2024屆高考數(shù)學二輪專題復習與測試第一部分專題三立體幾何微專題1空間幾何體空間中的位置關系小題考法1空間幾何體的表面積與體積

小題考法1空間幾何體的表面積與體積(1)(2023·深圳模擬)圓錐側面展開圖扇形的圓心角為60°，底面圓的半徑為8，則圓錐的側面積為()A．384πB．392πC．398πD．404π(2)(2023·東莞市校級模擬)中國古代計時器的發(fā)明時間不晚于戰(zhàn)國時代(公元前476年—前222年)，其中沙漏就是古代利用機械原理設計的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道流到下部容器，如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐容器組成，圓錐的底面圓的直徑和高均為8cm，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的eq\f(2,3)(細管長度忽略不計)．若細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此圓錐形沙堆的高為()A．2cmB．eq\f(4,3)cmC．eq\f(8,3)cmD．eq\f(64,27)cm(3)(2023·汕頭一模)如圖，在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，若半徑為r的球O與該正四棱臺的各個面均相切，則該球的表面積S＝________．解析：(1)設圓錐的半徑為r，母線長為l，則r＝8，由題意知，2πr＝eq\f(π,3)l，解得l＝48，所以圓錐的側面積為πrl＝8×48π＝384π.故選A.(2)由題意可知，開始時，沙漏上部分圓錐中的細沙的高H＝eq\f(2,3)×8＝eq\f(16,3)，底面圓的半徑r＝eq\f(2,3)×4＝eq\f(8,3)，故細沙的體積V＝eq\f(1,3)πr2H＝eq\f(1,3)π×(eq\f(8,3))2×eq\f(16,3)＝eq\f(1024π,81).當細沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑為4，設高為H′，則eq\f(1,3)π×42×H′＝eq\f(1024π,81)，得H′＝eq\f(64,27).故此錐形沙堆的高為eq\f(64,27)cm.故選D.(3)設正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的上、下底面的中心為M、H，連接MH，則球O的球心為MH的中點，過O作OG⊥平面A1D1DA，因為AB＝4，A1B1＝2，所以NG＝NM＝1，GF＝FH＝2，所以FN＝3，過N作NE⊥FH交FH于點E，則MH＝NE＝eq\r(NF2－FE2)＝eq\r(9－1)＝2eq\r(2)，設球O的半徑為R，則R＝eq\f(MH,2)＝eq\r(2)，則S＝4πR2＝8π，故答案為8π.答案：(1)A(2)D(3)8π1．求空間幾何體的體積常用方法有：等體積轉化法，割補法等．2．求空間幾何體的表面積或側面積關鍵思想是空間問題平面化．1．(2023·潮州二模)折扇是我國傳統(tǒng)文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征(如圖1)．圖2是一個圓臺的側面展開圖(扇形的一部分)，若兩個圓弧DE，AC所在圓的半徑分別是3和6，且∠ABC＝120°，則該圓臺的體積為()A．eq\f(50\r(2),3)πB．9πC．7πD．eq\f(14\r(2),3)π解析：兩個圓弧DE，AC所在圓的半徑分別是3和6，且∠ABC＝120°，所以兩個圓弧的弧長分別為2π，4π，可得圓臺的兩底面半徑分別為1，2，圓臺的高為eq\r(32－12)＝2eq\r(2).圓臺的體積為V＝eq\f(1,3)π(22＋2×1＋12)×2eq\r(2)＝eq\f(14\r(2)π,3).故選D.答案：D2．(2023·廣東一模)已知一個圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等，若圓錐的軸截面是等邊三角形，則這個圓錐和圓柱的側面積之比為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)解析：設圓錐和圓柱的底面半徑為r，因為圓錐的軸截面是等邊三角形，所以圓錐的母線長為l＝2r，則圓錐和圓柱的高為h＝eq\r(4r2－r2)＝eq\r(3)r，所以圓錐的側面積為S1＝eq\f(1,2)×2πr×l＝2πr2，圓柱的側面積為S2＝2πr×h＝2eq\r(3)πr2，所以圓錐和圓柱的側面積之比為eq\f(S1,S2)＝eq\f(\r(3),3).故選C.答案：C3.(2023·廣東模擬)如圖為三棱錐A-BCD的平面展開圖，其中AC＝CD＝CB＝2，AE⊥BD，垂足為C，則該三棱錐的體積為________．解析：由三棱錐A-BCD的平面展開圖還原原三棱錐如圖，三棱錐ABC