人教A版高中數(shù)學(選擇性必修一)同步培優(yōu)講義專題2.9 點、線間的對稱關(guān)系-重難點題型精講（教師版）

專題2.9點、線間的對稱關(guān)系-重難點題型精講1．點關(guān)于點的對稱SKIPIF1<0SKIPIF1<02．直線關(guān)于點的對稱SKIPIF1<03．兩點關(guān)于某直線對稱SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(4)幾種特殊位置的對稱：4．直線關(guān)于直線的對稱SKIPIF1<0【題型1點關(guān)于點的對稱問題】【方法點撥】點關(guān)于點對稱是對稱問題中最基本的問題，是解決其他對稱問題的基礎，一般用中點坐標公式解決這種對稱問題.SKIPIF1<0【例1】（2021·四川·高二期中（文））若A(4，0)與B點關(guān)于點(2，1)對稱，則B點坐標為（

）A．(0,4) B．(0,2) C．(?2,4) D．(4,?2)【解題思路】根據(jù)中點坐標公式即可求解.【解答過程】解：設Ba,b，由題知，點A和點B的中點為2,14+a2=20+b2所以B點的坐標為0,2故選：B.【變式1-1】（2022·江蘇·高二專題練習）點A(1,2)關(guān)于點P(3,4)對稱的點的坐標為(5,6)．【解題思路】由中點坐標公式求解即可【解答過程】設點A(1,2)關(guān)于點P(3,4)對稱的點為B(x,y)，則點P為AB的中點．∴3=解得x=5y=6∴點A(1,2)關(guān)于點P(3,4)對稱的點的坐標為(5,6)．故答案為：(5,6)．【變式1-2】（2021·全國·高二專題練習）點A（5，8），B（4，1），則A點關(guān)于B點的對稱點C的坐標為3,?6．【解題思路】設出A點關(guān)于B點的對稱點C的坐標，然后直接代入中點坐標公式計算．【解答過程】設C（x，y），由A（5，8），B（4，1）且B點是A，C的中點，所以x+52=4y+8所以C的坐標為3,?6．故答案為：3,?6.【變式1-3】（2021·江西·高二階段練習（理））已知點A(x,5)關(guān)于點(1,y)的對稱點為(?2,?3)，則點P(x,y)到原點的距離是17.【解題思路】根據(jù)對稱性，結(jié)合中點坐標公式、兩點間距離公式進行求解即可.【解答過程】根據(jù)中點坐標公式，得x?22=1，且解得x=4，y=1，所以點P的坐標為(4,1)，則點P(x,y)到原點的距離d=(4?0)故答案為：17.【題型2直線關(guān)于點的對稱問題】【方法點撥】SKIPIF1<0【例2】（2022·河南·高二階段練習）直線l:4x+3y?2=0關(guān)于點A1,1對稱的直線方程為（

A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【解題思路】首先設對稱直線上任意一點Px,y，得到Px,y關(guān)于A1,1對稱點為2?x,2?y【解答過程】設直線l:4x+3y?2=0關(guān)于點A1,1對稱的直線上任意一點P則Px,y關(guān)于A1,1對稱點為又因為2?x,2?y在4x+3y?2=0上，所以42?x+32?y故選：B.【變式2-1】（2020·山東·高考真題）直線2x+3y?6=0關(guān)于點?1,2對稱的直線方程是（

