備考2021中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)分類突破《13 三角形和勾股定理》(解析版)

備考2021中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)分類突破

三角形和勾股定理

選擇題

1.（2019?宜賓）如圖，NEOF的頂點(diǎn)。是邊長(zhǎng)為2的等邊AABC的重心，/E。尸的兩邊與AABC的邊交

于E,F,/EOF=120。，則NEOF與AABC的邊所圍成陰影部分的面積是（）

【解答】解：連接08、OC,過(guò)點(diǎn)。作。ML8C,垂足為M

???△ABC為等邊三角形，

ZABC=ZACB=f>0°,

;點(diǎn)。為AABC的內(nèi)心

11

/.NOBC=ZOBA=/ABC,NOCB=q乙ACB.

：.ZOBA=ZOBC=ZOCB=30°.

/.OB=OC.ZBOC=\20°,

VON.LBC,BC=2,

:.BN=NC=\,

：.ON=tanNOBC?BN=苧x1=冬

1M

:&OBC=少C?ON=y.

ZEOF=ZBOC=120°,

：.4EOF-NBOF=ZBOC-NBOF,即NEOB=ZFOC.

在AE03和△FOC中，

LOBE=乙OCF=30°

OB=OC,

"OB=Z.FOC

...△EOBdFOC(.ASA).

?C-c_百

?"S陰影一SAOBC=手

故選：C.

2.（2019?泰州）如圖所示的網(wǎng)格由邊長(zhǎng)相同的小正方形組成，點(diǎn)A、B、C、。、E、F、G在小正方形的頂

點(diǎn)上，則AABC的重心是（）

A.點(diǎn)。B.點(diǎn)EC.點(diǎn)FD.點(diǎn)G

【解答】解：根據(jù)題意可知，直線CO經(jīng)過(guò)A48C的A8邊上的中線，直線A/）經(jīng)過(guò)的8c邊上的中

線，

.?.點(diǎn)。是AABC重心.

故選：A.

3.（2019?臨沂）如圖，。是4B上一點(diǎn)，。尸交AC于點(diǎn)E,DE=FE,FC//AB,若AB=4,CF=3,則80

的長(zhǎng)是（）

A.0.5B.1C.1.5D.2

【解答】解：A、2+3>4,能構(gòu)成三角形，不合題意：

8、1+2=3,不能構(gòu)成三角形，符合題意；

C、4+3>5,能構(gòu)成三角形，不合題意；

D,4+5>6,能構(gòu)成三角形，不合題意.

故選：B.

4.（2019?衢州）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的，借助如圖所示的“三等分角儀”能

三等分任一角.這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒0A，。8組成，兩根棒在。點(diǎn)相連并可繞。轉(zhuǎn)動(dòng)、C點(diǎn)

固定，OC=CD=DE,點(diǎn)￡>、E可在槽中滑動(dòng).若NBDE=75。,則/CDE的度數(shù)是（）

A.60°B.65°C.75°D.80°

【解答】解：；OC=CO=OE,

，NO=NODC,/DCE=NDEC,

：.ZDCE=ZO+ZODC=2ZODC,

?/ZO+ZOED=3ZODC=NBDE=75。,

AZODC=25°,

VZCDE+ZODC=180°-ZBDE=105°,

ZCDE=1050-ZODC=SO0.

故選：D.

5.（2019?畢節(jié)市）在下列長(zhǎng)度的三條線段中，不能組成三角形的是（）

A.2cm,3cmf4cmB.3an,6cm,6cm

C.2cm,2cmf6cmD.5cm,6cm,1cm

【解答】解：4、2+3>4,能組成三角形；

B、3+6>6,能組成三角形；

C、2+2<6,不能組成三角形；

。、5+6>7,能夠組成三角形.

故選：C.

6.（2019?揚(yáng)州）己知〃是正整數(shù)，若一個(gè)三角形的3邊長(zhǎng)分別是"+2、〃+8、3”，則滿足條件的”的值有

（）

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

【解答】解：①若〃+2<”+肥3〃，則

（n+2+n+8>3n

in+8<3n

解得卜<1°,即49<10,

U>4

二正整數(shù)〃有6個(gè)：4,5,6,7,8,9；

②若A?+2<3H</?+8,則

jn+2+3n>n+8

13九<n4-8

解得任>2,即2</Z<4,

...正整數(shù)〃有2個(gè)：3和4；

綜上所述，滿足條件的〃的值有7個(gè)，

故選：D.

