【數(shù)學(xué)】兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（2）課件-2023-2024學(xué)年高一上數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

5.5三角恒等變換

5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(2)問題1

請同學(xué)們寫出兩角差的余弦公式.提示cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.問題2

試比較cos(α－β)和cos(α＋β)，觀察兩者之間的聯(lián)系，你能發(fā)現(xiàn)什么？提示我們注意到α－β與α＋β有聯(lián)系，α＋β＝α－(－β)，于是我們可以根據(jù)已知的兩角差的余弦公式進行展開.即cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cosα·cos(－β)＋sinαsin(－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，于是我們得到了兩角和的余弦公式.cos(α-β)=cosα

cosβ

+sinα

sinβ兩角差的余弦公式：cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cosα

cos(-β)

+sinα

sin(-β)=cosα

cosβ

-sinα

sinβPART1兩角和與差的余弦公式對于任意角α，β有cos(α-β)=cosα

cosβ

+sinα

sinβcos(α+β)=cosα

cosβ

-sinα

sinβC(α-β)C(α+β)記憶要點：CCSS，符號相反

=sinα

cosβ+cosα

sinβ=sinα

cosβ+cosα

sinβ同理可證，sin(α-β)=sinα

cosβ-cosα

sinβPART2兩角和與差的正弦公式對于任意角α，β有S(α+β)S(α-β)記憶要點：SCCS，符號相同sin(α-β)=sinα

cosβ-cosα

sinβsin(α+β)=sinα

cosβ+cosα

sinβ1.兩角和的余弦公式cos(α＋β)＝

，其中α，β∈R，簡記作C(α＋β).2.兩角和與差的正弦公式sin(α＋β)＝

，其中α，β∈R，簡記作S(α＋β)；sin(α－β)＝

，其中α，β∈R，簡記作S(α－β).注意點：(1)注意公式的展開形式，兩角和與差的余弦展開可簡記為“余余正正，符號相反”，兩角和與差的正弦展開可簡記為“正余余正，符號相同”.(2)公式的逆用，一定要注意名稱的順序和角的順序.cosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ公式鞏固利用兩角和與差的正余弦公式，計算下列三角函數(shù)的值：(1)sin15° (2)cos75°所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ延伸探究1.若本例條件不變，求sin(α－β)的值.由以上可知cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ2.若本例條件不變，求cos(α＋β)的值.你能根據(jù)正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)的關(guān)系，從C(α±β)，S(α±β)出發(fā)，推導(dǎo)出用任意角α、β的正切表示tan(α+β)，tan(α-β)的公式嗎？探究

？想一想同角三角函數(shù)中的商數(shù)關(guān)系是什么？tan(α+β)=—————sin(α+β)cos(α+β)=—————————sinα

cosβ+cosα

sinβcosα

cosβ-sinα

sinβ=——————tanα+tanβ1-tanα

tanβ分子分母同時除以cosα

cosβ同理可證，tan(α-β)=——————tanα-tanβ1+tanα

tanβPART3兩角和與差的正切公式

T(α+β)T(α-β)記憶要點：上同下異tan(α-β)=——————tanα-tanβ1+tanα

tanβtan(α+β)=——————tanα+tanβ1-tanα

tanβ例1

(1)tan255°等于√tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°√√例題探究

例題探究2整體法給值求值問題

跟蹤訓(xùn)練2整體法給值求值問題

課堂小結(jié)正弦余弦正切sin(α-β)=sinα

cosβ-cosα

sinβsin(α+β)=sinα

cosβ+cosα

sinβcos(α-β)=cosα

cosβ

+sinα

sinβcos(α+β)=cosα

cosβ

-sinα

sinβtan(α-β)=——————tanα-tanβ1+tanα

tanβtan(α+β)=——————tanα+tanβ1-tanα

tanβ12345678910111213141516基礎(chǔ)鞏固√sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°