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文檔簡介
2023-2024學年湖南省岳陽市達標名校高三數(shù)學第一學期期末經典試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設函數(shù),若函數(shù)有三個零點,則()A.12 B.11 C.6 D.32.一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A. B. C. D.3.已知α,β是兩平面,l,m,n是三條不同的直線,則不正確命題是()A.若m⊥α,n//α,則m⊥n B.若m//α,n//α,則m//nC.若l⊥α,l//β,則α⊥β D.若α//β,lβ,且l//α,則l//β4.已知的內角、、的對邊分別為、、,且,,為邊上的中線,若,則的面積為()A. B. C. D.5.設則以線段為直徑的圓的方程是()A. B.C. D.6.在我國傳統(tǒng)文化“五行”中,有“金、木、水、火、土”五個物質類別,在五者之間,有一種“相生”的關系,具體是:金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個,這二者具有相生關系的概率是()A.0.2 B.0.5 C.0.4 D.0.87.已知三棱錐的外接球半徑為2,且球心為線段的中點,則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.8.在等差數(shù)列中,若,則()A.8 B.12 C.14 D.109.本次模擬考試結束后,班級要排一張語文、數(shù)學、英語、物理、化學、生物六科試卷講評順序表,若化學排在生物前面,數(shù)學與物理不相鄰且都不排在最后,則不同的排表方法共有()A.72種 B.144種 C.288種 D.360種10.定義在R上的函數(shù),,若在區(qū)間上為增函數(shù),且存在,使得.則下列不等式不一定成立的是()A. B.C. D.11.已知是球的球面上兩點,,為該球面上的動點.若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為()A. B. C. D.12.集合,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的前項和為,且成等差數(shù)列,,數(shù)列的前項和為,則滿足的最小正整數(shù)的值為______________.14.設實數(shù)滿足約束條件,則的最大值為______.15.正四棱柱中,,.若是側面內的動點,且,則與平面所成角的正切值的最大值為___________.16.已知圓柱的上下底面的中心分別為,過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為36的正方形,則該圓柱的體積為____三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系中,已知向量,,其中.(1)求的值;(2)若,且,求的值.18.(12分)設數(shù)列是等差數(shù)列,其前項和為,且,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)證明:.19.(12分)已知函數(shù)(1)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍;(2)若方程有兩個不同實根,,證明:.20.(12分)如圖,在直角中,,,,點在線段上.(1)若,求的長;(2)點是線段上一點,,且,求的值.21.(12分)已知,均為給定的大于1的自然數(shù),設集合,.(Ⅰ)當,時,用列舉法表示集合;(Ⅱ)當時,,且集合滿足下列條件:①對任意,;②.證明:(?。┤?,則(集合為集合在集合中的補集);(ⅱ)為一個定值(不必求出此定值);(Ⅲ)設,,,其中,,若,則.22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面,底面是直角梯形,為側棱上一點,已知.(Ⅰ)證明:平面平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
畫出函數(shù)的圖象,利用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的零點個數(shù),然后轉化求解,即可得出結果.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示,令,由圖可得關于的方程的解有兩個或三個(時有三個,時有兩個),所以關于的方程只能有一個根(若有兩個根,則關于的方程有四個或五個根),由,可得的值分別為,則故選B.【點睛】本題考查數(shù)形結合以及函數(shù)與方程的應用,考查轉化思想以及計算能力,屬于??碱}型.2、D【解析】