7.（2019?臺(tái)州）下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（）

A.3,4,8B.5,6,10C.5,5,11D.5,6,11

【解答】解：

A選項(xiàng)，3+4=7<8,兩邊之和小于第三邊，故不能組成三角形

8選項(xiàng)，5+6=11>10,10-5<6,兩邊之各大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，故能組成三角形

C選項(xiàng)，5+5=10<11,兩邊之和小于第三邊，故不能組成三角形

。選項(xiàng)，5+6=11,兩邊之和不大于第三邊，故不能組成三角形

故選：B.

8.（2019?黃石）如圖，在△ABC中，NB=50。，于點(diǎn)。，N8C。和N8OC的角平分線相交于點(diǎn)區(qū)

F為邊AC的中點(diǎn)，CD=CF,則NACD+NCE￡>=（）

DB

A.125°B.145°C.175°D.190°

【解答】解：???CO，A3,尸為邊AC的中點(diǎn)，

：.DF=^AC=CF,

又?：CD=CF,

:.CD=DF=CF,

???△CD/是等邊三角形，

JZACD=60°,

VZ/?=50°,

AZBCD+ZBDC=130°,

?:/BCD和N8DC的角平分線相交于點(diǎn)E,

；.NDCE+NCDE=65。,

AZCED=115°,

NACQ+NCEQ=600+l15。=175°,

故選：C.

9.（2019?西藏）如圖，在。。中，半徑。。垂直弦AB于。，點(diǎn)E在。。上，NE=22.5。，AB=2,則

半徑08等于（）

A.1B.V2C.2D.2V2

【解答】解：?.?半徑OC，弦48于點(diǎn)C,

：.AC=BC,

1

??.NE=*BOC=22.5。，

.?./8OO=45。，

.?.△008是等腰直角三角形，

：AB=2,

：.DB=OD=\,

則半徑。8等于：V12+12=V2.

故選：B.

10.（2019?畢節(jié)市）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCZ）的邊A8上，若EB=1,EC=2,那么正方形ABC。的面

積為（）

A.V3B.3C.V5D.5

【解答】解：：四邊形A8co是正方形,

??.N8=90。，

：.BC2=EC2-EB2=2Z-12=3,

???正方形45co的面積=802=3.

故選：B.

11.（2019?河南）如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,NQ=90。，AO=4,BC=3.分別以點(diǎn)A,C為圓

心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E,作射線BE交4。于點(diǎn)凡交AC于點(diǎn)。若點(diǎn)。是4。的

中點(diǎn)，則CO的長(zhǎng)為（）

A.2V2B.4C.3D.V10

【解答】解：如圖，連接尸C,則4尸=尸。.

■:AD//BC,

：?NFAO=NBCO.

在AFOA與△BOC中，

Z-FAO=乙BCO

0A=0C,

Z.AOF=乙COB

(ASA),

:?AF=BC=3,

：.FC=AF=3,FD=AD-AF=4-3=\.

在AFQC中，VZD=90°,

：.CD1+DF2^FC2,

.?.CD2+12=32,

:.CD=2a.

故選：A.

12.（2019?濱州）如圖，在AOAB和AOCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,NAOB=NCOO=40。，連

接AC,BD交于點(diǎn)M,連接OM.下列結(jié)論：①AC=B。；②NAMB=40。；③。用平分NBOC；?MO

平分/8MC.其中正確的個(gè)數(shù)為（）

C.2D.1

【解答】解：；NAOB=NCOQ=40。,

ZAOB+ZAOD^ZCOD+ZAOD,

即NA0C=N8。。,

OA=OB

在AAOC和"。。中，,乙40C=NB。。，

.OC=OD

.?.△AOC空△BOO(SAS),

：.ZOCA=ZODB,AC=BD,①正確；

：.NOAC=NOBD,

由三角形的外角性質(zhì)得：ZAMB+ZOAC=ZAOB+ZOBD,

；./AMB=/4O8=40。，②正確；

作OG_LMC于G,OHLMB于H,如圖2所示：

則NOGC=NOHD=90。,

AOCA=乙ODB

^^OCG^^ODH^P，z.OGC=Z.OHD,

.OC=OD

:.△OCG/4ODH(A4S),

：.OG=OH,

MO平分/BMC,④正確；

??ZAOB=ZCOD,

.?.當(dāng)/OOM=/AOM時(shí)，OM才平分/BOC,

假設(shè)NOOA/=/AOM

「△AOC空△BOO,

：.ZCOM=ZBOM,

：MO平分/BMC,

：.ZCMO=ZBMO,

/.COM=乙BOM

在△COM和A8OM中，OM=OM

.乙CMO=乙BMO

,△COM<△BOM(ASA),

r.OB=OC,

?：OA=OB

：.OA=OC

與OA>OC矛盾，

，③錯(cuò)誤；

正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)；

故選：B.

