集合與簡易邏輯(高考知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)總結(jié))

PAGEPAGE1輔導(dǎo)講義：集合與常用邏輯用語一、點(diǎn)擊考綱：內(nèi)容要求了解理解掌握集合集合及其表示√子集√交集、并集、補(bǔ)集√常用邏輯用語命題的四種形式√必要條件、充分條件、充分必要條件√簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞√全稱量詞與存在量詞√二、知識(shí)梳理：1、集合：一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體構(gòu)成一個(gè)集合。集合中的每一個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素。集合的常用表示法：列舉法、描述法。集合元素的特征：確定性、互異性、無序性。2、子集：如果集合的任意一個(gè)元素都是集合的元素，那么集合稱為集合的子集，記為，或，讀作“集合包含于集合”或“集合包含集合”。即：若則，那么稱集合稱為集合的子集注：空集是任何集合的子集。3、真子集：如果，并且，那么集合成為集合的真子集，記為或，讀作“真包含于或真包含”，如：。4、補(bǔ)集：設(shè)，由中不屬于的所有元素組成的集合稱為的子集的補(bǔ)集，記為，讀作“在中的補(bǔ)集”，即=。5、全集：如果集合包含我們所要研究的各個(gè)集合，這時(shí)可以看作一個(gè)全集。通常全集記作。6、交集：一般地，由所有屬于集合且屬于的元素構(gòu)成的集合，稱為與的交集，記作（讀作“交”），即：=。=，。7、并集：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诘脑貥?gòu)成的集合，稱為與的并集，記作（讀作“并”），即：=。=，，。8、元素與集合的關(guān)系：有、兩種，集合與集合間的關(guān)系，用。9、命題：可以判斷真假的語句叫做命題。10、“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡單命題；由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題。構(gòu)成復(fù)合命題的形式：p或q(記作p∨q)；p且q(記作p∧q)；非p(記作┑q)。11、“或”、“且”、“非”的真值判斷：“非p”形式復(fù)合命題的真假與P的真假相反；“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)為真，其他情況時(shí)為假；“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他情況時(shí)為真．互為否命題互為否命題12、命題的四種形式與相互關(guān)系互為否命題互為否命題原命題：若P則q；逆命題：若q則p；否命題：若┑P則┑q；逆否命題：若┑q則┑p原命題與逆否命題互為逆否命題，同真假；逆命題與否命題互為逆否命題，同真假；13、命題的條件與結(jié)論間的屬性：若，則p是q的充分條件，q是p的必要條件，即“前者為后者的充分，后者為前者的必要”。若，則p是q的充分必要條件，簡稱p是q的充要條件。若，且，那么稱p是q的充分不必要條件。若pq，且qp，那么稱p是q的必要不充分條件。若pq，且qp，那么稱p是q的既不充分又不必要條件。14、全稱量詞與存在量詞全稱量詞：所有的，一切，全部，都，任意一個(gè)，每一個(gè)等；存在量詞：存在一個(gè)，至少有一個(gè)，有個(gè)，某個(gè)，有的，有些等；全稱命題：含有全稱量詞的命題稱為全稱命題。一般形式為：命題P：。全稱命題的否命題：。15、存在量詞：含有存在量詞的命題稱為存在性命題。一般形式為：命題P：。存在性命題的否命題：。16、判斷全稱命題與存在性命題的真假：判斷一個(gè)全稱命題為真，必須對(duì)給定的集合的每一個(gè)元素，都為真；但要判斷一個(gè)全稱命題為假，只要在給定的集合內(nèi)找出一個(gè)，使為假。判斷一個(gè)存在性命題為真，只要在給定的集合中，找到一個(gè)元素，使為真；否則命題為假。三、例題：1、填一填：；;;;。?U(A∩B)；?U(A∪B)2、集合的子集個(gè)數(shù)：設(shè)含有n個(gè)元素的集合A，則A的子集個(gè)數(shù)為2n；A的真子集個(gè)數(shù)為2n－1；A的非空子集個(gè)數(shù)為2n－1；A的非空真子集個(gè)數(shù)為2n－2。3、分別寫出由下列各種命題構(gòu)成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的復(fù)合命題：（1）p：平行四邊形對(duì)角線相等q：平行四邊形對(duì)角線互相平分（2）p：10是自然數(shù)q：10是偶數(shù)4、分別指出下列復(fù)合命題的構(gòu)成形式及構(gòu)成它的簡單命題：（1）x=2或x=3是方程的根。（2）p既大于3又是無理。（3）直角不等于90°。（4）x+1≥x-3。（5）垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧。