專題5.1 任意角與弧度制【解析版】

專題5.1任意角與弧度制專題5.1任意角與弧度制知識(shí)點(diǎn)一角的概念的推廣知識(shí)點(diǎn)一角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．提醒：終邊相同的角不一定相等，但相等的角其終邊一定相同．知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二弧度制的定義和公式1.定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.2.公式：角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))eq\s\up12(°)弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r20°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π4.提醒：有關(guān)角度與弧度的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)角度與弧度的換算的關(guān)鍵是π＝180°，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．(2)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)三重要結(jié)論1.軸線角：角的終邊的位置集合表示終邊落在x軸的非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°，k∈Z}終邊落在x軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}終邊落在y軸的非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}終邊落在y軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}終邊落在y軸上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}終邊落在x軸上{α|α＝k·180°，k∈Z}終邊落在坐標(biāo)軸上{α|α＝k·90°，k∈Z}2.象限角：象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}考點(diǎn)01周期現(xiàn)象【典例1】（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示的彈簧振子在之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振子向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，先后以相同的速度通過(guò)兩點(diǎn)，經(jīng)歷的時(shí)間為，過(guò)N點(diǎn)后，再經(jīng)過(guò)第一次反向通過(guò)N點(diǎn)，振子在這內(nèi)共通過(guò)了的路程，則振子的振動(dòng)周期．【答案】4【分析】分析運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，先求出半個(gè)周期，即可求出整個(gè)周期.【詳解】簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，先后以同樣大小的速度通過(guò)M、N兩點(diǎn)，則可判定這兩點(diǎn)關(guān)于平衡位置O點(diǎn)對(duì)稱，所以質(zhì)點(diǎn)由M到O時(shí)間與由O到NO到N點(diǎn)的時(shí)間t1=0.5，因過(guò)N點(diǎn)后再經(jīng)過(guò)t2=1質(zhì)點(diǎn)以方向相反、大小相同的速度再次通過(guò)N點(diǎn)，所以振子從O點(diǎn)經(jīng)過(guò)N點(diǎn)到最大位置，再返回平衡位置O點(diǎn)的時(shí)間是0.5+1+0.5=2，為半個(gè)周期，因此，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的周期是T=2×2=4.故答案為：4.【典例2】（2020·高一課時(shí)練習(xí)）今天是星期三，那么天后的那一天是星期幾?天前的那一天是星期幾?100天后的那一天是星期幾?【答案】每周7天，呈周期性變化，今天是星期三，則天后的那一天是星期三；天前的那一天仍然是星期三；100天后的那一天是星期五.【解析】根據(jù)每周的周期性變化關(guān)系即可求解.【詳解】每周7天，呈周期性變化，今天是星期三，則天后的那一天是星期三；天前的那一天仍然是星期三；，所以100天后的那一天是星期五.考點(diǎn)02任意角的概念【典例3】（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，射線繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，并在此基礎(chǔ)上順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120到達(dá)位置，則．【答案】．【分析】由角的定義即可求解.【詳解】由角的定義可得．故答案為：【典例4】（2023上·福建南平·高一武夷山一中校考期中）把分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為.【答案】【分析】分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，計(jì)算得到答案.【詳解】分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為.故答案為：.【規(guī)律方法】注意角的形成過(guò)程中，射線的旋轉(zhuǎn)方向，分清角的正負(fù).．考點(diǎn)03終邊相同的角【典例5】（2023上·安徽·高二校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，下列與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用終邊相同的角的定義計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，所以與終邊相同.