專題13.5等邊三角形的性質(zhì)（限時(shí)滿分培優(yōu)訓(xùn)練）-【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊尖子生培優(yōu)必刷題（解析版）【人教版】

【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊尖子生培優(yōu)必刷題（人教版）專題13.5等邊三角形的性質(zhì)（限時(shí)滿分培優(yōu)訓(xùn)練）班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2023春?碭山縣校級(jí)期中）如圖，△ABC為等邊三角形，AP∥CQ．若∠BAP＝α，則∠1＝（）A．60°+α B．60°﹣α C．30°+2α D．120°﹣2α【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝60°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BM∥AP，∵AP∥CQ，∴AP∥CQ∥BM，∴∠BAP＝∠ABM＝α，∠1＝∠CBM，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠ABC＝∠ABM+∠CBM，∴∠CBM＝60°﹣α，∴∠1＝60°﹣α，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，熟記等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?南崗區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在AC邊上，∠DBC＝40°，則∠ADB的度數(shù)為（）A．25° B．60° C．90° D．100°【答案】D【分析】等邊三角形的三個(gè)角都為60°，三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠C＝60°，∵∠ADB＝∠DBC+∠C，∠DBC＝40°，∴∠ADB＝40°+60°＝100°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，等邊三角形的三個(gè)角都為60°，和三角形的外角的性質(zhì)．3．（2021秋?涿州市校級(jí)期末）由于木質(zhì)的衣架沒有柔性，在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作．小紅設(shè)計(jì)了一種衣架，在使用時(shí)能輕易收攏，然后套進(jìn)衣服后松開即可，如圖1，衣架桿OA＝OB＝30cm．若衣架收攏時(shí)，∠AOB＝60°，如圖2，則此時(shí)A，B兩點(diǎn)間的距離是（）A．15cm B．30cm C．60cm D．都不對(duì)【答案】B【分析】根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，即可解答．【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝OA＝OB＝30cm，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?濟(jì)寧期末）如圖所示，△ABC是等邊三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，則∠2的度數(shù)為（）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】D【分析】易證△ABD≌△BCE，可得∠1＝∠CBE，根據(jù)∠2＝∠1+∠ABE可以求得∠2的度數(shù)，即可解題．【解答】解：在△ABD和△BCE中，AB=BC∠ABC=∠∴△ABD≌△BCE，∴∠1＝∠CBE，∵∠2＝∠1+∠ABE，∴∠2＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的證明，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，等邊三角形內(nèi)角為60°的性質(zhì)，本題中求證△ABD≌△BCE是解題的關(guān)鍵．5．（2023春?競秀區(qū)期末）老師設(shè)計(jì)了“誰是臥底”游戲，用合作的方式描述下面的題目：“如圖，在△ABC中，∠C＝30°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，DE⊥AC交BC于E；點(diǎn)O在ED上，OA＝OB，OD＝2，OE＝4”，甲說：CE＝12；乙說：CB＝20；丙說：△AOB為等邊三角形；丁說：過點(diǎn)O作OF⊥CB，可以求出BF＝10．若四個(gè)描述中，只有“臥底”的描述是錯(cuò)誤的．則“臥底”是（）?A．甲 B．乙 C．丙 D．四個(gè)人都不是臥底【答案】D【分析】連接OC，作OF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)求出CE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的三線合一解答即可．【解答】解：連接OC，作OF⊥BC于點(diǎn)F，由題意得：DE＝OD+OE＝6，在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，∴CE＝2DE＝12，∠OEF＝60°，所以甲對(duì)；∵AD＝DC，ED⊥AC，∴OA＝OC，∵OA＝OB，∴OB＝OC，∵OF⊥BC，∴CF＝FB，在Rt△OFE中，∠OEF＝60°，∴∠EOF＝30°，∴EF=12OE＝∴CF＝CE﹣EF＝10，∴CB＝20，所以乙對(duì)；∴BE＝20﹣12＝8，∴BF=12BC＝在Rt△CDE中，CE＝12，DE＝6，由勾股定理可得CD＝63，∴AC＝2CD＝123，過B作BM⊥AC于M點(diǎn)，∵∠C＝30°，BC＝20，∴BM=12BC＝10，CM=3BM＝∴AM＝AC﹣CM＝23，在Rt△ABM中，由勾股定理可得：AB=AM2在Rt△COD中，CD＝63，OD＝2，由勾股定理可得：CO=CD2∴CO＝OA＝OB＝47，∴AB＝AO＝OB，∴△AOB為等邊三角形，丙對(duì)，故四人都不是臥底，所以D選項(xiàng)說法正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵6．（2023春?興寧市期末）如圖，AD是等邊三角形ABC的中線，點(diǎn)E在AC上，AE＝AD，則∠EDC等于（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】A【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可求解∠CAD＝30°，AD⊥BC，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可得∠ADE的度數(shù)，進(jìn)而可求解．