5、分別寫出由下列各種命題構(gòu)成的“p或q”“p且q”“非p”形式的復(fù)合命題,并判斷它們的真假：（1）p：末位數(shù)字是0的自然數(shù)能被5整除。q：。（2）p：四邊都相等的四邊形是正方形。q：四個(gè)角都相等的四邊形是正方形。(3)p：不等式的解集是：{x|-4<x<2}。q：不等式的解集是：{x|x<-4或x>2}。6、把下列改寫成“若p則q”的形式，并判斷它們的真假：（1）實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)。（2）等底等高的兩個(gè)三角形是全等三角形。（3）被6整除的數(shù)既被3整除又被2整除。（4）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并平分弦所對(duì)的弧。7、寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并分別判斷真假：（1）面積相等的兩個(gè)三角形是全等三角形。（2）若則。（3）當(dāng)時(shí)，若則。（4）若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。8、寫出下列各命題的否定及其否命題，并判斷它們的真假：（1）若都是奇數(shù)，則是偶數(shù)。（2）若，則或。四、高考真題回顧：1、用列舉法表示集合，且是________________。2．用描述法表示：不等式的解集為________________。3、下列四組對(duì)象，能構(gòu)成集合的是__________。①某班所有高個(gè)子的學(xué)生②著名的藝術(shù)家③一切很大的書④倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)4、已知集合，則=__________。（2011江蘇卷）5、設(shè)，，則等于__________。（北京文）6、設(shè)集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，則CU(A∩B）等于___________。（福建文）7、已知（廣東卷）8、設(shè)等于__________。(湖北文)9、設(shè)集合P={1，2，3，4}，Q={}，則P∩Q等于___________。(江蘇卷)10、函數(shù)，其中P、M為實(shí)數(shù)集R的兩個(gè)非空子集，又規(guī)定，，給出下列四個(gè)判斷：①若，則 ②若，則③若，則④若，則其中正確判斷個(gè)數(shù)為___2個(gè)____。(北京文理)11、設(shè)集合，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為_____2個(gè)__。(廣西卷文理)12、設(shè)集合那么下列結(jié)論正確的有_④________。(天津文)① ②包含Q③ ④真包含于P13、已知集合，，則等于_________。（上海卷）14、設(shè)集合N}的真子集的個(gè)數(shù)是____7___。（天津卷文）15、設(shè)集合,,則A∩B=___________。16、方程組的解集為_____________。17、已知，，則AB=___________。18、圖1–1所示陰影部分的集合是__________________________。19、設(shè)全集U={高三（1）班學(xué)生}，A={高三（1）班男生}，B={高三（1）班戴眼鏡的學(xué)生}，用文字寫出下列各式的意義：（1）(C∪A)∩B；_________________________。（2）C∪(A∪B)；_________________________。20、設(shè)。若，。求p=________；q=_________。21．（陜西理12）設(shè),一元二次方程有正數(shù)根的充要條件是=【答案】3或422．（安徽理8）設(shè)集合則滿足且的集合為 （A）57 （B）56 （C）49 （D）8【答案】B23．（上海理2）若全集，集合，則。【答案】24．（江蘇）已知集合則【答案】{—1，—2}25．（江蘇）14．設(shè)集合,,若則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______________【答案】26.（2010上海文）1.已知集合，，則。答案2【解析】考查并集的概念，顯然m=227.（2010湖南文）15.若規(guī)定E=的子集為E的第k個(gè)子集，其中k=，則（1）是E的第____個(gè)子集；（2）E的第211個(gè)子集是_______答案528、（2010湖南文）9.已知集合A={1,2,3，}，B={2，m，4}，A∩B={2,3}，則m=答案329、（2010重慶理）(12)設(shè)U=，A=，若，則實(shí)數(shù)m=_________.答案-3【解析】，A={0,3},故m=-330、（2010江蘇卷）1、設(shè)集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，則實(shí)數(shù)a=___________.