故選：B【典例6】（2023·全國(guó)·九年級(jí)隨堂練習(xí)）與角終邊相同的角的集合是．【答案】【分析】終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍.【詳解】由于，故與角終邊相同的角的集合是.故答案為：考點(diǎn)04確定終邊相同的角【典例7】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若角的終邊與角的終邊相同，則在內(nèi)與角的終邊相同的角是.【答案】/【分析】根據(jù)終邊相同角的表示，求得，令，求得，進(jìn)而得到答案.【詳解】因?yàn)榻铅鹊慕K邊與角的終邊相同，可得，所以，令，解得，所以，所以在內(nèi)與角的終邊相同的角為.故答案為：.【典例8】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）寫(xiě)出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式的元素寫(xiě)出來(lái)：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】見(jiàn)解析【分析】（1）（2）（3）（4）根據(jù)終邊相同角的定義可寫(xiě)出滿足條件的角的集合，然后解不等式，求出滿足條件的整數(shù)的值，即可得出滿足條件的元素.【詳解】（1）解：與終邊相同的角的集合為，由，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，適合不等式的元素為、、.（2）解：因?yàn)?，所以，與終邊相同的角的集合為，由，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，適合不等式的元素為、、.（3）解：因?yàn)?，所以，與終邊相同的角的集合為，由，可得、、，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，適合不等式的元素為、、.（4）解：因?yàn)?，所以，與終邊相同的角的集合為，由，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以，適合不等式的元素為、、.【規(guī)律方法】利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫(xiě)出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需的角．考點(diǎn)05判斷角所在象限【典例9】（2023上·甘肅天水·高一秦安縣第一中學(xué)校考期末）若是第二象限角，則是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】由象限角的定義即可求解.【詳解】由題意是第二象限角，所以不妨設(shè)，所以，由象限角的定義可知是第四象限角.故選：D.【典例10】（2023上·四川南充·高二儀隴中學(xué)?？迹┮阎墙K邊上有一點(diǎn)，則為（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】根據(jù)角終邊上的點(diǎn)所在象限判斷即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在第四象限，所以角為第四象限角.故選：D.【方法技巧】象限角的兩種判斷方法(1)圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角．(2)轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．考點(diǎn)06終邊在直線上的角【典例11】終邊在直線上的角的集合是.【答案】【解析】終邊在直線y＝eq\r(3)x上且在第一象限的角為α＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，終邊在直線y＝eq\r(3)x上且在第三象限的角為β＝2kπ＋π＋eq\f(π,3)＝(2k＋1)π＋eq\f(π,3)(k∈Z)．則終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為【典例12】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）寫(xiě)出終邊在下圖所示的直線上的角的集合．【答案】（1）；（2）【分析】（1）首先求得在范圍內(nèi)，終邊在直線上的角有兩個(gè)，即和，從而即可得答案；（2）求出終邊在直線上的角的集合，然后和終邊在直線上的角的集合取并集即可得答案.【詳解】（1）由題圖易知，在范圍內(nèi)，終邊在直線上的角有兩個(gè)，即和，因此，終邊在直線上的角的集合為；（2）同理可得終邊在直線上的角的集合為，終邊在直線上的角的集合為，所以終邊在直線上和在直線上的角的集合為.【規(guī)律方法】求解終邊在某條直線上的角的集合的思路1．若所求角β的終邊在某條射線上，則集合的形式為{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2．若所求角β的終邊在某條直線上，則集合的形式為{β|β＝k·180°＋α，k∈Z}．考點(diǎn)07角的范圍及其分布圖【典例13】（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）寫(xiě)出終邊落在的圖象所夾區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）的角的集合.【答案】【分析】根據(jù)角的終邊落在和圖象上的角的集合可確定結(jié)果.【詳解】角的終邊落在的圖象上時(shí)，角的集合為；角的終邊落在的圖象上時(shí)，角的集合為；終邊落在的圖象所夾區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）的角的集合為.【典例14】（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）寫(xiě)出終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合．(1)