試題分析:如圖所示,截去部分是正方體的一個角,其體積是正方體體積的,剩余部分體積是正方體體積的,所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為,故選D.考點:本題主要考查三視圖及幾何體體積的計算.3、B【解析】
根據(jù)線面平行、線面垂直和空間角的知識,判斷A選項的正確性.由線面平行有關知識判斷B選項的正確性.根據(jù)面面垂直的判定定理,判斷C選項的正確性.根據(jù)面面平行的性質判斷D選項的正確性.【詳解】A.若,則在中存在一條直線,使得,則,又,那么,故正確;B.若,則或相交或異面,故不正確;C.若,則存在,使,又,則,故正確.D.若,且,則或,又由,故正確.故選:B【點睛】本小題主要考查空間線線、線面和面面有關命題真假性的判斷,屬于基礎題.4、B【解析】
延長到,使,連接,則四邊形為平行四邊形,根據(jù)余弦定理可求出,進而可得的面積.【詳解】解:延長到,使,連接,則四邊形為平行四邊形,則,,,在中,則,得,.故選:B.【點睛】本題考查余弦定理的應用,考查三角形面積公式的應用,其中根據(jù)中線作出平行四邊形是關鍵,是中檔題.5、A【解析】
計算的中點坐標為,圓半徑為,得到圓方程.【詳解】的中點坐標為:,圓半徑為,圓方程為.故選:.【點睛】本題考查了圓的標準方程,意在考查學生的計算能力.6、B【解析】
利用列舉法,結合古典概型概率計算公式,計算出所求概率.【詳解】從五行中任取兩個,所有可能的方法為:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土,共種,其中由相生關系的有金水、木水、木火、火土、金土,共種,所以所求的概率為.故選:B【點睛】本小題主要考查古典概型的計算,屬于基礎題.7、C【解析】
由題可推斷出和都是直角三角形,設球心為,要使三棱錐的體積最大,則需滿足,結合幾何關系和圖形即可求解【詳解】先畫出圖形,由球心到各點距離相等可得,,故是直角三角形,設,則有,又,所以,當且僅當時,取最大值4,要使三棱錐體積最大,則需使高,此時,故選:C【點睛】本題考查由三棱錐外接球半徑,半徑與球心位置求解錐體體積最值問題,屬于基礎題8、C【解析】
將,分別用和的形式表示,然后求解出和的值即可表示.【詳解】設等差數(shù)列的首項為,公差為,則由,,得解得,,所以.故選C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本量的求解,難度較易.已知等差數(shù)列的任意兩項的值,可通過構建和的方程組求通項公式.9、B【解析】
利用分步計數(shù)原理結合排列求解即可【詳解】第一步排語文,英語,化學,生物4種,且化學排在生物前面,有種排法;第二步將數(shù)學和物理插入前4科除最后位置外的4個空擋中的2個,有種排法,所以不同的排表方法共有種.選.【點睛】本題考查排列的應用,不相鄰采用插空法求解,準確分步是關鍵,是基礎題10、D【解析】
根據(jù)題意判斷出函數(shù)的單調性,從而根據(jù)單調性對選項逐個判斷即可.【詳解】由條件可得函數(shù)關于直線對稱;在,上單調遞增,且在時使得;又,,所以選項成立;,比離對稱軸遠,可得,選項成立;,,可知比離對稱軸遠,選項成立;,符號不定,,無法比較大小,不一定成立.故選:.【點睛】本題考查了函數(shù)的基本性質及其應用,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.11、C【解析】
如圖所示,當點C位于垂直于面的直徑端點時,三棱錐的體積最大,設球的半徑為,此時,故,則球的表面積為,故選C.考點:外接球表面積和椎體的體積.12、A【解析】
計算,再計算交集得到答案.【詳解】,,故.故選:.【點睛】本題考查了交集運算,屬于簡單題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
本題先根據(jù)公式初步找到數(shù)列的通項公式,然后根據(jù)等差中項的性質可解得的值,即可確定數(shù)列的通項公式,代入數(shù)列的表達式計算出數(shù)列的通項公式,然后運用裂項相消法計算出前項和,再代入不等式進行計算可得最小正整數(shù)的值.【詳解】由題意,當時,.當時,.則,.,,成等差數(shù)列,,即,解得..,...,.即,,即,,,,即.滿足的最小正整數(shù)的值為1.故答案為:1.【點睛】本題主要考查數(shù)列求通項公式、裂項相消法求前項和,考查了轉化思想、方程思想,考查了不等式的計算、邏輯思維能力和數(shù)學運算能力.14、【解析】