答案1【解析】考查集合的運(yùn)算推理。3B,a+2=3,a=1.31、（2010重慶文）（11）設(shè)，則=____________.答案32、（2009年上海卷理）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________________.答案a≤1解析因?yàn)锳∪B=R，畫數(shù)軸可知，實(shí)數(shù)a必須在點(diǎn)1上或在1的左邊，所以，有a≤1。33、（2009重慶卷文）若是小于9的正整數(shù)，是奇數(shù)，是3的倍數(shù)，則．答案解法1，則所以，所以解析2，而34、（2009重慶卷理）若，，則．答案（0，3）解析因?yàn)樗?5、（2009上海卷文）已知集體A={x|x≤1},B={x|≥a},且A∪B=R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________________.答案a≤1解析因?yàn)锳∪B=R，畫數(shù)軸可知，實(shí)數(shù)a必須在點(diǎn)1上或在1的左邊，所以，有a≤1。36、（2009北京文）設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于，如果且，那么是A的一個(gè)“孤立元”，給定，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有個(gè).答案6解析本題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.屬于創(chuàng)新題型.什么是“孤立元”？依題意可知，必須是沒有與相鄰的元素，因而無“孤立元”是指在集合中有與相鄰的元素.故所求的集合可分為如下兩類：因此，符合題意的集合是：共6個(gè).故應(yīng)填6.37、（2009天津卷文）設(shè)全集，若，則集合B=__________.答案{2，4，6，8}解析【考點(diǎn)定位】本試題主要考查了集合的概念和基本的運(yùn)算能力。38、（2009湖北卷文）設(shè)集合A=(x∣log2x<1),B=(X∣<1),則A=.答案解析易得A=B=∴A∩B=.39、（2010上海文）1.已知集合，，則。40、（2010湖南文）15.若規(guī)定E=的子集為E的第k個(gè)子集，其中k=，則（1）是E的第____個(gè)子集；（2）E的第211個(gè)子集是_______。答案541、（2010湖南文）9.已知集合A={1,2,3，}，B={2，m，4}，A∩B={2,3}，則m=答案342、（2010重慶理）(12)設(shè)U=，A=，若，則實(shí)數(shù)m=_________.答案-3【解析】，A={0,3},故m=-343、（2010江蘇卷）1、設(shè)集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，則實(shí)數(shù)a=___________.答案1【解析】考查集合的運(yùn)算推理。3B,a+2=3,a=1.44、（2010重慶文）（11）設(shè)，則=____________.答案1、（2010安徽文）(11)命題“存在，使得”的否定是答案對(duì)任意，都有.【解析】特稱命題的否定時(shí)全稱命題，“存在”對(duì)應(yīng)“任意”.【誤區(qū)警示】這類問題的常見錯(cuò)誤是沒有把全稱量詞改為存在量詞，或者對(duì)于“>”的否定用“<”了.這里就有注意量詞的否定形式.如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”2、“”是“”的____充分而不必要條件_______條件。（重慶理2）3、（天津理2）設(shè)則“且”是“”的____充分而不必要條件______條件。4、若為實(shí)數(shù)，則“”是的___充分而不必要條件_________。5、函數(shù)，在點(diǎn)處有定義是在點(diǎn)處連續(xù)的____必要而不充分的條件________條件。6、（陜西理1）設(shè)是向量，命題“若，則∣∣=∣∣”的逆命題是____若∣∣=∣∣，則=-_____。7、（山東理5）對(duì)于函數(shù),“的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是“=是奇函數(shù)”的__必要而不充分條件_______。8、（全國新課標(biāo)理10）已知a，b均為單位向量，其夾角為，有下列四個(gè)命題其中真命題是______________。9、(江西理8）已知，，是三個(gè)相互平行的平面．平面，之間的距離為，平面，之間的距離為．直線與，，分別相交于，，，那么“=”是“”的__充分必要條件________。10、（湖南理2）設(shè)集合則“”是“”的__充分不必要條件_______。11、若實(shí)數(shù)a,b滿足且，則稱a與b互補(bǔ)，記，那么是a與b互補(bǔ)的__充要條件_____。12、（福建理2）若aR，則a=2是（a-1）（a-2）=0的__充分而不必要條件_____。1