(2)

【答案】(1)(2)【分析】寫(xiě)出終邊在邊界上的角，結(jié)合圖象，利用不等式表示終邊在陰影內(nèi)的角，注意邊界的虛實(shí).【詳解】（1）在范圍內(nèi)，圖中終邊在第二象限的區(qū)域邊界線所對(duì)應(yīng)的角為，終邊在第四象限的區(qū)域邊界線所對(duì)應(yīng)的角為，因此，陰影部分區(qū)域所表示的集合為；（2）圖中從第四象限到第一象限陰影部分區(qū)域表示的角的集合為，圖中從第二象限到第三象限陰影部分區(qū)域所表示的角的集合為，因此，陰影部分區(qū)域所表示角的集合為.【方法技巧】(1)先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；(2)按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的－360°到360°范圍內(nèi)的角α和β，寫(xiě)出最簡(jiǎn)區(qū)間{x|α<x<β}；(3)起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α、β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合．考點(diǎn)08確定已知角終邊所在象限【典例15】（2023上·江蘇南京·高一南京市第十三中學(xué)?？计谥校┑慕K邊在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】應(yīng)用終邊相同的角即可求解.【詳解】的終邊與相同，則終邊在第一象限.故選：A．【典例16】【多選題】（2023下·湖南株洲·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】CD【分析】求出給定的各個(gè)角與到間終邊相同的角，即可作答.【詳解】對(duì)于①，，而是第三象限角，①不是；對(duì)于②，角的終邊為x軸非正半軸，②不是；對(duì)于③，，是第二象限角，③是；對(duì)于④，，是第二象限角，④是.故選：CD考點(diǎn)09由已知角所在象限確定其它角的范圍【典例17】（2022下·高一單元測(cè)試）若為第二象限角，則的終邊所在的象限是（

）A．第二象限 B．第一、二象限C．第一、三象限 D．第二、四象限【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，由的范圍求出的范圍，再分奇偶作答.【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿牵瑒t，因此，而為偶數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，則為第四象限角，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，則為第二象限角，所以的終邊所在的象限是第二、四象限.故選：D【典例18】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）①若角與角的終邊相同，則與的數(shù)量關(guān)系為；②若角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則與的數(shù)量關(guān)系為；③若角與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則與的數(shù)量關(guān)系為；④若角與角的終邊在一條直線上，則與的數(shù)量關(guān)系為；⑤如果是第一象限的角，那么是第象限的角.【答案】一、二、三【分析】根據(jù)角的終邊關(guān)系寫(xiě)出兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，注意對(duì)稱性、周期性應(yīng)用，根據(jù)所在象限寫(xiě)出的范圍，討論其所在的象限即可.【詳解】由角與角的終邊相同，則，由角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則，由角與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則，由角與角的終邊在一條直線上，則，由是第一象限的角，則，所以，當(dāng)，則，在第一象限；當(dāng)，則，在第二象限；當(dāng)，則，在第三象限；當(dāng)，則依次重復(fù)出現(xiàn)在上述三個(gè)象限內(nèi)；所以在第一、二、三象限.故答案為：，，，，一、二、三.考點(diǎn)10確定角的倍、分角所在象限【典例19】【多選題】（2022下·江西新余·高一新余市第一中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）若是第二象限角，則（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的終邊在y軸負(fù)半軸上【答案】BD【分析】由已知可得，然后逐個(gè)分析判斷即可【詳解】因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以可得．?duì)于A，，則是第三象限角，所以A錯(cuò)誤;對(duì)于B，可得，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角．