）A．3x?2y?10=0 B．3x?2y?23=0C．2x+3y?4=0 D．2x+3y?2=0【解題思路】設對稱的直線方程上的一點的坐標為x，y,則其關(guān)于點?1,2對稱的點的坐標為(?2?x,4?y)，代入已知直線即可求得結(jié)果.【解答過程】設對稱的直線方程上的一點的坐標為x，y，則其關(guān)于點?1,2對稱的點的坐標為(?2?x,4?y)，因為點(?2?x,4?y)在直線2x+3y?6=0上，所以2?2?x+34?y故選：D.【變式2-2】（2022·浙江紹興·高二期末）直線ax+3y?9=0與直線x?3y+b=0關(guān)于原點對稱，則a,b的值是A．a(chǎn)=?1，b=?9 B．a(chǎn)=?1，b=9C．a(chǎn)=1，b=?9 D．a(chǎn)=1，b=9【解題思路】直線ax+3y﹣9＝0上任意取點（m，n），關(guān)于原點對稱點的坐標為（﹣m，﹣n），分別代入已知的直線方程，即可求得結(jié)論．【解答過程】直線ax+3y﹣9＝0上任意取點（m，n），關(guān)于原點對稱點的坐標為（﹣m，﹣n），則am+3n?9=0∵點（m，n）是直線ax+3y﹣9＝0上任意一點∴a＝﹣1，b＝﹣9故選A．【變式2-3】（2022·全國·高二單元測試）直線ax＋y＋3a－1＝0恒過定點M，則直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點M對稱的直線方程為（

）A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0【解題思路】先求出定點M的坐標，再設出與直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點M對稱的直線方程，利用點到直線距離公式求出答案.【解答過程】由ax＋y＋3a－1＝0得x+3a+由x+3=0y?1=0，得x=?3y=1，∴設直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點M對稱的直線方程為2x+3y+C=0C≠?6∴?6+3?64+9=?6+3+C4+9，解得:∴直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點M對稱的直線方程為2x＋3y＋12＝0．故選：B．【題型3點關(guān)于直線的對稱問題】【方法點撥】點關(guān)于直線的對稱問題有三種情況：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【例3】（2022·全國·高二課時練習）點P(2,0)關(guān)于直線l:x+y+1=0的對稱點Q的坐標為（

）A．(?1,?3) B．(?1,?4) C．(4,1) D．(2,3)【解題思路】根據(jù)點關(guān)于線對稱的特點，利用中點坐標公式及兩直線垂直的斜率的關(guān)系即可求解.【解答過程】設點P(2,0)關(guān)于直線x+y+1=0的對稱點的坐標為(a,b)，則{b?0a?2×(?1)=?1所以點Q的坐標為(?1,?3)故選：A.【變式3-1】（2022·全國·高二課時練習）已知點A(?2,1)關(guān)于直線x+y=0的對稱點為點B，則點B的坐標為（

）A．(1,?2) B．(2,1)C．(2,?1) D．(?1,2)【解題思路】根據(jù)題意設對稱點坐標為a,b，從而可得b?1a+2【解答過程】設點A(?2,1)關(guān)于直線x+y=0對稱的點為a,b，則b?1a+2=1a?22+故選：D.【變式3-2】（2022·全國·高三專題練習）已知A(4，－3)關(guān)于直線l的對稱點為B(－2，5)，則直線l的方程是（

）A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0【解題思路】求出AB的中點，根據(jù)A，B兩點連線的斜率可求出直線l的斜率，即可求出直線方程.【解答過程】由題意得AB的中點C為(1，1)，又A，B兩點連線的斜率為kAB所以直線l的斜率為34，因此直線l的方程為y?1=34(x?1)，即3故選：B．【變式3-3】（2021·全國·高二專題練習）已知點A（1，﹣2），B（m，n），關(guān)于直線x+2y﹣2＝0對稱，則m+n的值是（）A．﹣2 B．3 C．5 D．7【解題思路】先利用線段的中點公式求出線段AB的中點坐標，再把中點坐標代入直線x+2y﹣2＝0，結(jié)合斜率關(guān)系列方程組，求得m,n，從而求得m+n的值．【解答過程】∵A（1，﹣2）和B（m，n）關(guān)于直線x+2y﹣2＝0對稱，∴線段AB的中點C（1+m2，?2+n2）在直線x+2∴1+m2?2+∴m+2n＝7，而n+2m?1×（?12）＝﹣1，得2解方程組m+2n=72m?n=4，可得m＝3，n∴m+n＝5.故選：C.【題型4直線關(guān)于直線的對稱問題】【方法點撥】SKIPIF1<0【例4】（2022·全國·高三專題練習）直線y=2x+1關(guān)于直線y=x對稱的直線方程為（