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝∠C＝60°，∵AD是等邊三角形ABC的中線，∴∠CAD=12∠BAC＝30°，AD⊥∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵∠AED+∠ADE+∠CAD＝180°，∴∠ADE＝75°，∴∠EDC＝15°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，求解∠ADE的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?安次區(qū)期末）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E的度數(shù)為（）A．25° B．20° C．15° D．7.5°【答案】C【分析】利用等邊對(duì)等角和三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和依次計(jì)算∠GDC和∠E即可．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°．∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，∴∠CGD+∠CDG＝60°．∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°．∵∠CDG＝∠DFE+∠E，∴∠DFE+∠E＝30°．∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝15°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的推論，等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用等邊對(duì)等角和三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和解答是解題的關(guān)鍵．8．（2023春?環(huán)江縣期末）如圖，△ABC是等邊三角形，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，PD+PE+PF＝6，則△ABC的周長是（）A．12 B．18 C．24 D．30【答案】B【分析】延長FP交BC于N，延長EP交AB于M，由條件推出四邊形PMBD，四邊形PNCE是平行四邊形，△PFM，△PDN是等邊三角形，得到BC＝PF+PD+PE＝6，即可求出△ABC的周長．【解答】解：延長FP交BC于N，延長EP交AB于M，∵PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，∴四邊形PMBD，四邊形PNCE是平行四邊形，∴CN＝PE，BD＝PM，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠PDN＝∠B＝60°，∠PND＝∠C＝60°，∴∠DPN＝180°﹣∠PDN﹣∠PND＝60°，∴△PDN是等邊三角形，同理：△PFM是等邊三角形，∴PD＝DN，PF＝MP，∴PF＝BD，∴BC＝BD+DN+CN＝PF+PD+PE＝6，∴△ABC的周長為：6×3＝18，即△ABC的周長是18．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)證明BC＝PF+PD+PE＝6．9．（2019秋?鎮(zhèn)賚縣期末）如圖是“人字形”鋼架，其中斜梁AB＝AC，頂角∠BAC＝120°，跨度BC＝10m，AD為支柱（即底邊BC的中線），兩根支撐架DE⊥AB，DF⊥AC，則DE+DF等于（）A．10m B．5m C．2.5m D．9.5m【答案】B【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出∠B＝∠C＝30°，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到DE=12BD，DF=12DC，兩式相加，即可證明DE+【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為E，F(xiàn)，∴DE=12BD，DF=∴DE+DF=12BD+12DC=12（BD∴DE+DF=12BC=12×故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及含30度角的直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，用到的知識(shí)點(diǎn)為：等邊對(duì)等角；三角形內(nèi)角和為180°；直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．10．（2020春?淄川區(qū)期末）在等邊△ABC中，D、E分別為AB、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，BD＝2AE，連接DE，以DE為邊在△ABC內(nèi)作等邊△DEF，連接CF，當(dāng)D從點(diǎn)A向B運(yùn)動(dòng)（不運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B）時(shí)，∠ECF大小的變化情況是（）A．不變 B．變小 C．變大 D．先變大后變小【答案】A【分析】在AC上截取CN＝AE，連接FN，易證AD＝EN，DE＝EF，由∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∠NEF＝180°﹣∠DEF﹣∠AED120°﹣∠AED，得出∠ADE＝∠NEF，由SAS證得△ADE≌△NEF，得出AE＝FN，∠FNE＝∠A＝60°，推出FN＝CN，求出∠ECF＝30°，即可得出結(jié)果．【解答】解：在AC上截取CN＝AE，連接FN，如圖所示：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，AB＝AC，∵BD＝2AE，∴AD＝EN，∵△DEF是等邊三角形，∴DE＝EF，∠DEF＝60°，∵∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣60°﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∠NEF＝180°﹣∠DEF﹣∠AED＝180°﹣60°﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∴∠ADE＝∠NEF，在△ADE和△NEF中，AD=EN∠ADE=∠NEF∴△ADE≌△NEF（SAS），∴AE＝FN，∠FNE＝∠A＝60°，∴FN＝CN，∴∠NCF＝∠NFC，∵∠FNE＝∠NCF+∠NFC＝60°，∴∠NCF＝30°，即∠ECF＝30°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；作出輔助線，構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題）11．（2023春?龍川縣校級(jí)期中）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，BC＝4，則△ABC的周長是12．【答案】12．