圖2

二.填空題

13.（2019?梧州）如圖，已知在AABC中，D、E分別是AB、4c的中點(diǎn)，尸、G分別是A。、AE的中點(diǎn),

且FG=2cm,則BC的長(zhǎng)度是cm.

【解答】解：：。是AC的中點(diǎn)，且BCAC,

：.AB=BC=lcm,AD=^AC=3cm,

'：ED//BC,

：.AE^BE=^AB=3.5cm,ED=^BC=3.5cm,

：./\AED的周長(zhǎng)=AE+E￡?+AO=10cm.

故答案為：1（）.

14.（2019?株洲）如圖所示，在RtAABC中，/ACB=90。，CM是斜邊A8上的中線，E、尸分別為M3、

BC的中點(diǎn)，若EF=1,貝ijAB=.

【解答】解：如圖，?.,△4DE中，F(xiàn)、G分別是A。、AE?的中點(diǎn),

:.DE=2FG=4cm,

VD,E分別是A8,AC的中點(diǎn)，

.?.CE是AABC的中位線，

.?.8C=2OE=8CTM,

故答案為：8.

15.（2019?長(zhǎng)沙）如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的A,B兩點(diǎn)間的距離，可以在池塘外選一點(diǎn)C,連接AC,

BC,分別取AC,BC的中點(diǎn)。，E,測(cè)得。E=50",則”的長(zhǎng)是m.

A

【解答】解：YE、1分別為M-的中點(diǎn),

:,CM=2EF=2,

VZACB=90°1CM是斜邊AB上的中線,

：.AB=2CM=4f

故答案為：4.

16.（2019?雞西）如圖，四邊形OAAiBi是邊長(zhǎng)為1的正方形，以對(duì)角線04為邊作第二個(gè)正方形。442及,

連接A42,得到△A4M2;再以對(duì)角線OA2為邊作第三個(gè)正方形OA泊3a,連接443,得到△A1A2A3；再以對(duì)角

線0A3為邊作第四個(gè)正方形，連接A2A4,得到AAM3A4記A4A1A2、ZkAiA2A3、Al2A3A4的面積分別為Si、

S2、S3,如此下去，則S2019=.

【解答】解：???點(diǎn)Q,E分別是AC,8C的中點(diǎn)，

，。七是△A3C的中位線，

???AB=2OE=2x50=100米.

故答案為：100.

【解答】解：???四邊形OA4向是正方形,

.\OA=AA\=A]B\=\,

?11

..51=x1x1=

VZOA4i=90°,

AOAI2=124-12=2,

**?OA2=A2A3=2,

S2=x2x1=1,

同理可求：S3=x2x2=2,S4=4…,

Sn=2"2,

AS2019-22017,

故答案為：22017.

17.（2019?北京）如圖，已知"BC,通過(guò)測(cè)量、計(jì)算得的面積約為.cm2.（結(jié)果保留一位小

數(shù)）

B

【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作COLA8的延長(zhǎng)線于?點(diǎn)力，如圖所示.

經(jīng)過(guò)測(cè)量，AB=2.2cm,CD=L7cm,

I1,

/.5A4BC=^AB-CD=2X2.2x1.7-1.9(c/n2).

故答案為：L9.

18.（2019?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系x。），中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)為“整點(diǎn)”，已知點(diǎn)A

15

的坐標(biāo)為（5,0）,點(diǎn)B在x軸的上方，AOAB的面積為一，則AOAB內(nèi)部（不含邊界）的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)

2

為.

【解答】解：設(shè)8（m,〃），

???8在x軸上方，

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5,0）,

：.OA=5f

Z\OAB的面積=2x5?〃=竽

n=3,

:.B(m,3).

由圖形的對(duì)稱性,

設(shè)m>

①當(dāng)〃?=5時(shí)，可得AOAB內(nèi)部的整數(shù)點(diǎn)4個(gè),

②當(dāng)m>|目.時(shí),

OB的直線解析式y(tǒng)=看

AB的直線解析式尸島X-忌

設(shè)直線y=2與直線OB與直線A3分別交于點(diǎn)C,D,

2m2m+5

C(—,2),D(--------,2),

33

；.CO=|,

內(nèi)部（不含邊界）直線y=2上的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1或2,

同理可得，△048內(nèi)部（不含邊界）直線y=l上的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3或4,

綜上所述，AOAB內(nèi)部（不含邊界）的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4或5或6.