）A．x?3y+1=0 B．x?3y?1=0 C．x?2y?1=0 D．x?2y+1=0【解題思路】先聯(lián)立方程y=2x+1y=x得?1,?1，再求得直線y=2x+1的點0,1關(guān)于直線y=x對稱點的坐標為1,0，進而根據(jù)題意得所求直線過點?1,?1，1,0【解答過程】解：聯(lián)立方程y=2x+1y=x得?1,?1，即直線y=2x+1與直線y=x的交點為設直線y=2x+1的點0,1關(guān)于直線y=x對稱點的坐標為x0所以x02=所以直線y=2x+1關(guān)于直線y=x對稱的直線過點?1,?1，1,0所以所求直線方程的斜率為12所以所求直線的方程為y=12故選：C.【變式4-1】（2022·江蘇·高二專題練習）兩直線l1:2x?y+1=0,l2:y=x，則直線lA．2x?y+1=0 B．x?3y+1=0 C．2x?3y+2=0 D．x?2y?1=0【解題思路】求出兩直線的交點，在直線l1上任取一點，求出其關(guān)于l【解答過程】聯(lián)立方程2x?y+1=0y=x，解得x=?1在直線l1:2x?y+1=0上任取一點0,1，其關(guān)于l2則直線l1關(guān)于直線l2對稱的直線方程為y=故選：D.【變式4-2】（2022·江蘇·高二專題練習）求直線x＋2y－1＝0關(guān)于直線x＋2y＋1＝0對稱的直線方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【解題思路】結(jié)合兩平行線間的距離公式求得正確選項.【解答過程】設對稱直線方程為x+2y+c=0，1+11+22=c?1所以所求直線方程為x+2y+3=0.故選：B.【變式4-3】（2022·全國·高二課時練習）若兩條平行直線l1：x?2y+m=0m>0與l2：2x+ny?6=0之間的距離是25，則直線l1A．x?2y?13=0 B．x?2y+2=0C．x?2y+4=0 D．x?2y?6=0【解題思路】利用兩條直線平行的性質(zhì)求出n,再利用兩條平行直線間的距離求出m，再由平行線間距離即可求解.【解答過程】因為直線l1：x?2y+m=0m>0與l2所以n=?2×2=?4，又兩條平行直線l1：x?2y+m=0m>0與l2：2x+ny?6=0所以|2m+6|4+16=2即直線l1：x?2y+7=0，l2：設直線l1關(guān)于直線l2對稱的直線方程為則|?3?7|5=|?3?c|故所求直線方程為x?2y?13=0，故選：A.【題型5光的反射問題】【方法點撥】光的反射問題，在這里主要是研究一條光線經(jīng)過點P射到直線l上，然后反射經(jīng)過點Q，求入射光線或反射光線所在直線方程等問題，關(guān)鍵是利用光學知識得到入射光線所在直線與反射光線所在直線關(guān)于直線l對稱，然后轉(zhuǎn)化為點(或直線)關(guān)于直線的對稱問題來解決.【例5】（2022·江蘇·高二課時練習）若一束光線從點A1,0射入，經(jīng)直線y=?x+3反射到直線y=x+3上的點B，再經(jīng)直線y=x+3反射后經(jīng)過點C?1,0，則點B的坐標為（A．?2,1 B．0,3 C．?1,2 D．?1,1【解題思路】由題可求A關(guān)于直線y=?x+3的對稱點為A'及C關(guān)于直線y=x+3的對稱點為C'，可得直線A'【解答過程】設A關(guān)于直線y=?x+3的對稱點為A'則y12=?x1設C?1,0關(guān)于直線y=x+3的對稱點為C則y22=x2∴直線A'C'的方程為：y=2可得x=?1，故B?1,2故選：C.【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習）一條光線從點A2,4射出，傾斜角為60°，遇x軸后反射，則反射光線的直線方程為（A．3x?y+4?23C．3x+y+4?23【解題思路】根據(jù)對稱關(guān)系可求得反射光線斜率和所經(jīng)過點A'【解答過程】點A2,4關(guān)于x軸的對稱點為A又反射光線傾斜角為180°?60°=∴反射光線所在直線方程為：y+4=?3x?2，即故選：C.【變式5-2】（2022·江蘇·高二課時練習）在平面直角坐標系內(nèi)，一束光線從點A（1，2）出發(fā)，被直線y=x反射后到達點B（3，6），則這束光線從A到B所經(jīng)過的距離為（