【分析】根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形判斷出△ABC是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵BC＝4，∴△ABC的周長＝3×4＝12．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，判斷出△ABC是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．12．（2023春?零陵區(qū)期中）如圖，l1∥l2，等邊△ABC的頂點(diǎn)A，B分別在l1，l2上，∠2＝40°，則∠1的度數(shù)為20°．【答案】20°．【分析】如圖，由平行線的性質(zhì)可得出∠3＝∠2＝40°．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出∠ABC＝60°，即可由∠1＝∠ABC﹣∠3求解．【解答】解：如圖，∵l1∥l2，∴∠3＝∠2＝40°．∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠1＝∠ABC﹣∠3＝20°．故答案為：20°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．13．（2023春?唐河縣期末）如圖，將邊長為5cm的等邊△ABC沿邊BC向右平移4cm得到△A′B′C′，則四邊形AA′C′B的周長為23cm．【答案】23cm．【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得到A′C′＝AC＝5cm，AA′＝BB′＝4cm，B′C′＝BC＝5cm，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【解答】解：由平移的性質(zhì)可知，A′C′＝AC＝5cm，AA′＝BB′＝4cm，B′C′＝BC＝5cm，∴四邊形AA′C′B的周長＝AB+BC′+A′C′+A′A＝AB+BB′+B′C′+A′C′+A′A＝15+8＝23（cm），故答案為：23cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平移的性質(zhì)，理解平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023春?安源區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D，E分別在等邊△ABC的邊AB、BC上，將△BDE沿直線DE翻折，使點(diǎn)B落在B1處，DB?，EB1分別交邊AC于點(diǎn)F，G，若∠ADF＝84°，則∠CEG的度數(shù)為36°．【答案】36°．【分析】由對(duì)頂角相等可得∠CGE＝∠FGB1，由兩角對(duì)應(yīng)相等可得△ADF∽△B1GF，那么∠CGE等于∠ADF的度數(shù)，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和得出答案．【解答】解：由翻折可得∠BDE＝∠EDF，∠BED＝∠DEG，∵∠ADF＝84°，∴∠BDE＝∠EDF＝48°，∵∠B＝60°，∴∠BED＝∠DEG＝72°，∴∠CEG＝180°﹣72°﹣72°＝36°，故答案為：36°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換問題；得到∠CGE等于∠ADF的度數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．15．（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，延長BC交EF的反向延長線于點(diǎn)D，若EF＝1，則DF的長為3．【答案】3．【分析】過點(diǎn)C作CH⊥DE于點(diǎn)H，易證△AFE≌△CHE（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得EH＝EF＝1，再證明△CDE是等腰三角形，可得DH＝EH＝1，進(jìn)一步可得DF的長．【解答】解：過點(diǎn)C作CH⊥DE于點(diǎn)H，則∠CHE＝90°，∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°，∴∠AFE＝∠CHE，∵E是AC的中點(diǎn)，∴AE＝CE，在△AFE和△CHE中，∠AFE=∠CHE∠AEF=∠CEH∴△AFE≌△CHE（AAS），∴EH＝EF＝1，在等邊△ABC中，∠B＝∠ACB＝60°，∵∠BFE＝90°，∴∠D＝30°，∴∠DEC＝60°﹣30°＝30°，∴CE＝CD，∴△CDE是等腰三角形，∵CH⊥DE，∴DH＝EH＝1，∴DF＝DH+EH+EF＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2020春?成都期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，作∠DAE＝∠BAC，且AD＝AE，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)CE∥AB時(shí)，若∠BAD＝35°，則∠DEC＝25度；（2）如圖2，設(shè)∠BAC＝α（90°＜α＜180°），在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)DE⊥BC時(shí)，∠DEC＝α﹣90°．（用含α的式子表示）【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)已知條件得到∠BAD＝∠CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠ACE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAC＝∠ACE，推出△ABC是等邊三角形，得到∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，求得△DAE是等邊三角形，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠ACB=12（180°﹣α）＝90°-12α，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠ACE＝90°-12α，求得∠DCE＝2（90【解答】解：（1）∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠BAC＝∠B，∴AC＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，∴△DAE是等邊三角形，∴∠AED＝60°，∴∠DEC＝180°﹣35°﹣60°﹣60°＝25°，故答案為：25；（2）∵∠BAC＝α，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB=12（180°﹣α）＝90°∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝90°-1∴∠DCE＝2（90°-12α）＝180∵DE⊥BC，∴∠CDE＝90°，∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝α﹣90°．