故答案為4或5或6：

19.（2019?永州）如圖，已知點(diǎn)F是AABC的重心，連接BF并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)E,連接CF并延長(zhǎng)，交

A8于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)尸作FG〃BC,交4c于點(diǎn)G.設(shè)三角形EFG,四邊形FBCG的面積分別為Si,52,則

S1：S?=.

G

BC

【解答】解：??,點(diǎn)尸是AABC的重心,

JBF=2EF,

:?BE=3EF,

■:FG//BC,

：./\EFGS/\EBC,

EF1Si101

BE3S&EBC39

?*.5i：S2=g；

1

故答案為：一.

8

20.（2019?大慶）如圖，在△A8C中，D、E分別是3C,AC的中點(diǎn)，AO與BE相交于點(diǎn)G,若DG=1,

貝ijAD=.

【解答】解：???。、E分別是BC,AC的中點(diǎn),

，點(diǎn)G為AABC的重心，

：.AG=2DG=2f

：.AD=AG+DG=2+\=3.

故答案為3.

三.解答題(共31小題)

21.(2019?益陽(yáng))已知，如圖，AB=AE,AB//DE,NECB=70°,ZD=110°,求證：AABC絲△EAD

【解答】證明：由/ECB=70。得乙4cB=110。

又

二ZACB-ZD

'JAB//DE

：.ZCAB=ZE

."△ABC和△EAO中

Z.ACB=ZLD

乙CAB=4E

.AB=AE

.?.△A8C絲△EAZ)(AAS).

22.(2019?杭州)如圖，在AABC中,AC<AB<BC.

(1)已知線段A8的垂直平分線與BC邊交于點(diǎn)尸，連接4P,求證：NAPC=2N8.

(2)以點(diǎn)8為圓心，線段AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與BC邊交于點(diǎn)、Q,連接AQ.若/AQC=3/8,求

的度數(shù).

A

【解答】解：(1)證明：???線段45的垂直平分線與8C邊交于點(diǎn)P,

：.PA=PB,

:.NB=NBAP,

/APC=NB+/BAP,

ZAPC=2ZB；

(2)根據(jù)題意可知84=3。，

：.ZBAQ=ZBQA,

VZAgC=3ZB,NAQC=N8+/8AQ,

??.NBQA=2NB,

,/ZBAQ+ZBQA+ZB=180°f

.'.5ZB=180°,

???NB=36。.

23.(2019?呼和浩特)如圖，在3c中，內(nèi)角A、B、。所對(duì)的邊分別為〃、b、

(1)若〃=6,2=8,c=12,請(qǐng)直接寫(xiě)出NA與N8的和與NC的大小關(guān)系；

(2)求證：AABC的內(nèi)角和等于180。；

aJ(a+b+c)

(3)若一—=---------,求證：AABC是直角三角形.

a-b+cc

B

【解答】解：(1)?.?在AABC中，4=6,6=8,cR2,

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)8作MN〃AC,

'：MN//AC,

：.ZMBA^ZA,NNBC=NC(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，

VZMBA+ZABC+ZNBC=180°(平角的定義)，

...NA+/ABC+/C=180。(等量代換)，

即：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180。；

a3(a+b+c)

(3),/---------=---------------,

Q-b+CC

1100

ac—2(a+b+c)(a-b+c)=引(a+2ac+c)-/?],

.\2ac=a1+2ac+c1-b2,

/?△ABC是直角三角形.

24.（2019?大慶）如圖，一艘船由4港沿北偏東60。方向航行10%加至8港，然后再沿北偏西30。方向航行

10攵加至。港.

(1)求A,C兩港之間的距離(結(jié)果保留到0.1km,參考數(shù)據(jù)：魚(yú)々1.414,遮“1.732)；

(2)確定C港在A港的什么方向.

北

C個(gè)

A\N

(

【解答】解：(1)由題意可得，NP8C=30。，/M48=60。，

：.ZCBQ=60°fNBAN=30。,

NABQ=30。，

JZABC=90°.

*：AB=BC=Wt

：.AC=NAB?+BC2=10A/2?14.1.

答：4、C兩地之間的距離為14.1?!.