）A．25 B．26【解題思路】作出點A關(guān)于直線y=x的對稱點C2,1，連接CB，利用光線關(guān)于直線對稱得到CB【解答過程】作出點A關(guān)于直線y=x的對稱點C2,1連接CB，交直線y=x于點M，則CB即為光線經(jīng)過路程的最小值，且CB=此即光線從A到B所經(jīng)過的距離為26.故選：B．【變式5-3】（2022·山東淄博·高二期末）已知：A0,4，B0,?4，C4,0，E0,2，F(xiàn)0,?2，一束光線從F點出發(fā)射到BC上的D點經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AEA．?∞,?14 B．?【解題思路】根據(jù)光線的入射光線和反射光線之間的規(guī)律，可先求F點關(guān)于直線BC的對稱點P，再求P關(guān)于直線AC的對稱點M,由此可確定動點D在直線BC上的變動范圍，進而求的其斜率的取值范圍.【解答過程】由題意可知：直線BC的方程為y=x?4，直線AC的方程為y=?x+4，如圖：設F0,?2關(guān)于直線BC的對稱點為P(a,b)則b+解得a=2b=?4，故P同理可求P2,?4關(guān)于直線AC的對稱點為M(8,2)連接MA,ME,ME交AC于N，而MN方程為y=2,聯(lián)立y=2y=?x+4得N點坐標為N(2,2)連接PA,PN，分別交BC于H,G,PA方程為：y=?4x+4，和直線BC方程y=x?4聯(lián)立，解得H點坐標為H(8PN的方程為x=2,和直線BC方程y=x?4聯(lián)立解得G(2,?2)，連接FG,FH,則H,G之間即為動點D點的變動范圍，而kFG故FD斜率的取值范圍是(?1故選B.【題型6將軍飲馬問題】【方法點撥】將軍飲馬問題主要是點、線間的對稱問題，借助題干條件，找出其中蘊含的對稱關(guān)系，進行轉(zhuǎn)化求解即可.【例6】（2022·江蘇·高二階段練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標系中，設軍營所在位置為B?1,?4，若將軍從點A?1,2處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=3.則“將軍飲馬“的最短總路程為（A．13 B．17 C．217 D．【解題思路】作出圖形，求出點B關(guān)于直線x+y=3的對稱點C的坐標，在直線x+y=3上取點P，利用A、P、C三點共線時PA+【解答過程】如下圖所示，設點B關(guān)于直線x+y=3的對稱點為Ca,b由題意可得a?12+b?42=3在直線x+y=3上取點P，由對稱性可得PB=所以，PA+當且僅當A、P、C三點共線時，等號成立，因此，“將軍飲馬“的最短總路程為217故選：C.【變式6-1】（2021·遼寧沈陽·高二期中）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在位置為B?4,?4，若將軍從點A?2,0處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=2，則“將軍飲馬”的最短總路程為（A．13 B．5 C．210 D．【解題思路】求出點A關(guān)于直線的對稱點為A'，則可得A'B即為“將軍飲馬”的最短總路程，求出A【解答過程】如圖，點A關(guān)于直線的對稱點為A'，則A設A'則a?22+b則A'故“將軍飲馬”的最短總路程為10.故選：D.【變式