學(xué)姐的概率論報(bào)告

PAGEPAGE1上海大學(xué)2013～2014學(xué)年秋季學(xué)期本科生課程自學(xué)報(bào)告課程名稱(chēng)：《概率論與隨機(jī)過(guò)程》課程編號(hào)：07275061題目:中心極限定理在商業(yè)管理中的應(yīng)用學(xué)生姓名:高陽(yáng)學(xué)號(hào):11123527評(píng)語(yǔ):成績(jī):任課教師:鄒君妮評(píng)閱日期:

中心極限定理在商業(yè)管理中的應(yīng)用2013年10月20日摘要：這是隨機(jī)信號(hào)與分析基礎(chǔ)課程對(duì)自學(xué)內(nèi)容的總結(jié)和中心極限定理在實(shí)際生活中應(yīng)用案例的闡述。1.總體小結(jié)自學(xué)內(nèi)容主要包括兩方面，隨機(jī)變量和隨機(jī)過(guò)程中的隨機(jī)序列。隨機(jī)事件的研究從隨機(jī)變量開(kāi)始，隨機(jī)變量是隨機(jī)事件的數(shù)量表現(xiàn)，要完備的描述隨機(jī)變量就必須包括兩個(gè)方面，在不要求全面考察隨機(jī)變量的變化情況時(shí)，可研究隨機(jī)變量的一些數(shù)字特征。期望，方差，協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)等。但要比較全面的描述實(shí)際過(guò)程，就要研究隨機(jī)變量的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。但是分布函數(shù)不易求得，于是我們引進(jìn)隨機(jī)變量的特征函數(shù)來(lái)求解概率密度函數(shù)。特征函數(shù)定義為：。其實(shí)質(zhì)是概率密度函數(shù)的傅里葉變換。對(duì)應(yīng)聯(lián)合概率密度也有聯(lián)合特征函數(shù)。其性質(zhì)里面我認(rèn)為最有用的就是隨機(jī)變量的和的特征函數(shù)等于各隨機(jī)變量特征函數(shù)的積，在求得新變量的特征函數(shù)后反演就得到新隨機(jī)變量的概率密度。進(jìn)而求得隨機(jī)變量的分布函數(shù)。其次是求矩公式，N階原點(diǎn)矩就對(duì)特征函數(shù)求N次導(dǎo)數(shù)。通過(guò)這個(gè)性質(zhì)可以很方便的求出方差。在每次隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)的結(jié)果可能不同，但大量重復(fù)試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果的平均值卻幾乎總是接近于某個(gè)確定的值，所以當(dāng)研究的是N次獨(dú)立的實(shí)驗(yàn)時(shí)，可以用事件發(fā)生的頻率代替事件發(fā)生的概率，這就是大數(shù)定理。而中心極限定理就是將一些原本不是正態(tài)分布的一般相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的總和的分布近似成正態(tài)分布。從而求得隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。這些相互獨(dú)立的隨機(jī)變量都對(duì)總體造成的影響很小。從中心極限定理，可以很明顯的感覺(jué)到正態(tài)分布的重要性。隨機(jī)過(guò)程是依賴(lài)于時(shí)間t的一族隨機(jī)變量，而隨機(jī)序列是一種特殊的隨機(jī)過(guò)程，它是連續(xù)隨機(jī)過(guò)程在時(shí)間軸上抽樣生成。在我們數(shù)字信號(hào)處理過(guò)程中研究的就是隨機(jī)序列。一般用矩陣的形式表示隨機(jī)序列，一個(gè)N點(diǎn)的隨機(jī)序列可以看成是一個(gè)N維的隨機(jī)列向量，與分析隨機(jī)變量一樣，其數(shù)字特征有均值，自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)等。其中均值表示隨機(jī)過(guò)程的全部樣本在同一時(shí)刻(n點(diǎn))隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)平均值。