(2)由(1)知，AABC為等腰直角三角形,

/8AC=45。，

；./CAM=60。-45。=15。，，C港在A港北偏東15。的方向上.

25.(2019?江西)在圖1,2,3中，已知口ABC。，ZABC=120°,點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE,以

AE為邊向上作菱形AEFG,且NEAG=120。.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)8重合時(shí)，/CEF=°；

(2)如圖2,連接AF.

①填空：ZFADNEAB(填“<“，“=”)；

②求證：點(diǎn)尸在/A8C的平分線上；

BC

(3)如圖3,連接EG,DG,并延長(zhǎng)OG交朋的延長(zhǎng)線于點(diǎn)兒當(dāng)四邊形AEGH是平行四邊形時(shí)，求——

AB

的值.

【解答】解：(1),??四邊形AE/G是菱形，

ZAEF=180°-ZEAG=60°f

：.ZCEF=ZAEC-ZAEF=60°,

故答案為：60°；

(2)①??,四邊形ABC。是平行四邊形，

ND48=180。-NABC=60。，

???四邊形AEFG是菱形，Z￡AG=120°,

.\ZME=60°,

：.ZFAD=ZEABr

故答案為：=;

②當(dāng)84V3E時(shí)，如圖2,作8c于M,FMLBA交3A的延長(zhǎng)線于N,

則/FNB=ZFM^=90°,

AZNFM=60°,又/AFE=60°,

4AFN=ZEFM,

'：EF=EA,ZFAE=60°,

...△AEF為等邊三角形，

：.FA=FE,

在AAFN和AEPM中，

ZAFN=LEFM

乙FNA=乙FME,

.FA=FE

.,.△AFN絲△EFMCAAS)

:.FN=FM,又FMLBC,FNA.BA,

點(diǎn)尸在NABC的平分線上，

當(dāng)BA=BE時(shí)，如圖4,

；BA=BE,NABC=120。，

；./BAE=NBEA=30°,

；/EAG=120。，四邊形AEFG為菱形,

AZEAF=60°,又EA=EF,

...△AEP為等邊三角形，

AZFEA=60°,FA=FE,

則/1RW=/FEB=90°,又E4=FE,

點(diǎn)尸在NABC的平分線上，

當(dāng)BA>BE時(shí)，同理可證，點(diǎn)/在NABC的平分線上,

綜上所述，點(diǎn)尸在N48C的平分線上;

(3):四邊形AEFG是菱形，Z￡AG=120°,

???NAG尸=60。，

ZFGE=ZAGE=30°,

V四邊形AEGH為平行四邊形，

J.GE//AH,

：.ZGAH=ZAGE=30°,NH=NFGE=3U。,

???NGAN=90。，又NAGE=30。，

:?GN=2AN,

9：ZDAB=60°,N"=30。，

，NAO”=30。，

；.AD=AH=GE,

???四邊形ABC。為平行四邊形，

:.BC=AD9

：?BC=GE,

9：ZHAE=ZEAB=30°,

，平行四邊形ABEN為菱形,

:?AB=AN=NE,

：.GE=3AB,

DC

26.(2019?揚(yáng)州)如圖，平面內(nèi)的兩條直線/1、12,點(diǎn)A,B在直線/1上，點(diǎn)C、。在直線/2上，過(guò)4、8

兩點(diǎn)分別作直線/2的垂線，垂足分別為4,Bi,我們把線段481叫做線段AB在直線/2上的正投影，其

長(zhǎng)度可記作TMB,c0或T,特別地線段AC在直線/2上的正投影就是線段4c.

(AR127v

請(qǐng)依據(jù)上述定義解決如下問(wèn)題：

(1)如圖1,在銳角ZV1BC中，AB=5,7,AC,A8>=3,則T(BC,AB>=:

(2)如圖2,在RSABC中，ZACB=90°,TfAc,AB>=4,T(BC,AB)=9,求AABC的面積；

(3)如圖3,在鈍角A4BC中，/A=60。，點(diǎn)。在A2邊上，ZACD=90°,4c>=2,T,BC,AB)=

6,求7(BC.CD),

圖1

圖2圖3

【解答】解：(1)如圖1中，作CHLAB.

,?*T（AC,AB）=3,

：.AH=3f

'：AB=5f

：.BH=5-3=2,

:?T（BC.AB）=BH=2,

故答案為2.

(2)如圖2中，作Ca_LA8于”.

圖2

,:T(AC.AB>=4,T(BC,AB)=9>

???A