2024屆高考數(shù)學二輪專題復習與測試第一部分專題四概率與統(tǒng)計微專題1概率與統(tǒng)計小題考法3相互獨立事件與條件概率

小題考法3相互獨立事件與條件概率(1)(2023·深圳龍崗區(qū)校級二模)已知編號為1，2，3的三個盒子，其中1號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球．若第一次先從1號盒子內(nèi)隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從放入球的盒子中任取一個球，設事件Ai為第一次取出的球為i號，事件Bi為第二次取出的球為i號，則下列說法錯誤的是()A．P(B3|A3)＝eq\f(1,6)B．P(A3)＝eq\f(1,4)C．P(B3)＝eq\f(13,48)D．P(A3B3)＝eq\f(1,24)(2)(2023·江門一模)衣柜里有灰色，白色，黑色，藍色四雙不同顏色的襪子，從中隨機選4只，已知取出兩只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為()A.eq\f(2,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(8,15)D.eq\f(8,9)解析：(1)由題意得，P(A3)＝eq\f(1,4)，P(B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(11,48)，P(A3B3)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，P(B3|A3)＝eq\f(P（A3B3）,P（A3）)＝eq\f(\f(1,24),\f(1,4))＝eq\f(1,6)，故ABD正確，C錯誤．故選C.(2)從四雙不同顏色的襪子中隨機選4只，記“取出的襪子至少有兩只是同一雙”為事件A，記“取出的襪子恰好有兩只不是同一雙”為事件B，事件A包含兩種情況：“取出的襪子恰好有兩只是同一雙”，“取出的襪子恰好四只是兩雙”，則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(4,8))＝eq\f(27,35)，又P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(4,8))＝eq\f(24,35)，則P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(8,9)，即隨機選4只，已知取出兩只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為eq\f(8,9).故選D.答案：(1)C(2)D1．條件概率：(1)套用條件概率公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)，需注意哪個事件為條件．(2)通過縮小樣本空間求解．2．獨立事件：若P(AB)＝P(A)·P(B)，則事件A、B相互獨立．1．(2023·惠州模擬)甲罐中有5個紅球，3個白球，乙罐中有4個紅球，2個白球．整個取球過程分兩步，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別用A1、A2表示由甲罐取出的球是紅球、白球的事件；再從乙罐中隨機取出兩球，分別用B、C表示第二步由乙罐取出的球是“兩球都為紅球”“兩球為一紅一白”的事件，則下列結論中不正確的是()A．P(B|A1)＝eq\f(10,21)B．P(C|A2)＝eq\f(4,7)C．P(B)＝eq\f(19,42)D．P(C)＝eq\f(43,84)解析：由題意知，甲罐有5個紅球，3個白球，乙罐中有4個紅球、2個白球，分別用A1、A2表示由甲罐取出的球是紅球、白球的事件，分別用B、C表示第二步由乙罐取出的球是“兩球都為紅球”“兩球為一紅一白”的事件，P(B|A1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，故A正確．P(C|A2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(4×3,21)＝eq\f(4,7)，故B正確．因為P(A1)＝eq\f(5,8)，P(A2)＝eq\f(3,8)，P(B|A1)＝eq\f(10,21)，P(B|A2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(6,21)＝eq\f(2,7)，所以P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝eq\f(5,8)×eq\f(10,21)＋eq\f(3,8)×eq\f(2,7)＝eq\f(17,42)，故C不正確．因為P(A1)＝eq\f(5,8)，P(A2)＝eq\f(3,8)，P(C|A1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，P(C|A2)＝eq\f(4,7)，所以P(C)＝P(A1C)＋P(A2C)＝P(A1)·P(C|A1)＋P(A2)P(C|A2)＝eq\f(5,8)×eq\f(10,21)＋eq\f(3,8)×eq\f(4,7)＝eq\f(43,84)，故D正確．故選C.答案：C2．(2023·佛山南海區(qū)校級模擬)甲口袋中有3個紅球，2個白球和5個黑球，乙口袋中有3個紅球，3個白球和4個黑球，先從甲口袋中隨機取出一球放入乙口袋，分別以A1，A2和A3表示由甲口袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙口袋中隨機取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是()A．P(B|A2)＝eq\f(4,11)B．事件A1與事件B相互獨立C．P(A3|B)＝eq\f(1,2)D．P(B)＝eq\f(3,10)解析：由題意得P(B|A2)＝eq\f(3,3＋3＋4＋1)＝eq\f(3,11)，所以A錯誤；因為P(B|A1)＝eq\f(4,11)，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝eq\f(3,10)×eq\f(4,11)＋eq\f(2,10)×eq\f(3,11)＋eq\f(5,10)×eq\f(3,11)＝eq\f(3,10)，所以P(B)≠P(B|A1)，即P(B)P(A1)≠P(BA1)