自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)表示同一隨機(jī)序列在不同時(shí)刻取值的關(guān)聯(lián)程度和偏離中心值的關(guān)聯(lián)程，互相關(guān)和互協(xié)方差表示的是兩個(gè)隨機(jī)序列在不同時(shí)刻取值的關(guān)聯(lián)程度和不同時(shí)刻取值偏離中心值的關(guān)聯(lián)程度。其中任何獨(dú)立隨機(jī)序列的協(xié)方差矩陣均為對(duì)角陣，對(duì)角元素為隨機(jī)序列的方差。對(duì)隨機(jī)過(guò)程的頻域分析，只能引入功率譜密度，因?yàn)殡S機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)的總能量在時(shí)間軸上無(wú)限，不滿足傅氏變換的絕對(duì)可積條件，但其平均功率是有限值。所以討論平均功率。隨機(jī)序列的功率譜密度定義為，它是以2為周期的函數(shù)，功率譜密度是從頻率角度描述統(tǒng)計(jì)規(guī)律的最主要的數(shù)字特征，在學(xué)完功率譜密度我可以有兩種計(jì)算隨機(jī)過(guò)程平均功率的方法，求均方值和對(duì)功率譜密度的在內(nèi)奎斯特區(qū)間上的積分。至此在研究完隨機(jī)變量和隨機(jī)過(guò)程的一般概念和統(tǒng)計(jì)特性后，接著研究其通過(guò)某一線性系統(tǒng)后其統(tǒng)計(jì)特性的變化情況，具體的變化情況與隨機(jī)序列通過(guò)的系統(tǒng)有關(guān)。見(jiàn)下圖。當(dāng)一均勻分布的隨機(jī)序列通過(guò)平均器后，輸出序列和輸入序列的期望相等，而其方差減小為輸入序列的一半，表明通過(guò)平均器的隨機(jī)序列圍繞均值的起伏減少，分布更加集中。這一特性用于增加3dB的信噪比。q階非遞歸濾波器一階遞歸濾波器當(dāng)0當(dāng)當(dāng)k>0當(dāng)k=02.專(zhuān)題應(yīng)用范例問(wèn)題描述：某學(xué)院新校區(qū)有學(xué)生5000人，只有一個(gè)開(kāi)水房，由于每天傍晚打開(kāi)水的人較多，經(jīng)常出現(xiàn)排長(zhǎng)隊(duì)的現(xiàn)象，為此校學(xué)生會(huì)向后勤集團(tuán)提議增設(shè)水龍頭。假設(shè)每個(gè)學(xué)生在傍晚一般有1％的時(shí)間要占用一個(gè)水龍頭，現(xiàn)有水龍頭45個(gè)，問(wèn)：在未裝新水龍頭前，擁擠的概率是多少？至少要裝多少個(gè)水龍頭，才能以95％以上的概率保證不擁擠？原理介紹：當(dāng)相互獨(dú)立的各隨機(jī)因素，都服從相同的分布（不論服從什么分布），作為這個(gè)隨機(jī)變量，當(dāng)n充分大時(shí)，便近似地服從正態(tài)分布。從而可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程求得分布函數(shù)。分析：首先分析在同一個(gè)時(shí)刻使用水龍頭的人數(shù)，定義為隨機(jī)變量X，其滿足二項(xiàng)分布X～B（5000，0.01），當(dāng)同一時(shí)刻出現(xiàn)的人數(shù)X>45時(shí)水龍頭使用完，就會(huì)出現(xiàn)擁擠排隊(duì)現(xiàn)象。所以擁擠的概率是P(x>45)=1-P(0<X<45)=。而第二項(xiàng)為求和，運(yùn)算復(fù)雜，所以使用中心極限定理?？紤]其條件，隨機(jī)出現(xiàn)的人數(shù)很大，且每個(gè)人是否出現(xiàn)相互獨(dú)立，對(duì)總體造成的影響很小。符合中心極限定理的使用條件，所以應(yīng)用中心極限定理得P(0<X<45)=。通過(guò)查正態(tài)分布表就可得出擁擠的概率。第二問(wèn)是已知概率而求X的范圍，假設(shè)至少要安裝N個(gè)水龍頭才能滿足條件。即得到，同樣中心極限定理適用，，查正態(tài)分布的表就可求解N=62，所以應(yīng)該安裝62個(gè)水龍頭。所以我們可以通過(guò)中心極限定理將一些看似很隨機(jī)的事件、不能計(jì)算預(yù)測(cè)的問(wèn)題很方便的提前通過(guò)計(jì)算預(yù)測(cè)出在什么條件下對(duì)我們最有利，從而提前做出判斷