試題分析:作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖,當直線過點時,最大,且考點:線性規(guī)劃.15、2.【解析】
如圖,以為原點建立空間直角坐標系,設點,由得,證明為與平面所成角,令,用三角函數(shù)表示出,求解三角函數(shù)的最大值得到結果.【詳解】如圖,以為原點建立空間直角坐標系,設點,則,,又,得即;又平面,為與平面所成角,令,當時,最大,即與平面所成角的正切值的最大值為2.故答案為:2【點睛】本題主要考查了立體幾何中的動點問題,考查了直線與平面所成角的計算.對于這類題,一般是建立空間直角坐標,在動點坐標內引入?yún)?shù),將最值問題轉化為函數(shù)的最值問題求解,考查了學生的運算求解能力和直觀想象能力.16、【解析】
由軸截面是正方形,易求底面半徑和高,則圓柱的體積易求.【詳解】解:因為軸截面是正方形,且面積是36,所以圓柱的底面直徑和高都是6故答案為:【點睛】考查圓柱的軸截面和其體積的求法,是基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2).【解析】
(1)根據(jù),由向量,的坐標直接計算即得;(2)先求出,再根據(jù)向量平行的坐標關系解得.【詳解】(1)由題,向量,,則.(2),.,,整理得,化簡得,即,,,,即.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算,以及向量平行,是常考題型.18、(1)(2)見解析【解析】
(1)設數(shù)列的公差為,由,得到,再結合題干所給數(shù)據(jù)得到公差,即可求得數(shù)列的通項公式;(2)由(1)可得,再利用放縮法證明不等式即可;【詳解】解:(1)設數(shù)列的公差為,∵,∴,∴,∴.(2)∵,∴,∴.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式的計算,放縮法證明數(shù)列不等式,屬于中檔題.19、(1)(2)詳見解析【解析】
(1)將原不等式轉化為,構造函數(shù),求得的最大值即可;
(2)首先通過求導判斷的單調區(qū)間,考查兩根的取值范圍,再構造函數(shù),將問題轉化為證明,探究在區(qū)間內的最大值即可得證.【詳解】解:(1)由,即,即,令,則只需,,令,得,在上單調遞增,在上單調遞減,,的取值范圍是;(2)證明:不妨設,當時,單調遞增,當時,單調遞減,,當時,,,要證,即證,由在上單調遞增,只需證明,由,只需證明,令,,只需證明,易知,由,故,,從而在上單調遞增,由,故當時,,故,證畢.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調性,最值等,關鍵是要對問題進行轉化,比如把恒成立問題轉化為最值問題,把根的個數(shù)問題轉化為圖像的交點個數(shù),進而轉化為證明不等式的問題,屬難題.20、(1)3;(2).【解析】
(1)在中,利用正弦定理即可得到答案;(2)由可得,在中,利用及余弦定理得,解方程組即可.【詳解】(1)在中,已知,,,由正弦定理,得,解得.(2)因為,所以,解得.在中,由余弦定理得,,即,,故.【點睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應用,考查學生的計算能力,是一道中檔題.21、(Ⅰ);(Ⅱ)(ⅰ)詳見解析.(ⅱ)詳見解析.(Ⅲ)詳見解析.【解析】
(Ⅰ)當,時,,,,,,.即可得出.(Ⅱ)(i)當時,,2,3,,,又,,,,,,必然有,否則得出矛盾.(ii)由.可得.又,即可得出為定值.(iii)由設,,,,其中,,,2,,.,可得,通過求和即可證明結論.【詳解】(Ⅰ)解:當,時,,,,,..(Ⅱ)證明:(i)當時,,2,3,,,又,,,,,,必然有,否則,而,與已知對任意,矛盾.因此有.(ii)..,為定值.(iii)由設,,,,其中,,,2,,.,..【點睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.22、(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)先證明
,再證明平面,利用面面垂直的判定定理,即可求證所求
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