型9三角形的外角性質(zhì)（內(nèi)外角平分線模型）】 9【題型10三角形的外角性質(zhì)（內(nèi)外角平分線規(guī)律問題）】 11【知識點1三角形的外角】三角形外角的概念：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．【題型1三角形的外角】【例1】（2022?海滄區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，BC上的點，連接AE和DE，則下列是△BDE的外角的是（）A．∠AED B．∠AEC C．∠ADE D．∠BAE【變式1-1】（2022?思明區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，E是BC邊上一點，連接AE，OE，則下列角中是△AEO的外角的是（）A．∠AEB B．∠AOD C．∠OEC D．∠EOC【變式1-2】如圖，有個三角形，∠1是的外角，∠ADB是的外角．【變式1-3】（2022?江北區(qū)校級月考）如圖，在∠1、∠2、∠3和∠4這四個角中，屬于△ABC外角的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【知識點2三角形的外角性質(zhì)】①三角形的外角和為360°；②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．【題型2三角形的外角性質(zhì)（比較角的大?。俊纠?】（2022?通川區(qū)期末）如圖，∠A、∠1、∠2的大小關(guān)系是（）A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1【變式2-1】（2022?臨淄區(qū)期中）點P是△ABC內(nèi)任意一點，則∠APC與∠B的大小關(guān)系是（）A．∠APC＞∠B B．∠APC＝∠B C．∠APC＜∠B D．不能確定【變式2-2】（2022春?興隆縣期末）如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）A．∠1＞∠B＞∠2 B．∠B＞∠2＞∠1 C．∠2＞∠1＞∠B D．∠1＞∠2＞∠B【變式2-3】（2022?雙流區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠1是它的一個外角，E為邊AC上一點，延長BC到D，連接DE．則下列結(jié)論正確的是（）A．∠1＞∠D B．∠D＞∠2 C．∠1＝∠2+∠3 D．∠3＝∠A【題型3三角形的外角性質(zhì)（求角）】【例3】（2022?石阡縣模擬）如圖，已知△ABC的外角∠CAD＝120°，∠C＝80°，則∠B的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【變式3-1】（2022?梁子湖區(qū)期末）三角形中，三個內(nèi)角的比為1：3：6，它的三個外角的比為（）A．1：3：6 B．6：3：1 C．9：7：4 D．3：5：2【變式3-2】（2022春?光明區(qū)期末）某零件的形狀如圖所示，按照要求∠B＝20°，∠BCD＝110°，∠D＝30°，那么∠A的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【變式3-3】（2022春?江陰市期中）小棗一筆畫成了如圖所示的圖形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，則∠D+∠E等于（）A．100° B．110° C．120° D．130°【題型4三角形的外角性質(zhì)（含角平分線）】【例4】（2022?沈陽模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC邊于點D，若∠C＝26°，則∠ADB的度數(shù)是（）A．61° B．64° C．71° D．109°【變式4-1】（2022春?宜興市校級月考）如圖，在△ABC中，在AB上存在一點D，使得∠ACD＝∠B，角平分線AE交CD于點F．△ABC的外角∠BAG的平分線所在直線MN與BC的延長線交于點M，若∠M＝35°，則∠CFE＝．【變式4-2】（2022春?邗江區(qū)期中）如圖，∠ABD，∠ACD的角平分線交于點P，若∠A＝50°，∠D＝10°，則∠P的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．25° D．30°【變式4-3】（2022?武岡市期末）如圖，已知P是三角形ABC內(nèi)一點，∠BPC＝120°，∠A＝70°，BD是∠ABP的角平分線，CE是∠ACP的角平分線，BD與CE交于點F，則∠BFC等于（）A．100° B．90° C．85° D．95°【題型5三角形的外角性質(zhì)（含垂直關(guān)系）】【例5】（2022?赤峰）如圖，點D在BC的延長線上，DE⊥AB于點E，交AC于點F．若∠A＝35°，∠D＝15°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．65° B．70° C．75° D．85°【變式5-1】（2022春?鄂州校級期中）如圖，BD，CE是△ABC的兩條高，且交于點O，問：（1）∠1和∠2大小如何？（2）若∠A＝50°，∠ABC＝70°，求∠3和∠4度數(shù)．【變式5-2】（2022春?普陀區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，BD與CE交于O點，如果設∠BAC＝n°，那么用含n的代數(shù)式表示∠BOC的度數(shù)是（）A．45°+n° B．90°﹣n° C．90°+n° D．180°﹣n°【變式5-3】（2022春?騰沖縣期末）已知：如圖所示，∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，BE是AC邊上的高，CF是AB邊上的高，H是BE和CF的交點，求：∠ABE，∠ACF和∠BHC的度數(shù)．【題型6三角形的外角性質(zhì)（含三角板）】【例6】（2022春?宿城區(qū)期末）將一副直角三角板如圖放置，∠A＝30°，∠F＝45°．若邊AB經(jīng)過點D，則∠EDB＝°．【變式6-1】（2022?亭湖區(qū)校級一模）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠α的大小為（）A．105° B．75° C．65° D．55°【變式6-2】（2022?丹東期末）如圖所示，一副三角板疊放在一起，則圖中∠α等于（）A．105° B．115° C．120° D．135°【變式6-3】（2022?安徽二模）一副三角板如圖放置，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【題型7三角形的外角性質(zhì)（含平行線）】【例7】（2022?