故答案為：α﹣90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題）17．（2022秋?海門市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足為點(diǎn)F．（1）求證：CE＝2CF；（2）若CF＝2，求△ABC的周長．【答案】（1）見解析；（2）24．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知∠ACB＝60°，再由DF⊥BE可知∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）由CF＝2可得出CD＝4，故可得出AC的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵DF⊥BE，∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，∴DC＝2CF．∵CE＝CD∴CE＝2CF；（2）解：∵CF＝2，由（1）知CE＝2CF，∴DC＝2CF＝4．∵△ABC為等邊三角形，BD是中線，∴AB＝BC＝AC＝2DC＝8，∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝8+8+8＝24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，熟知邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°是解題的關(guān)鍵．18．（2023春?鐵西區(qū)期末）如圖，已知AB∥CD，△ACE是等邊三角形，∠DCE＝40°，求∠EAB的度數(shù)．【答案】20°．【分析】由△ACE是等邊三角形，得到∠ACE＝∠CAE＝60°，由平行線的性質(zhì)得到∠DCE+∠ACE+∠CAE+∠EAB＝180°，又∠DCE＝40°，即可求出∠EAB＝20°．【解答】解：∵△ACE是等邊三角形，∴∠ACE＝∠CAE＝60°，∵CD∥AB，∴∠DCE+∠ACE+∠CAE+∠EAB＝180°，∵∠DCE＝40°，∴∠EAB＝20°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)得到∠DCE+∠ACE+∠CAE+∠EAB＝180°．19．（2023?荊州）如圖，BD是等邊△ABC的中線，以D為圓心，DB的長為半徑畫弧，交BC的延長線于E，連接DE．求證：CD＝CE．【答案】見解析．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BD⊥AC，∠ACB＝60°，求得∠DBC＝30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠E＝∠DBC＝30°，求得∠E＝∠2＝30°，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵BD是等邊△ABC的中線，∴BD⊥AC，∠ACB＝60°，∴∠DBC＝30°，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°，∵∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°，∴∠E＝∠CDE＝30°，∴CD＝CE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2023春?南海區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，點(diǎn)E、F分別為垂足，△DEF是等邊三角形．（1）求∠A的度數(shù)；（2）求證：EF∥BC．【答案】（1）120°；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DEF＝∠DFE＝∠EDF＝60°，再根據(jù)垂直定義和平角定義可求得∠AEF＝∠AFE＝30°，再利用三角形的內(nèi)角和等于180°求解即可；（2）證明Rt△BED≌Rt△CFD，則∠B＝∠C，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和平行線的判定可證得結(jié)論．【解答】解：（1）∵△DEF是等邊三角形，∴∠DEF＝∠DFE＝∠EDF＝60°，DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，∴∠A＝180°﹣（∠AEF+∠AFE）＝120°；（2）∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，在Rt△BED和Rt△CFD中，DE=DFBD=CD∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴∠B＝∠C，則∠B=1∴∠B＝∠AEF，∴EF∥BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、垂直定義、三角形的內(nèi)角和定理、全等三角形的性質(zhì)、平行線的判定，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及HL定理是解答的關(guān)鍵．21．（2022春?蘭州期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等邊三角形，BQ和CP交于點(diǎn)H，求證：BQ⊥CP．【答案】證明過程見解析．【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得出∠ACP＝∠CBQ＝60°，求出∠BCP＝30°，由三角形內(nèi)角和定理得出∠BHC＝90°，則可得出結(jié)論．【解答】證明：∵△CAP和△CBQ都是等邊三角形，∴∠ACP＝∠CBQ＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCP＝∠ACB﹣∠ACP＝30°，在△BCH中，∠BHC＝180°﹣∠BCH﹣∠CBH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴BQ⊥CP．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2021秋?龍馬潭區(qū)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，CE＝CD，（1）求證：DB＝DE．（2）在圖中過D作DF⊥BE交BE于F，若CF＝4，求△ABC的周長．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，再根據(jù)角之間的關(guān)系求得∠DBC＝∠CED，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得到DB＝DE．（2）由DF的長可求出CD，進(jìn)而可求出AC的長，則△ABC的周長即可求出．【解答】（1）證