所以B正確;對(duì)于C，，即，所以是第一象限角，所以C錯(cuò)誤;對(duì)于D，，所以的終邊位于第三象限或第四象限或y軸負(fù)半軸上，所以D正確．故選：BD．【典例20】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知角α的終邊在第四象限，確定下列各角終邊所在的象限：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)的終邊在第二或第四象限(2)的終邊在第三或第四象限，也可在軸的負(fù)半軸上(3)的終邊在第二?第三或第四象限(4)的終邊在第二或三或第四象限，也可在軸的負(fù)半軸上【分析】由為第四象限角可知，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，，，角終邊所在區(qū)域，對(duì)分類討論可得角終邊所在的位置.【詳解】（1）由于為第四象限角，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，終邊在第二象限，當(dāng)時(shí)，，終邊在第四象限，所以的終邊在第二或第四象限；（2）由（1）得，所以的終邊在第三或第四象限，也可在軸的負(fù)半軸上.（3）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，終邊在第二象限，當(dāng)時(shí)，，終邊在第三象限，當(dāng)時(shí)，，終邊在第四象限，所以的終邊在第二?第三或第四象限；（4）由（1）得，即，所以的終邊在第二或三或第四象限，也可在軸的負(fù)半軸上.考點(diǎn)11用弧度表示角【典例21】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）用弧度分別表示終邊落在如圖（1）（2）所示的陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合．（如無(wú)特別說(shuō)明，邊界線為實(shí)線代表包括邊界，邊界線為虛線代表不包括邊界）【答案】圖1；圖2【分析】（1）根據(jù)圖形數(shù)形結(jié)合寫(xiě)出角的范圍即可；（2）根據(jù)圖形數(shù)形結(jié)合寫(xiě)出角的范圍即可；【詳解】（1）角的終邊可以看作是角的終邊，化為弧度，即，角的終邊即的終邊，所以終邊落在陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合為．（2）與（1）類似可寫(xiě)出終邊落在陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合為．【典例22】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）把下列各角化成的形式，并指出它們是哪個(gè)象限的角：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，是第四象限角；(2)，是第二象限角；(3)，是第三象限角；(4)，是第一象限角.【分析】根據(jù)弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化和終邊相同角的定義即可得到答案.【詳解】（1），是第四象限角；（2），是第二象限角；（3），是第三象限角；（4），是第一象限角.考點(diǎn)12兩種制度的互化【典例23】（2023下·新疆阿克蘇·高一?？计谥校⑾铝懈鹘嵌然苫《?，弧度化成角度.；；；.【答案】【分析】根據(jù)角度制與弧度制之間的互化即可逐一求解【詳解】【典例24】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）rad；°．【答案】/【分析】根據(jù)角度制和弧度制互化公式進(jìn)行求解即可.【詳解】.故答案為：；考點(diǎn)13扇形弧長(zhǎng)、面積、圓心角的計(jì)算【典例25】（2023上·安徽·高三固鎮(zhèn)縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）扇子是引風(fēng)用品，夏令必備之物.我國(guó)傳統(tǒng)扇文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，是中華文化的一個(gè)組成部分.歷史上最早的扇子是一種禮儀工具，后來(lái)慢慢演變?yōu)榧{涼、娛樂(lè)、觀賞的生活用品和工藝品.扇子的種類較多，受大眾喜愛(ài)的有團(tuán)扇和折扇.如圖1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊紙或綾絹?zhàn)錾让娑瞥傻?完全打開(kāi)后的折扇為扇形（如圖2），若圖2中，，分別在，上，，的長(zhǎng)為，則該折扇的扇面的面積為（