沙灣區(qū)模擬）如圖，直線a∥b，則∠1＝（）A．100° B．110° C．125° D．135°【變式7-1】（2022春?東西湖區(qū)校級月考）如圖所示，l1∥l2，則下列式子中值為180°的是（）A．α+β+γ B．α+β﹣γ C．β+γ﹣α D．α﹣β+γ【變式7-2】（2022?瀘州）如圖，直線a∥b，直線c分別交a，b于點A，C，點B在直線b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，則∠2的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．70°【變式7-3】（2022?細河區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點E．（1）求∠CBE的度數(shù)；（2）過點D作DF∥BE，交AC的延長線于點F，求∠F的度數(shù)．【題型8三角形的外角性質(zhì)（折疊問題）】【例8】（2022?東城區(qū)校級期末）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正確的是（）A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β【變式8-1】（2022?武昌區(qū)月考）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，則（）A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2 C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）【變式8-2】（2022春?宜興市校級期末）如圖，將△ABC的∠C折疊，使C點在AC邊上，折痕為DE，則（）A．∠BDC＝∠DCE+90° B．∠BDC＝2∠DCE C．∠BDC+∠DCE＝180° D．∠BDC＝3∠DCE【變式8-3】（2022春?長安區(qū)期末）如圖1和圖2，在三角形紙片ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，沿DE折疊，點A落在點A'的位置．（1）如圖1，當點A′落在CD邊上時，∠DAE與∠1之間的數(shù)量關(guān)系為（只填序號），并說明理由；①∠DAE＝∠1②∠DAE＝2∠1③∠1＝2∠DAE（2）如圖2，當點A落在△ABC內(nèi)部時，直接寫出∠DAE與∠1，∠2之間的數(shù)量關(guān)系．【題型9三角形的外角性質(zhì)（內(nèi)外角平分線模型）】【例9】（2022春?茌平區(qū)期末）．如圖，在中，，的平分線交于點，是與平分線的交點，是的兩外角平分線的交點，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【變式9-1】（2022?中原區(qū)校級期末）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠P＝°．【變式9-2】（2022?郟縣期末）如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，BO的延長線交CE于點E，記∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，則以下結(jié)論①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④【變式9-3】（2022春?江都區(qū)月考）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．（1）如果∠A＝70°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，試探索∠Q，∠A之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖③，延長線段BP，QC交于點E，在△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，求∠A的度數(shù)．【題型10三角形的外角性質(zhì)（內(nèi)外角平分線規(guī)律問題）】【例10】（2022春?靖江市月考）如圖1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分線交于點O，則∠BOC＝90°+∠A＝×180°+∠A．如圖2，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的兩條三等分角線分別對應交于O1，O2，則∠BO1C＝×180°+∠A，∠BO2C＝×180°+∠A．根據(jù)以上閱讀理解，你能猜想（n等分時，內(nèi)部有n﹣1個點）（用n的代數(shù)式表示）∠BOn﹣1C＝（）A．×180°+∠A B．×180°+∠A C．×180°+∠A D．×180°+∠A【變式10-1】（2022?曲靖期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝128°，P是△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線BP1與外角∠ACE的平分線CP1的交點；P2是△BP1C的內(nèi)角∠P1BC的平分線BP2與外角∠P1CE的平分線CP2的交點；P3是△BP2C的內(nèi)角∠P2BC的平分線BP3與外角∠P2CE的平分線CP3的交點；依次這樣下去，則∠P6的度數(shù)為（）A．2° B．4° C．8° D．16°【變式10-2】（2022?市北區(qū)期末）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，點P是內(nèi)角∠ABC和外角∠ACD的角平分線的交點，試猜想∠P與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【遷移拓展】如圖2，在△ABC中，點P是內(nèi)角∠ABC和外角∠ACD的n等分線的交點，即∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，試猜想∠P與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【應用創(chuàng)新】已知，如圖3，AD、BE相交于點C，∠ABC、∠CDE、∠ACE的角平分線交于點P，∠A＝35°，∠E＝25°，則∠BPD＝．【變式10-3】（2022春?寶應縣期中）【問題引入】（1）如圖1，△ABC，點O是∠ABC和∠ACB相鄰的外角平分線的交點，若∠A＝40°，請求出