）

圖1

圖2A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得，再根據(jù)扇環(huán)的面積公式求得正確答案.【詳解】依題意，，所以，所以該折扇的扇面的面積為.故選：D【典例26】（2023上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造性的提出了“割圓術(shù)”，劉徽認(rèn)為圓的內(nèi)接正邊形隨著邊數(shù)的無(wú)限增大，圓的內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)就無(wú)限接近圓的周長(zhǎng)，并由此求得圓周率的近似值．如圖當(dāng)時(shí)，圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為，故，即．運(yùn)用“割圓術(shù)”的思想，下列估算正確的是（

）A．時(shí)， B．時(shí)，C．時(shí)， D．時(shí)，【答案】A【分析】求出正十二邊形的周長(zhǎng)，可得出，即可得解.【詳解】設(shè)圓的內(nèi)接正十二邊形被分成個(gè)如圖所示的等腰三角形，其頂角為，即，作于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，且，因?yàn)?，在中，，即，所以，，則，所以，正十二邊形的周長(zhǎng)為，所以，.故選：A.考點(diǎn)14扇形計(jì)算中的最值問(wèn)題【典例27】（2022上·廣東深圳·高一?？计谀┤羯刃沃荛L(zhǎng)為10，當(dāng)其面積最大時(shí)，其內(nèi)切圓的半徑r為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)出扇形半徑和圓心角，根據(jù)周長(zhǎng)得到方程，并表示出扇形面積，利用基本不等式求出最值，得到扇形的半徑和圓心角，從而結(jié)合三角函數(shù)得到，求出答案.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，則弧長(zhǎng)，故，則，故扇形面積為，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，此時(shí)，由對(duì)稱性可知，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，因?yàn)椋?，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，在中，，即，解得.故選：B【典例28】（2023下·河北張家口·高一統(tǒng)考期中）如圖，已知扇形的周長(zhǎng)為，當(dāng)該扇形的面積取最大值時(shí)，弦長(zhǎng)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為，可得出，利用基本不等式可求得扇形面積的最大值及其對(duì)應(yīng)的的值，進(jìn)而可求出、，然后線段的中點(diǎn)，可得出，進(jìn)而可求得線段的長(zhǎng).【詳解】設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為，則，，由可得，所以，扇形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，扇形的面積最大，此時(shí)．因?yàn)?，則扇形的圓心角，取線段的中點(diǎn)，由垂徑定理可知，因?yàn)椋瑒t，所以，.故選：A.【總結(jié)提升】應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度；(2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，利用配方法使問(wèn)題得到解決；(3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形．1.（2015·山東·統(tǒng)考高考真題）終邊在軸的正半軸上的角的集合是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用終邊落在坐標(biāo)軸上角的表示方法即可求解【詳解】終邊在軸正半軸上的角的集合是故選：A2.（2022·全國(guó)·高考真題（理））沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，所以三點(diǎn)共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.3.（2020·山東海南·高考真題）某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn)，B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn)，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=，，EF=12cm，DE=2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______cm2．【答案】【解析】【分析】利用求出圓弧所在圓的半徑，結(jié)合扇形的面積公式求出扇形的面積，求出直角的面積，陰影部分的面積可通過(guò)兩者的面積之和減去半個(gè)單位圓的面積求得.【詳解】設(shè)，由題意，，所以，因?yàn)?所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)榕c圓弧相切于點(diǎn)，所以，即為等腰直角三角形；在直角中，，，因?yàn)椋?，解得；等腰直角的面積為；扇形的面積，所以陰影部分的面積為.故答案為：.一、單選題1.（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校校考期末）下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】AC項(xiàng)角度與弧度混用，排除AC；D項(xiàng)終邊在第三象限，排除D.【詳解】因?yàn)?，終邊落在第四象限，且與角終邊相同，故與的終邊相同的角的集合即選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)AC書(shū)寫(xiě)不規(guī)范，選項(xiàng)D表示角終邊在第三象限.故選：B.2．（2023上·江蘇南京·高一南京市第十三中學(xué)?？计谥校┥刃蔚膱A心角為弧度，周長(zhǎng)為，則它的面積為（

）A．5 B．6 C．8 D．9【答案】D【分析】根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)半徑為，則周長(zhǎng)，則，扇形面積，故選D．3．（2014·全國(guó)·高三專題練習(xí)）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】對(duì)分奇偶，結(jié)合終邊相同的角的定義討論判斷即可【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣，故選：C．4．（2022上·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）我國(guó)古代某數(shù)學(xué)著作中記載：“今有宛田，下周四步，徑四步，問(wèn)為田幾何？”譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)其意思為：有一塊扇形的田，弧長(zhǎng)4步，其所在圓的直徑是4步，則這塊田的面積是（

）A．8平方步 B．6平方步 C．4平方步 D．16平方步【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用扇形面積公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，扇形的田的弧長(zhǎng)4步，其所在圓的半徑是2步，所以這塊田的面積是（平方步）.故選：C5．（2023下·浙江杭州·高一浙江大學(xué)附屬中學(xué)期中）已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為20，則當(dāng)該扇形的面積最大時(shí)，其圓心角的弧度為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】設(shè)扇形所在圓的半徑為r，結(jié)合已知，用r表示出扇形面積，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求解作答.【詳解】設(shè)扇形所在圓的半徑為r，則扇形弧長(zhǎng)，，于是扇形的面積，即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以所求圓心角的弧度為.故選：B6．（2023下·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)二十中校考階段練習(xí)）已知扇形的周長(zhǎng)為20，則該扇形的面積S的最大值為（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】D【分析】設(shè)扇形圓心角為，扇形半徑為r，由題可得間關(guān)系，后用r表示S，